Ejercicios: Cálculo de límites. Indeterminaciones

Para entender el concepto de límite, vamos a analizar el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$, pero sin llegar a ser exactamente $2$.

Completa la siguiente tabla de valores utilizando tu calculadora y predice cuál será el valor del $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina de forma visual el valor de los siguientes límites:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

Calcula los siguientes límites inmediatos realizando la sustitución directa en la expresión de la función:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 2)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x^2 + 1}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{x+1}$

En el análisis de costos de una empresa, se ha determinado que el costo medio de fabricar $x$ unidades de un nuevo dispositivo tecnológico viene dado por la función:

Calcule el límite $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interprete el resultado en el contexto del problema (¿qué ocurre con el costo por unidad si la producción aumenta de forma masiva?).

Resuelve la indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$ en los siguientes casos, comparando los grados de los polinomios:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 10}{x^2 - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + x}$

Calcula el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante la simplificación de la fracción (extrayendo factor común o factorizando):

El número de seguidores de un canal de "streamer" principiante durante los primeros meses sigue la función $S(t) = \frac{200t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses. La gráfica muestra la evolución de $S(t)$.

1. a) ¿Cuántos seguidores tiene el canal al empezar ($t=0$)?
2. b) Utiliza el cálculo de límites para averiguar a cuántos seguidores tenderá el canal a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función racional y justifica tu respuesta:

Para calcular el límite $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x - 8}$, dos compañeros de clase razonan de la siguiente manera:

• Hugo sustituye $x = 2$ y obtiene $\dfrac{0}{0}$. Afirma: «Como cero dividido entre cualquier número es cero, el límite vale $0$».

• Mateo le responde: «No, Hugo, cualquier cantidad dividida entre sí misma da $1$, por lo que el límite debe ser $1$».

1. a) Explique razonadamente el error conceptual que cometen ambos y aclare por qué la expresión $\left[\frac{0}{0}\right]$ se denomina «indeterminación» y no representa un valor numérico definido.
2. b) Aplique la factorización de polinomios mediante el teorema del resto (o Ruffini), simplifique el factor que genera la indeterminación y halle el verdadero valor numérico del límite.

Dada la función $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$:

1. a) Estima: Sin realizar transformaciones algebraicas, evalúa numéricamente con tu calculadora los valores de $f(1,99)$ y $f(2,01)$ con al menos cuatro cifras decimales. A partir de los resultados obtenidos, propón una conjetura razonada sobre cuál debería ser el valor exacto de $\lim_{x \to 2} f(x)$ expresado en forma de fracción irreducible.
2. b) Comprueba: Calcula analíticamente $\lim_{x \to 2} f(x)$ multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la raíz para resolver la indeterminación $\left[\frac{0}{0}\right]$. Comprueba si el valor teórico obtenido coincide exactamente con tu estimación inicial.

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, analiza el comportamiento de la misma en los puntos críticos y determina los siguientes valores:

1. a) $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to -2^+} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
4. d) ¿Existe el límite global en $x = 3$? Justifica tu respuesta basándote en los límites laterales.

Calcule el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante la factorización de polinomios (puede utilizar la regla de Ruffini si es necesario):

Una empresa de mensajería ha determinado que sus costos diarios en lempiras vienen dados por la función $C(x) = \sqrt{9x^2 + 5x} - 3x$, donde $x$ representa el número de envíos realizados en cientos.

Calcule el límite de los costos cuando el volumen de envíos aumenta indefinidamente ($\lim_{x \to +\infty} C(x)$). Interprete el resultado obtenido en el contexto del problema.

Calcula los siguientes límites analizando el grado de los polinomios y las potencias de mayor orden (indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en el punto $x = 1$, siendo la función:

Para ese valor de $k$, ¿cuánto vale el límite?

Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la fórmula relacionada con el número $e$:

El número de seguidores de un nuevo "influencer" en una red social sigue el modelo dado por la función $S(t) = 500 \times \left( 1 + \frac{2}{t+1} \right)^t$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que abrió su cuenta.

1. a) Calcula $\lim_{t\to+\infty} S(t)$ y, a partir de él, indica cuál es la tendencia del número de seguidores cuando el tiempo crece indefinidamente. Justifica tu respuesta con el cálculo de límites.

1. b) Escribe la ecuación de la asíntota horizontal de $S(t)$ cuando $t\to+\infty$ e interpreta su significado en el contexto del problema.

Calcula el valor del límite de la siguiente función racional en el punto $x = 1$. Ten en cuenta que si obtienes la forma $\frac{k}{0}$, deberás estudiar los límites laterales para decidir si el límite es $+\infty$, $-\infty$ o no existe:

Para calcular el límite en el infinito $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 3x - 1} - 2x \right)$, se proponen dos estrategias diferentes en el aula:

• Método A (atajo por término dominante): «Dentro del radical, cuando $x \to +\infty$, el término dominante es $4x^2$. Por tanto, $\sqrt{4x^2 + 3x - 1} \approx \sqrt{4x^2} = 2x$. Al restar $2x - 2x$, el límite es directamente $0$».

• Método B (multiplicación por el conjugado): «Al ser una indeterminación $\infty - \infty$, la aproximación directa oculta términos de primer orden; se debe multiplicar y dividir la expresión completa por su conjugado $(\sqrt{4x^2 + 3x - 1} + 2x)$ y después comparar grados».

1. a) Justifique por qué el método A no es matemáticamente válido y conduce a un resultado erróneo en este caso concreto.
2. b) Desarrolle por completo el método B justificando cada paso algebraico y calcule el valor real del límite.
3. c) A partir del resultado, determine razonadamente si la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 1}$ tiene una asíntota oblicua de la forma $y = 2x + n$ cuando $x \to +\infty$, indicando el valor de la ordenada en el origen $n$.

Una entidad bancaria en España ofrece un depósito a un año con un capital inicial de $5,000$ lempiras a un interés nominal anual del $4\,\%$ ($r = 0.04$). Si los intereses se liquidan periódicamente $n$ veces al año, el capital final acumulado viene dado por la fórmula de capitalización compuesta $C(n) = 5,000 \times \left(1 + \dfrac{0.04}{n}\right)^n$.

1. a) Un cliente afirma: «Si dividimos el año en infinitos periodos de liquidación ($n \to +\infty$), la fracción $\frac{0.04}{n}$ tiende a $0$, con lo que la base se hace $1$. Dado que $1$ elevado a cualquier número es $1$, al final obtendremos $5,000 \times 1 = 5,000$ lempiras y perderemos todos los intereses acumulados». Refute con rigor matemático este razonamiento e identifique qué indeterminación aparece realmente.
2. b) Calcule el límite $\lim_{n \to +\infty} C(n)$ aplicando el método del número $e$ para la indeterminación $1^\infty$ ($e^L$, con $L = \lim_{n \to +\infty} n \times (g(n) - 1)$).
3. c) Calcule el capital final con liquidación mensual ($n = 12$) y compárelo con el límite en capitalización continua ($n \to +\infty$), redondeando ambos a los centavos de lempiras. A la vista de la diferencia, valore si al ahorrador le conviene exigir una liquidación continua frente a una mensual.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que existe el límite finito de la función cuando $x$ tiende a $1$ y que dicho límite vale exactamente $L = -2$. Una vez hallados los parámetros, justifica razonadamente si la función presenta una asíntota vertical en $x = -1$.

Una cadena de gimnasios estima que el número de socios acumulado (en miles) sigue la función $B(t) = \sqrt{4t^2 + 5t + 1} - (at + b)$, donde $t$ es el tiempo en años.

• a) Determina el valor de $a$ para que, a largo plazo ($t \to \infty$), el número de socios no crezca de forma indefinida ni se haga negativo (es decir, que el límite sea un valor real finito).

• b) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, calcula el valor de $b$ necesario para que el límite del número de socios cuando el tiempo tiende a infinito sea exactamente de $3$ mil.

Calcula el valor del siguiente límite que involucra una indeterminación del tipo $1^\infty$ en un contexto de interés compuesto continuo:

Posteriormente, explica qué ocurriría con el valor del límite si el grado del exponente fuera $2$ en lugar de $1$.

Estudia el comportamiento en el infinito de la siguiente función, calculando los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$:

Presta especial atención al cambio de signo al introducir o extraer factores de la raíz cuando la variable tiende a menos infinito. Justifica si existen asíntotas horizontales en ambos sentidos y, en caso afirmativo, escribe sus ecuaciones.

Dada la función definida a trozos:

Calcula el valor que debería tomar el parámetro $k$ para que exista el límite de la función en el punto $x = 0$. ¿Es posible asignar un valor a $g(0)$ para que la función sea continua en dicho punto? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de límites laterales e indeterminaciones.

En el análisis de la propagación de una noticia en una red social, se utiliza la función $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \times e^{-0.5t}}$, donde $P$ es el porcentaje de la población que conoce la noticia y $t$ el tiempo en horas.

• a) Calcula $\lim_{t \to \infty} P(t)$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.

• b) Si la velocidad de propagación viene dada por la derivada (que estudiaremos más adelante, pero supongamos que te dan la expresión simplificada del crecimiento relativo), analiza qué ocurre con la diferencia $100 - P(t)$ cuando $t \to \infty$.

• c) Determina razonadamente si la función tiene alguna asíntota vertical.

Calcula el límite de la siguiente expresión resolviendo la indeterminación $\infty - \infty$ mediante el uso del conjugado:

Si el resultado del límite es $L = 4$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$? Compara este resultado con el límite de la misma función cuando $x \to -\infty$.

Analiza la jerarquía de los infinitos para resolver el siguiente límite, justificando cada paso según el orden de crecimiento de las funciones implicadas (exponenciales, polinómicas y logarítmicas):

¿Cambiaría el resultado si la base de la exponencial del denominador fuera $e$ en lugar de $3$? Justifica tu respuesta basándote en la comparación de órdenes de magnitud.

El departamento de analítica de una plataforma de comercio electrónico modeliza el comportamiento de compra de sus usuarios según la función racional $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{x^2 - 5x + 6}$, donde $x$ representa el tiempo de permanencia en la web (en minutos) y $a, b, c \in \mathbb{R}$ son parámetros constantes.

1. a) Deduce razonadamente el valor de los coeficientes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

1) Cuando el tiempo de navegación se prolonga indefinidamente ($x \to +\infty$), el valor de la función se estabiliza en un valor finito igual a $3$.

2) En el instante crítico $x = 2$, la función genera una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$, pero la plataforma no se colapsa porque existe el límite finito $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.

1. b) Una vez determinados los parámetros, estudia qué ocurre en el otro punto que anula el denominador ($x = 3$). Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 3^+} f(x)$, e interpreta la situación desde el punto de vista de las asíntotas verticales de la función.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) elabora proyecciones demográficas a largo plazo para evaluar el riesgo de despoblación en dos comarcas rurales de la España interior. Los modelos matemáticos proyectan la población $P(t)$ (en miles de habitantes) en función del tiempo transcurrido $t \ge 0$ (en décadas transcurridas desde el año 2024):

• Comarca A: $P_A(t) = \sqrt{9t^2 + 12t + 5} - 3t$

• Comarca B: $P_B(t) = 5 \times \left(\dfrac{t + 1}{t + 2}\right)^t$

1. a) Analice la tendencia a muy largo plazo ($t \to +\infty$) para la Comarca A. Identifique la indeterminación inicial, resuélvala justificando el procedimiento algebraico y calcule a qué número de habitantes tiende a estabilizarse.
2. b) Analice la tendencia a muy largo plazo ($t \to +\infty$) para la Comarca B. Identifique el tipo de indeterminación, resuélvala detalladamente mediante la regla de la potencia ligada al número $e$ y halle la población límite en habitantes.
3. c) Teniendo en cuenta que en el año 2024 ($t = 0$) la Comarca A contaba con unos $2,236$ habitantes ($P_A(0) = \sqrt{5}$) y la Comarca B con $5,000$ habitantes ($P_B(0) = 5$), calcule qué porcentaje de su población original retiene cada comarca a largo plazo y justifique cuál de los dos territorios muestra un comportamiento demográfico más resiliente.