Ejercicios: Curvatura: Concavidad y convexidad. Punto de inflexión

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realiza los siguientes pasos para estudiar su curvatura (se llama cóncava ($\cap$) a la zona en la que $f''(x)<0$ y convexa ($\cup$) a la zona en la que $f''(x)>0$):

1. a) Calcula la segunda derivada $f''(x)$.

1. b) Determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y de convexidad ($\cup$).

1. c) Halla las coordenadas del punto de inflexión.

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ e identifica, de manera visual, en qué intervalos la función es convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y en cuáles es cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$). Indica aproximadamente la abscisa $x$ donde crees que se sitúa el punto de inflexión.

Un diseñador de pistas de skate está modelando el perfil de una rampa mediante la función $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, donde $x$ representa la distancia horizontal en metros. El diseñador necesita saber dónde cambia la rampa de ser "tipo montaña" (cóncava) a "tipo valle" (convexa) para asegurar la transición. Calcula el punto de inflexión de esta trayectoria.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudia su curvatura. ¿Presenta esta función algún punto donde la derivada segunda se anule pero no sea un punto de inflexión? Justifica tu respuesta analizando el signo de $f''(x)$ a ambos lados de los puntos singulares de la segunda derivada.

Relaciona cada una de las siguientes condiciones sobre la segunda derivada con la forma de la gráfica de la función $f(x)$ en un intervalo dado:

1. $f''(x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ y existe un cambio de signo de $f''(x)$ al pasar por $x = c$.

Utiliza los términos: Cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$), Convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y Punto de Inflexión.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenga un punto de inflexión en $x = 2$. Una vez hallado $k$, indica si la función es cóncava o convexa en el punto $x = 0$.

Determina los intervalos de curvatura de la función exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. ¿Posee esta función algún punto de inflexión? Razona la respuesta basándote en el valor de la segunda derivada.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Aunque es una función racional, su estudio de curvatura en el dominio de definición es sencillo. En la figura aparecen su gráfica y sus asíntotas.

1. Halla $f''(x)$.

2. Estudia su signo en los intervalos correspondientes (teniendo en cuenta que $x=1$ no pertenece al dominio) y relaciónalo con la curvatura que ves en cada rama de la gráfica.

3. ¿Tiene puntos de inflexión? Justifica si el cambio de curvatura en la asíntota vertical se considera punto de inflexión.

Marcos tiene que estudiar la curvatura de la función polinómica $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. En su examen escribe el siguiente razonamiento:

«Derivada primera: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Derivada segunda: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Igualo a cero: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Por tanto, la gráfica de la función cambia de curvatura en $x = 1$ y presenta un punto de inflexión en $(1, 5)$.»

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que ha cometido Marcos. ¿Es la condición $f''(x_0) = 0$ suficiente por sí sola para garantizar la existencia de un punto de inflexión?
2. b) Corrige el ejercicio determinando los intervalos reales de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) de $f(x)$, y concluye justificadamente si la gráfica tiene o no puntos de inflexión.

Diseña la expresión algebraica de una función cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, -5)$.

2. Presenta un punto de inflexión en el punto de coordenadas $(2, 3)$.

3. La recta tangente a la gráfica en dicho punto de inflexión tiene pendiente igual a $-4$.

4. La función es cóncava ($\cap$) en $(-\infty, 2)$ y convexa ($\cup$) en $(2, +\infty)$.

Calcula razonadamente los coeficientes $a, b, c$ y $d$, y comprueba explícitamente mediante el signo de $f''(x)$ que la condición de curvatura 4 se verifica de forma estricta con los valores que has hallado.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realiza un estudio detallado de su curvatura (considera cóncava $\cup$ donde $f''(x)>0$ y convexa $\cap$ donde $f''(x)<0$). Para ello:

1. a) Halla los intervalos de concavidad y convexidad.

1. b) Determina las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión, si existen.

Se sabe que la función polinómica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$ y que la pendiente de la recta tangente en ese punto es $m = -3$. Calcula los valores de los parámetros $a, b$ y $c$.

Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de salto para un parque de deportes extremos. El perfil de la sección central de la rampa sigue la función $f(x) = (x-2)e^x$ para $x \in [-1, 3]$.

Calcula el valor de la abscisa $x$ donde la rampa cambia de ser cóncava a ser convexa (punto de inflexión). Justifica por qué en ese punto la rampa alcanza su máxima pendiente de bajada en ese tramo.

Dada la función $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determina:

1. Los intervalos donde la función es cóncava ($\cap$) y donde es convexa ($\cup$).

2. Las coordenadas de los puntos de inflexión.

3. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en su punto de inflexión de abscisa positiva.

La cantidad de usuarios activos en una nueva red social durante los primeros 6 meses sigue aproximadamente la función $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses y $N(t)$ es el número de usuarios en miles.

1. Calcula el momento exacto (valor de $t$) en el que el crecimiento de usuarios empieza a desacelerarse (punto de inflexión).

2. Explica el significado de la curvatura de la función antes y después de ese instante en términos de "ritmo de crecimiento".

Sea la función definida a trozos:

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$ y su gráfica pase por el punto $(\pi, \pi)$. Una vez calculados, comprueba si existe un punto de inflexión en el origen.

Dada la función $f(x) = x \times e^{-x^2}$, se pide:

1. a) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad, estudiando el signo de $f''(x)$ (considera la función convexa, $\cup$, donde $f''(x) > 0$ y cóncava, $\cap$, donde $f''(x) < 0$).

1. b) Hallar los puntos de inflexión de la curva.

1. c) ¿Qué ocurre con la curvatura de la función cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$? Razona la respuesta basándote en el límite de la segunda derivada.

Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ tenga un punto de inflexión en $x = 0$ y pase por el punto $(1, -1)$. Una vez hallados, estudia si la función tiene más puntos de inflexión en su dominio.

Dada la función racional $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Estima antes de calcular: Observa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas (par), estrictamente positiva en todo $\mathbb{R}$, alcanza un máximo relativo en $(0, 4)$ y tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to \pm\infty$. A partir únicamente de estos datos cualitativos, deduce razonadamente si la gráfica debe tener puntos de inflexión, cuántos esperarías encontrar como mínimo, en qué cuadrantes se ubicarán y qué curvatura debería presentar la gráfica cerca del origen frente a zonas muy alejadas del mismo ($|x| \to \infty$).
2. b) Comprueba analíticamente: Calcula $f''(x)$, determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$), y halla las coordenadas exactas de los puntos de inflexión. Comprueba si los resultados analíticos confirman con precisión las deducciones que planteaste en tu estimación previa.

Para analizar la curvatura y clasificar los posibles puntos de inflexión de la función $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, calculas sus dos primeras derivadas y obtienes $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ y $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Los candidatos a punto de inflexión son $x = 0$ y $x = 3$.

Dos compañeros de clase proponen vías de resolución distintas:

• Método 1 (Derivadas sucesivas): Calcular $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, etc., y evaluar en cada candidato hasta encontrar una derivada de orden superior que no se anule.

• Método 2 (Estudio del signo de $f''$): Analizar directamente el signo de $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ en los intervalos determinados por los ceros de la segunda derivada.

1. a) Aplica el Método 1 para clasificar $x = 0$ y $x = 3$.
2. b) Aplica el Método 2 para determinar los intervalos de concavidad y convexidad y clasificar ambos puntos.
3. c) Compara críticamente ambos métodos para este caso: ¿cuál de los dos resulta más eficiente y por qué la presencia del factor $x^2$ hace que el Método 2 sea especialmente ventajoso frente al Método 1? ¿Qué limitación conceptual presentaría el Método 1 si la función no admitiese derivadas de orden superior en el punto analizado?

Se considera la familia de funciones de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \times e^{-x}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales. Se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 1)$ y que presenta un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = 1$.

1. a) Determina los valores de $a$ y $b$.
2. b) Para los valores hallados, estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función y comprueba si existen otros puntos de inflexión adicionales.

Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de transición para un nuevo modelo de monopatín. La altura de la rampa sigue la función $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en el intervalo $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la rampa cambie su curvatura (tenga un punto de inflexión) exactamente en $x = 0$.
2. b) ¿Es posible encontrar un valor de $k$ tal que la función sea siempre convexa ($\cup$) en todo su dominio de definición? Justifica tu respuesta analíticamente.

Dada la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, donde $a$ es una constante real no nula:

1. a) Demuestra que si $a > 0$, la función siempre tiene exactamente tres puntos de inflexión alineados.
2. b) Si $a = -3$, estudia la curvatura de la función detallando sus intervalos y puntos de inflexión, teniendo en cuenta las discontinuidades de la función.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada primera, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada y limitándote al tramo representado, $-2 < x < 2$:

1. a) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la función original $f(x)$.
2. b) Indica las abscisas de los puntos de inflexión de $f(x)$.
3. c) Si sabemos que $f(0) = 0$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ basándote en su curvatura.

Sea la función $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.

1. a) Halla la expresión de $f''(x)$ simplificada al máximo.
2. b) Determina los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente alcanza sus valores máximos o mínimos relativos. Pista: Recuerda que esto ocurre donde la curvatura cambia.
3. c) Estudia los intervalos de curvatura de $f(x)$.

Se desea suavizar la unión de dos tramos de carretera. El primer tramo viene dado por la función $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, y el segundo tramo por una función polinómica de tercer grado $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ para $x > 1$.

Para que la transición sea "perfectamente suave", los ingenieros exigen que en el punto de unión $x = 1$:

1. Las funciones coincidan ($f$ sea continua).

2. Las pendientes coincidan ($f$ sea derivable).

3. La curvatura sea la misma (las segundas derivadas coincidan).

Sabiendo que el segundo tramo debe tener un punto de inflexión en $x = 2$, calcula los valores de $a, b, c$ y $d$.

Considera la función $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Estudia el dominio y las asíntotas de la función.
2. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.
3. c) Analiza la curvatura y demuestra que no existe ningún punto de inflexión.
4. d) ¿Hacia qué valor tiende la pendiente de la curva cuando $x \to \infty$? ¿Cambia esto la curvatura en el infinito?

Sea la función $f(x) = x^4 \times \ln(x)$ definida para $x > 0$.

1. a) Calcula $f'(x)$, $f''(x)$ y $f'''(x)$.
2. b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad.
3. c) ¿Existe algún punto de la gráfica donde la recta tangente sea horizontal y, simultáneamente, ese punto sea un punto de inflexión? Justifica tu respuesta.
4. d) Estudia el comportamiento de la curvatura cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha. ¿Podemos decir que hay un punto de inflexión en el límite?

Según las proyecciones del Plan Nacional Integrado de Energía y Clima (PNIEC) en España, la potencia acumulada de autoconsumo solar fotovoltaico (en gigavatios, $\text{GW}$) entre los años 2018 ($t = 0$) y 2026 ($t = 8$) se modela mediante la función logística:

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\times e^{-0.5t}}$

donde $t$ representa el tiempo transcurrido en años desde finales de 2018.

1. a) Determine razonadamente el límite de $P(t)$ cuando $t \to +\infty$ e interprete el valor obtenido en el contexto del modelo (capacidad de saturación de la potencia instalable).
2. b) Calcule analíticamente la segunda derivada $P''(t)$ y halle el instante exacto $t_0$ en el que la función presenta un punto de inflexión. ¿En qué año y mes aproximado se produjo este hito?
3. c) Estudie el signo de $P''(t)$ antes y después de $t_0$. Interprete qué significado tienen la convexidad y la concavidad en términos del ritmo de instalación anual ($P'(t)$): ¿durante qué período el ritmo de instalación fue acelerado y cuándo empezó a ralentizarse, a pesar de que la potencia total continuara aumentando?
4. d) Demuestre algebraicamente que en cualquier modelo logístico general de la forma $P(t) = \frac{K}{1 + b\times e^{-kt}}$ (con $K, b, k > 0$), el punto de inflexión se alcanza siempre en el instante en que la magnitud llega a la mitad de su valor límite de saturación ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

En el diseño del perfil longitudinal de una rampa de aceleración para una atracción de un parque temático en San Pedro Sula, se necesita enlazar suavemente la cota de salida con la plataforma superior. La rampa debe representarse mediante una función derivable $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4]$ (donde $x$ es la distancia horizontal en metros y $f(x)$ la altura en metros) que satisfaga:

1. Comienza en el punto $(0, 0)$ con pendiente horizontal ($f'(0) = 0$).

2. Termina en el punto $(4, 2)$ también con pendiente horizontal ($f'(4) = 0$).

3. Para evitar sacudidas bruscas en los pasajeros, la curvatura debe variar de forma continua, pasando de convexa ($\cup$) a cóncava ($\cap$), existiendo exactamente un punto de inflexión en el interior del intervalo $(0, 4)$.

1. a) Demuestre formalmente por qué es imposible que un polinomio de segundo grado cumpla simultáneamente estas especificaciones.
2. b) Determine los coeficientes del polinomio de menor grado posible, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, que cumple las condiciones de posición y pendiente en los extremos.
3. c) Para la función cúbica obtenida, demuestre que se verifica la condición de curvatura: determine los intervalos de convexidad y concavidad, halle las coordenadas del punto de inflexión y justifique por qué en la abscisa de dicho punto de inflexión la rampa alcanza su pendiente máxima, calculando su valor exacto.