Ejercicios: Continuidad. Tipos

Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de señal de WiFi en un centro comercial a medida que te alejas del router principal. Identifica los valores de $x$ en los que la función no es continua y explica razonadamente, de forma intuitiva, por qué ocurre esto.

Una aplicación de reparto a domicilio cobra una comisión fija dependiendo de la distancia al restaurante. La función que define el costo del envío en lempiras, $f(x)$, según la distancia $x$ en kilómetros es:

Compruebe si la función es continua en el punto $x = 3$ calculando sus límites laterales.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la función está definida en $x = 3$. ¿Existe el límite $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de tus respuestas, decide si la función es continua en ese punto.

Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función mostrada en la imagen en el punto $x = 2$. Justifica si se trata de una discontinuidad evitable, de salto finito o de salto infinito.

Estudia la continuidad de la función polinómica $f(x) = x^3 - 2x + 5$ en el punto $x = 0$. ¿Crees que esta función podría tener alguna discontinuidad en cualquier otro número real? Explica por qué.

Un creador de contenido analiza el crecimiento de sus seguidores con una función que ha sufrido un "error" en el servidor. La función es $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica para qué valores de $x$ la función no es continua. ¿Qué ocurre en el denominador para que falle la continuidad?

Identifica cuál de las siguientes tres gráficas corresponde a una función continua en todo el intervalo mostrado y explica qué característica visual te permite asegurarlo.

Determina si la siguiente función definida a trozos es continua en el "punto de ruptura" $x = 1$:

Para ello, verifica si se cumplen las tres condiciones de continuidad:

1. ¿Existe $f(1)$?

2. ¿Existe $\lim_{x \to 1} f(x)$?

3. ¿Coinciden ambos valores?

Lucas afirma en clase: «Para estudiar la continuidad de $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ en $x = 3$, primero miro el denominador. Como se anula ($3 - 3 = 0$), la función no está definida en ese punto y, por tanto, existe obligatoriamente una asíntota vertical, es decir, una discontinuidad de salto infinito». Identifica el error de razonamiento que comete Lucas, explica qué condición esencial de la definición de continuidad omitió al clasificar la discontinuidad y determina el verdadero tipo de discontinuidad que presenta $f$ en $x = 3$ justificándolo con el cálculo de límites.

En un estacionamiento rotativo de una ciudad española, la tarifa $C(t)$ (en lempiras) que se cobra en función del tiempo estacionado $t$ (en horas) viene dada por la expresión:

1. Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estime si el cambio de tarifa a las $2$ horas producirá un salto brusco en el importe a pagar o si la función empalmará de manera continua. Justifique su predicción pensando en la lógica comercial de cobrar por el tiempo consumido.

2. Compruebe analíticamente su estimación aplicando las tres condiciones de continuidad en $t = 2$: calcule $\lim_{t\to 2^-} C(t)$, $\lim_{t\to 2^+} C(t)$ y $C(2)$. A partir de los resultados, concluya razonadamente si su predicción era acertada y clasifique el comportamiento de la función en ese punto.

Dada la siguiente gráfica de una función $f(x)$ que representa el nivel de actividad de una aplicación para celular a lo largo de un intervalo de tiempo, analice su continuidad en los puntos $x = -2$, $x = 1$ y $x = 3$. Indique en cada caso el tipo de discontinuidad (evitable, de salto finito o de salto infinito) justificando su respuesta mediante el estudio de los límites laterales y el valor de la función.

Una empresa de mensajería urgente establece sus tarifas mensuales para clientes corporativos en función del volumen de paquetes enviados ($x$, en cientos de unidades). La función de costo total ($C(x)$, en miles de lempiras) viene dada por:

Calcule el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua en $x = 2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en el punto $x = 0$?

Estudia la continuidad de la siguiente función racional en todo su dominio y clasifica sus puntos de discontinuidad:

Para los puntos donde la discontinuidad sea evitable, define una nueva función $g(x)$ que sea continua en dicho punto.

El crecimiento de una colonia de bacterias en un entorno controlado sigue una pauta que cambia al agotarse un nutriente a las 3 horas de iniciar el experimento. La población $P(t)$ (en millones) se modeliza mediante la función:

Donde $t$ es el tiempo en horas. Determina el valor de $a$ para que el crecimiento de la población sea continuo en el instante del cambio de dieta ($t = 3$). A largo plazo ($t \to \infty$), ¿a qué valor tiende la población si se mantiene esa segunda pauta?

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$:

Considera la función $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$.

1. a) Calcula los límites laterales de la función cuando $x$ tiende a $4$.
2. b) Indica si la función es continua en $x = 4$. Si no lo es, clasifica el tipo de discontinuidad.
3. c) Realiza un esbozo de la gráfica de la función en el entorno del punto $x = 4$.

Se ha proyectado la construcción de un puente cuyo perfil lateral sigue la función:

1. a) ¿Es continua la altura del puente en el punto de unión $x = 0$?
2. b) ¿Existe algún punto de discontinuidad en el intervalo $[0, 4)$? En caso afirmativo, explica si es un problema real para la construcción (discontinuidad evitable) o si supone una ruptura del perfil (salto).

Dada la función $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza su continuidad y clasifica sus discontinuidades. Para ello:

1. Determina el dominio de la función.

2. Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Interpreta los resultados para indicar si existe una asíntota vertical y de qué tipo es la discontinuidad.

Diseña la expresión analítica de una función a trozos $f(x)$, con dominio en todo $\mathbb{R}$, que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Presenta una discontinuidad evitable en $x = -2$, pero la función está definida en dicho punto con $f(-2) = 5$.

2. Presenta una discontinuidad de salto finito en $x = 1$, con un salto de exactamente $3$ unidades (es decir, $|\lim_{x\to 1^+} f(x) - \lim_{x\to 1^-} f(x)| = 3$).

3. Es continua en cualquier otro punto de $\mathbb{R}$.

Muestra la fórmula completa de tu función y justifica analíticamente, mediante el cálculo de los límites laterales correspondientes y la comprobación de las condiciones de continuidad, que tu propuesta cumple con rigor cada uno de los requisitos.

Una junta de regantes aplica una tarifa mensual $P(v)$ (en lempiras) por el volumen de agua $v$ (en metros cúbicos, $\text{m}^3$) suministrado a una finca agrícola, según la siguiente función por tramos:

donde $15\text{ \text{L}\ }$ es la cuota fija de servicio y $k$ es un término constante de ajuste.

1. a) Determine el valor de $k$ para que la función de facturación sea continua en $v = 100\text{ m}^3$, evitando que un regante sufra un salto injustificado en el costo total por sobrepasar ligeramente el umbral de los $100\text{ m}^3$.
2. b) Si por un fallo de gestión se fijara $k = -10$, analice la continuidad en $v = 100\text{ m}^3$, calcule la magnitud del salto e interprete económicamente a quién perjudica ese desajuste (si al agricultor o a la junta de regantes).

Una empresa de servicios en la nube ofrece un plan de almacenamiento cuya tarifa mensual $C(x)$, en lempiras, depende de los gigabytes consumidos $x$. La función viene dada por la siguiente expresión:

Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la tarifa sea continua en todo su dominio. ¿Qué tipo de discontinuidad presentaría la función en $x = 10$ si el valor de $b$ fuera distinto al encontrado?

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos y clasifica todos sus puntos de discontinuidad:

Indica razonadamente si alguna de las discontinuidades encontradas es de tipo evitable.

Un analista financiero modela el beneficio esperado $B(t)$, en miles de lempiras, de una inversión tecnológica a lo largo del tiempo $t$ (en años) mediante la función:

1. a) Dibuje la gráfica de la función en el intervalo $[0, 5]$.
2. b) Estudie la continuidad de $B(t)$ en $t = 2$. ¿Existe el límite en dicho punto?
3. c) Clasifique el tipo de discontinuidad y explique su significado en el contexto del beneficio de la empresa.

Dada la función dependiente de los parámetros reales $k$ y $m$:

Halla los valores de $k$ y $m$ para que $g(x)$ sea una función continua en todo el conjunto de los números reales.

Considera la función $f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - 4x + 3}$.

1. a) ¿Para qué valores de $k$ tiene la función una discontinuidad evitable en $x = 3$?
2. b) Una vez hallado ese valor de $k$, redefine la función en ese punto para que sea continua en $x = 3$.
3. c) Con el valor de $k$ obtenido, ¿qué ocurre en $x = 1$? Clasifica la discontinuidad en ese otro punto.

Un estudio sociológico establece que el nivel de aceptación de una nueva ley, $L(t)$, en una escala de 0 a 100, sigue el siguiente modelo durante los primeros 10 meses ($t$):

1. a) Justifica si el nivel de aceptación ha variado de forma continua a lo largo de los 10 meses.
2. b) Si en el mes $t = 4$ se produjo un cambio en la campaña de comunicación, ¿hubo un salto brusco en la aceptación? Si es así, calcula la magnitud del salto y clasifica la discontinuidad.

Se considera la función $f(x) = \frac{x^2 - a}{x^3 + bx + c}$. Se sabe que la función tiene una discontinuidad de salto infinito en $x = 1$ y $x = -3$. Además, presenta una discontinuidad evitable en $x = 2$.

Halla los valores de los parámetros $a, b$ y $c$. Con estos valores, calcula el límite de la función cuando $x \to +\infty$.

Sea la función definida por:

Estudia la continuidad de la función en el punto $x = 0$ analizando sus límites laterales. ¿Es continua por la derecha? ¿Y por la izquierda? Clasifica razonadamente el tipo de discontinuidad que presenta.

Para estudiar la continuidad de la función $g(x) = \frac{|x - 1|}{x^2 - 3x + 2}$ en los puntos $x = 1$ y $x = 2$, dos estudiantes proponen enfoques distintos:

• Estrategia A (Carla): Expresar primero la función en dos ramas sin valor absoluto según el signo de $(x - 1)$, simplificar algebraicamente la fracción en cada tramo factorizando el denominador y, después, evaluar los límites laterales y la existencia de la función en cada punto conflictivo.

• Estrategia B (Marcos): Dejar la expresión con el valor absoluto intacta y calcular directamente los límites laterales en $x = 1$ y $x = 2$ sustituyendo mentalmente valores numéricos muy próximos (por ejemplo, $1.01$ y $0.99$) para deducir el signo del numerador y del denominador.

1. a) Aplica la estrategia de Carla para analizar y clasificar detalladamente el tipo de discontinuidad en $x = 1$.
2. b) Compara ambos procedimientos para el análisis del punto $x = 2$. ¿Por qué la estrategia de Marcos puede inducir a errores graves o a indeterminaciones no justificadas en este tipo de funciones racionales con valor absoluto? Explica qué método ofrece mayor solidez deductiva.
3. c) Clasifica finalmente la discontinuidad en $x = 2$ utilizando el método que hayas justificado como más seguro.

En una propuesta de reforma fiscal para gravar el beneficio neto $B$ (en miles de lempiras) de las pymes, la Secretaría de Finanzas plantea una cuota impositiva $T(B)$ (en miles de lempiras) estructurada en tres tramos:

Para evitar el denominado «error de salto» (que un incremento marginal del beneficio provoque que la empresa pague de golpe una cuota desproporcionadamente mayor), la función $T(B)$ debe ser continua en todo su dominio $[0, +\infty)$. Además, por criterios de recaudación, una empresa que declare un beneficio de $40\text{ mil euros}$ debe tributar exactamente $7\text{ mil euros}$.

1. a) Plantee el sistema de ecuaciones necesario para garantizar la continuidad de la función en $B = 20$ y en $B = 60$, incorporando la condición sobre la cuota para $B = 40$.
2. b) Resuelva el sistema y halle de forma razonada los valores de los parámetros $m$, $n$ y $p$.
3. c) Si por una errata en la publicación de la ley se fijase $p = -4$, analice la continuidad en $B = 60$, clasifique la discontinuidad resultante calculando la cuantía del salto y razone por qué este error desincentivaría que una empresa con $60\text{ mil euros}$ de beneficio intente ganar $100\text{ euros}$ adicionales.

Reto del tema. ¿Hacia dónde evoluciona el consumo digital de los jóvenes? Investigue las pautas de su entorno comparándolas con los datos del INE y modelice su comportamiento a largo plazo.

1. Muestreo y conteo: Consulte en la web del INE el tiempo medio diario que la juventud dedica a plataformas de contenido. Realice una microencuesta a $15$ compañeros registrando sus horas de uso. ¿Cuántas muestras distintas de $4$ personas podría seleccionar para contrastar perfiles? Aplique combinatoria ($C_{15,4}$).

2. Contraste de hipótesis: Plantee un contraste de hipótesis bilateral con nivel de significación $\alpha = 0.05$ para comprobar si el tiempo medio de su entorno difiere significativamente del dato nacional del INE.

3. Modelización y límites: Defina una función a trozos $f(t)$ que modele el costo o consumo en función del tiempo $t$, con un cambio de tarifa a las $2$ horas. Calcule los límites laterales en $t = 2$ para comprobar su continuidad. Después, evalúe $\lim_{t \to +\infty} f(t)$ resolviendo la indeterminación $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ para predecir si el consumo tiende a estabilizarse o crece indefinidamente.

4. Producto final: Elabore un informe ejecutivo de una página (usando GeoGebra u hoja de cálculo) que incluya los datos, el contraste formulado, el estudio analítico de los límites y su conclusión justificada.

Se valorará:

• Precisión en el recuento combinatorio y en el desarrollo del contraste de hipótesis.

• Rigor algebraico en el cálculo de límites laterales, en el infinito y resolución de indeterminaciones.

• Uso eficaz de herramientas digitales y coherencia crítica en las conclusiones extraídas.