Ejercicios: Concepto

Un analista de marketing está estudiando el crecimiento de seguidores de una cuenta de Instagram. La función $f(x)=3x$ representa el número de seguidores (en miles) tras $x$ horas de lanzar una campaña. Para entender qué ocurre justo en la cuarta hora, completa la siguiente tabla de valores aproximándote a $x = 4$ y predice el valor del límite $\lim_{x \to 4} f(x)$.

1. a) Calcula los valores de $f(x)$ que faltan en la tabla (puedes dar hasta tres decimales).

1. b) Observa hacia qué valor se acerca $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a $4$ por la izquierda y por la derecha, y predice el valor de $\lim_{x \to 4} f(x)$.

Observa la siguiente gráfica, que representa el nivel de carga de una batería inteligente $C(t)$ (en %) en función del tiempo $t$ (en minutos). Debido a un error en el software, el sensor no registra el valor exacto en el minuto $t = 3$ (punto hueco), aunque la carga parece seguir una tendencia clara. Utiliza la gráfica para determinar los siguientes valores:

1. a) $\lim_{t \to 3^-} C(t)$ (límite cuando nos acercamos a 3 por la izquierda).
2. b) $\lim_{t \to 3^+} C(t)$ (límite cuando nos acercamos a 3 por la derecha).
3. c) ¿Existe el límite global $\lim_{t \to 3} C(t)$? Justifica tu respuesta.

Para que una función $f(x)$ sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones matemáticas fundamentales. Escribe cuáles son estas tres condiciones y comprueba si la función $f(x) = x^2 - 1$ es continua en el punto $x = 2$ verificando paso a paso cada una de ellas.

Un dron de reparto sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t)$, donde $t$ es el tiempo en segundos. En un momento dado del vuelo, el dron realiza un ajuste brusco de altitud. La función está definida a trozos de la siguiente manera:

$h(t) = \begin{cases} 2t + 5 & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ 15 - t & \text{si } t \geq 4 \end{cases}$

La figura muestra la gráfica de $h(t)$. Calcula los límites laterales en el instante $t = 4$:

1. a) $\lim_{t \to 4^-} h(t)$

1. b) $\lim_{t \to 4^+} h(t)$

1. c) A la vista de los resultados, indica si el dron cambia de altura de forma continua o si da un "salto" en ese instante.

Explica con tus propias palabras la diferencia entre el valor de una función en un punto, $f(a)$, y el límite de la función cuando $x$ tiende a ese punto, $\lim_{x \to a} f(x)$. Ayúdate del concepto de "proximidad" para redactar tu respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x + 5}{x - 3}$, identifica el punto donde la función no está definida. Calcula el límite cuando $x$ se acerca a ese valor por la derecha ($\lim_{x \to 3^+} f(x)$) dándole a $x$ valores muy próximos como $3.1$; $3.01$ y $3.001$. ¿Hacia qué valor (finito o infinito) parece tender la función?

En la vida real, muchas situaciones son continuas y otras presentan saltos. Clasifique las siguientes situaciones como Continuas o Discontinuas, justificando brevemente su elección desde el punto de vista del concepto de límite:

1. a) El crecimiento de la estatura de un adolescente a lo largo de un año.
2. b) El costo de enviar un paquete por mensajería según su peso (si el precio cambia bruscamente cada kilogramo completo).
3. c) La temperatura de una habitación desde que se enciende el aire acondicionado.
4. d) El saldo de una cuenta bancaria a medida que se realizan pagos con tarjeta.

Dada la función representada gráficamente a continuación, indica razonadamente si es continua en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. Si en algún punto no es continua, explica cuál de las tres condiciones de continuidad falla.

Lucas está preparando la prueba de acceso a la universidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y, al estudiar la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$, afirma lo siguiente:

«Como al sustituir $x = 3$ se obtiene $f(3) = \dfrac{0}{0}$, la función no existe en ese punto. En consecuencia, es imposible que exista $\lim_{x \to 3} f(x)$, ya que una función jamás puede tender a un valor en un punto donde no está definida».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual de Lucas, distinguiendo con claridad entre el valor de una función en un punto, $f(a)$, y el límite de la función en ese punto, $\lim_{x \to a} f(x)$, a partir de la idea intuitiva de aproximación por ambos lados.
2. b) Corrige el ejercicio: determina el dominio de $f(x)$ y calcula de forma justificada el valor real de $\lim_{x \to 3} f(x)$.

Considera la función $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$.

1. a) Halla el dominio de definición de $f(x)$, justificando razonadamente qué condición impone la presencia de la raíz cuadrada de índice par y cuál impone el denominador.
2. b) Sin realizar transformaciones algebraicas complejas, estima el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$ analizando mentalmente o mediante una tabla de valores el comportamiento de la función en puntos muy próximos a $3$ por la izquierda ($x = 2.99$) y por la derecha ($x = 3.01$). Indica con qué valor numérico parece estabilizarse.
3. c) Comprueba formalmente tu estimación calculando el valor exacto del límite mediante la multiplicación por la expresión conjugada. Compara ambos resultados y razona si tu estimación previa fue fiable.

Dada la función $f(x)$ representada en la siguiente gráfica, analiza la existencia del límite en los puntos críticos. Para ello:

1. Indica el valor de los límites laterales cuando $x \to -1$ y cuando $x \to 2$.

2. Determina si existe el límite global en dichos puntos.

3. Explica la diferencia entre el valor de la función $f(2)$ y el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Un estudio de mercado indica que el beneficio de una nueva aplicación para celular (en miles de lempiras) sigue la función $B(t) = \frac{2t^2 - 8}{t - 2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. ¿Qué ocurre con el beneficio cuando el tiempo se aproxima a los 2 meses? Realice una aproximación numérica calculando $B(1,9)$, $B(1,99)$, $B(2,01)$ y $B(2,1)$.

2. Aunque la función no está definida en $t = 2$, ¿podría asignar un valor lógico al beneficio en ese instante basándose en la tendencia? Justifique su respuesta usando el concepto de límite.

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 3$. Una vez hallado, explica si la función presenta algún tipo de discontinuidad en el caso de que $k = 5$.

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - k}{x + 1} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$

Analiza el comportamiento de la función $g(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ en las proximidades de sus asíntotas verticales.

1. Identifica los puntos donde la función no es continua.

2. Calcula los límites laterales en $x = 3$ y $x = -3$.

3. Clasifica las discontinuidades halladas (evitable, de salto infinito o de salto finito).

El crecimiento de una comunidad de usuarios en una red social se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{50t + 100}{t + 4}$, donde $P$ es el número de usuarios (en miles) y $t$ el tiempo en años.

1. ¿Cuántos usuarios tiene la red social en el momento inicial ($t = 0$)?

2. Calcula el límite de $P(t)$ cuando $t \to +\infty$. ¿Qué significado tiene este valor en el contexto del problema?

3. Ilustra la situación mediante un esquema gráfico que muestre la cota superior del crecimiento.

Considera la función definida a trozos:

$h(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{x+k} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. Encuentra el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 0$.

2. Si $k = 1$, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} h(x)$. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal?

Dada la función $f(x) = \frac{|x-1|}{x-1}$:

1. Calcula los límites laterales en el punto $x = 1$.

2. A partir de los resultados anteriores, razona si existe el límite global en $x = 1$.

3. ¿Es posible redefinir la función en $x = 1$ para que sea continua? Justifica tu respuesta basándote en el tipo de discontinuidad.

En una empresa de mensajería, el costo de envío $C(x)$ (en lempiras) de un paquete de $x$ kg viene dado por la siguiente función:

$C(x) = \begin{cases} 5 + 2x & \text{si } 0 < x \leq 5 \\ 12 + 0.5x & \text{si } 5 < x \leq 10 \\ 20 & \text{si } x > 10 \end{cases}$

1. Estudie la continuidad de la función de costos en los puntos $x = 5$ y $x = 10$.

2. Un cliente afirma que "por un gramo de diferencia en el peso del paquete, el precio a veces pega un salto injustificado". ¿Tiene razón? Identifique en qué peso ocurre esto y calcule el valor de dicho "salto".

Diseña la expresión analítica de una función racional de la forma $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios) que cumpla simultáneamente todas estas condiciones:

1. Su dominio de definición sea exactamente $\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$.

2. El límite en $x = -2$ exista y sea un valor finito no nulo, concretamente $\lim_{x \to -2} f(x) = 3$.

3. En $x = 4$ la función no tenga límite finito (es decir, presente una asíntota vertical).

Justifica paso a paso cómo eliges las raíces y grados de $P(x)$ y de $Q(x)$ para garantizar cada propiedad, escribe la expresión final de $f(x)$ y explica por qué en $x = -2$ sí existe límite a pesar de que dicho punto no pertenezca al dominio.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) monitoriza el nivel de concentración de cierto contaminante $C(t)$ (en $\mu\text{g/m}^3$) en una ciudad durante una inversión térmica invernal. La evolución en función del tiempo $t$ transcurrido en horas desde las 00:00 h viene modelizada por:

$C(t) = \begin{cases} 30 + \sqrt{18 - 2t} & \text{si } 0 \le t < 9 \\ \dfrac{k \times t - 15}{t - 4} & \text{si } t \ge 9 \end{cases}$

1. a) Determina el dominio de definición estricto de la primera rama atendiendo a la restricción del radicando y explica el significado matemático de por qué la expresión carece de sentido para $t > 9$.
2. b) Calcula el valor del parámetro real $k$ para que exista el límite global $\lim_{t \to 9} C(t)$, garantizando así una transición coherente y sin saltos en los registros de la estación.
3. c) Con el valor de $k$ obtenido, analiza la tendencia de la concentración a muy largo plazo si las condiciones meteorológicas persistieran indefinidamente (es decir, calcula e interpreta $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ en el contexto socioambiental del problema).

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha modelado el número de usuarios activos diarios, $U(t)$, en miles, de una nueva red social mediante la siguiente función, donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento:

$U(t) = \begin{cases} t^2 + at + 10 & \text{si } 0 \le t \le 4 \\ \ln(t - 3) + b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Se sabe que en el mes $t = 2$ la aplicación alcanzó un mínimo local de $6000$ usuarios ($U(2) = 6$). Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea coherente con el concepto de continuidad en el momento de cambio de estrategia de mercadeo ($t = 4$). Una vez encontrados, indique cuál es el dominio real del modelo si la aplicación no puede tener menos de $1000$ usuarios para mantenerse operativa.

Analiza el dominio de definición de la siguiente función compleja, que combina restricciones logarítmicas y racionales bajo una raíz cuadrada:

$f(x) = \sqrt{\frac{\ln(x^2 - 8)}{x - 5}}$

Expresa el dominio utilizando la notación de intervalos. Razona cómo afecta cada componente (el logaritmo, el denominador y la raíz) a la exclusión de valores en la recta real.

Un sistema de climatización inteligente regula la potencia de enfriamiento $P$ (en kW) según la temperatura exterior $T$ (en $^\circ C$) siguiendo la función:

$P(T) = | |T - 25| - 5 |$

1. a) Representa gráficamente la función en el intervalo $T \in [15, 35]$ (te conviene hacer antes una tabla de valores y fijarte en los puntos donde cambia de tendencia).

1. b) A partir de la gráfica y del concepto de función, determina para qué temperaturas la potencia suministrada es exactamente de $2$ kW.

1. c) Explica el significado físico, en este contexto de ahorro energético, de los puntos de cambio de tendencia (los «picos» y «valles» de la gráfica, donde la potencia pasa de crecer a decrecer o al revés).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ y $g(x) = \sqrt{x^2 - 9}$, se pide:

1. a) Determinar el dominio de la función compuesta $h(x) = (g \circ f)(x)$.
2. b) Comprobar si existe algún valor de $x$ para el cual la imagen a través de $h(x)$ sea igual a $0$.
3. c) Justifica, basándote en la definición de imagen, si el valor $y = 1$ pertenece al recorrido de la función $f(x)$.

La función de beneficio de una cooperativa agrícola depende de la inversión en tecnología $x$ (en miles de lempiras) y está dada por (con $B(x)$ también en miles de lempiras):

$B(x) = \frac{20x^2 - 80}{x^2 + 4}$

Se pide realizar un estudio completo de sus características como función:

1. a) Encuentre los puntos de corte con los ejes y explique su significado en el contexto del problema (¿qué ocurre si no hay inversión? ¿cuánta inversión se necesita para empezar a tener beneficios?).
2. b) Determine el valor máximo teórico que podría alcanzar el beneficio si la inversión creciera indefinidamente (asíntota horizontal).
3. c) Indique si la función es simétrica y qué implicación tendría esto si el dominio permitiera inversiones negativas (créditos).

Considera la función $f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}$.

1. a) Calcula su dominio de definición.
2. b) Estudia su comportamiento cuando $x$ toma valores muy grandes positivos ($x \to +\infty$) y muy grandes negativos ($x \to -\infty$).
3. c) Encuentra la función inversa $f^{-1}(x)$ y especifica el dominio de esta nueva función. ¿Cómo se relaciona el dominio de $f^{-1}(x)$ con el recorrido de $f(x)$?

Se proyecta el crecimiento de una población de linces en un parque natural mediante la función:

$N(t) = \frac{500}{1 + 9e^{-0.2t}}$

Donde $N$ es el número de linces y $t$ el tiempo en años. La figura muestra la gráfica de esta función.

1. a) Calcula la población inicial ($t = 0$).

1. b) Demuestra que la función es siempre creciente analizando la estructura de la expresión.

1. c) ¿Existe un límite físico para la población del parque? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de tendencia a largo plazo.

Sea $f(x)$ una función definida a trozos que representa el interés bancario aplicado a un depósito según el capital $x$ invertido:

$f(x) = \begin{cases} \frac{kx}{x+2\,500} & \text{si } 0 \le x \le 12\,500 \\ \frac{6\,250}{x-11\,250} & \text{si } x > 12\,500 \end{cases}$

1. a) Determina el valor de $k$ para que no haya una ruptura brusca en el tipo de interés al pasar de invertir $\text{L}\ 12\,500$ a invertir una cantidad ligeramente superior.
2. b) Una vez hallado $k$, analiza si existe algún valor de capital $x > 12\,500$ donde la función deje de estar definida. ¿Tendría sentido económico ese punto en este modelo?
3. c) ¿Cuál es la imagen de $x=0$ y qué interpretación tiene en el contexto bancario?

Para analizar la estabilidad marginal de una cartera de microcréditos cuando el índice de riesgo $x$ se aproxima al umbral crítico $1$ (medido en puntos porcentuales), una entidad bancaria necesita evaluar el límite:

$\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(2x - 1)}{x - 1}$.

El equipo técnico propone tres caminos metodológicos distintos:

• Método A (Aproximación numérica por tablas): Evaluar la función en $x \in \{0.99; 0.999; 1.001; 1.01\}$ e inducir el valor del límite.

• Método B (Interpretación analítica como tasa de variación media): Comprobar el dominio y reinterpretar la expresión como el límite del cociente incremental que define la derivada de la función $g(x) = \ln(2x - 1)$ en $x = 1$.

• Método C (Factorización algebraica elemental): Tratar de descomponer el numerador en factores polinómicos directos para simplificar el binomio $(x - 1)$ del denominador.

1. a) Calcula el dominio de la función $f(x) = \dfrac{\ln(2x - 1)}{x - 1}$, detallando la intersección entre las restricciones del logaritmo y del cociente, y explica por qué este paso es imprescindible antes de plantearse aproximar el límite por ambos lados.
2. b) Evalúa de forma crítica la viabilidad y limitaciones de cada uno de los tres métodos. Justifica razonadamente por qué el Método C es inviable en este tipo de funciones, qué peligro conceptual tiene confiar únicamente en el Método A y por qué el Método B ofrece una justificación matemática sólida.
3. c) Aplica el Método B (o, alternativamente, la regla analítica correspondiente) para calcular el valor exacto del límite.

Una consultora de riesgos financieros propone un indicador de vulnerabilidad empresarial $S(x)$ en función del ratio de endeudamiento $x \ge 0$, definido por la expresión:

$S(x) = \dfrac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x - 1)}$.

1. a) Determina con rigor el dominio de definición de $S(x)$, expresándolo como intervalo o unión de intervalos y justificando paso a paso la intersección de las condiciones impuestas por la raíz cuadrada de índice par, el logaritmo neperiano y la anulación del denominador.
2. b) La consultora afirma: «En torno a $x = 2$, el indicador tiende al valor finito $L = \lim_{x \to 2} S(x)$ y, según la definición formal por entornos con $\varepsilon$ y $\delta$, para cualquier tolerancia de error $\varepsilon > 0$ siempre es posible encontrar un entorno simétrico $(2 - \delta, 2 + \delta)$ contenido íntegramente en el dominio donde los valores de $S(x)$ no difieran de $L$ en más de $\varepsilon$». Calcula el valor de $L$ y razona si la afirmación sobre el entorno simétrico es matemáticamente válida para valores habituales de $\delta$, analizando si el punto $x = 2$ es un punto interior del dominio.
3. c) Utilizando la definición formal de límite basada en entornos, razona si tiene sentido matemático plantear el límite bilateral ordinario $\lim_{x \to 3} S(x)$ o únicamente el límite lateral $\lim_{x \to 3^-} S(x)$. Justifica tu respuesta explicando qué le ocurre a un entorno perforado de radio $\delta$ centrado en $x = 3$ al contrastarlo con el dominio hallado en el primer apartado.