Ejercicios: El movimiento armónico simple

Un columpio oscila libremente tras un empujón. Con un cronómetro, usted cuenta $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres posiciones de su oscilación.

1. a) Defina, aplicándolos al columpio, los conceptos de elongación, amplitud, periodo y frecuencia.
2. b) Calcule el periodo $T$ y la frecuencia $f$ de la oscilación.

La elongación de una masa que oscila en un resorte horizontal viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0.1 \times \sen(20 \times \pi \times t)$.

1. a) ¿Cuánto valen la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$?
2. b) Calcule el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del movimiento, recordando que $T = \frac{2 \times \pi}{\omega}$ y $f = \frac{1}{T}$.

Un oscilador describe un movimiento armónico simple de ecuación $x = 0.08 \times \sen(\pi \times t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcule la elongación en el instante $t = 0.5\ \text{s}$.
2. b) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la elongación? ¿En qué instantes se alcanza?

El periodo de un oscilador masa-resorte es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0.25\ \text{kg}$ oscila unido a un resorte de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcule el periodo de la oscilación.

El periodo de un péndulo simple es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud y oscila ligeramente tras una corriente de aire (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). Calcule su periodo de oscilación.

Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada.

1. a) Calcule la frecuencia del latido, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcule su periodo, en segundos: ¿cuánto tiempo pasa entre dos latidos consecutivos?

La tensión de la red eléctrica española oscila con una frecuencia de $50\ \text{Hz}$. Calcule su frecuencia angular $\omega = 2 \times \pi \times f$, en $\text{rad/s}$.

Dos osciladores idénticos vibran según las ecuaciones, en unidades del Sistema Internacional, $x_1 = 0.05 \times \sen(3 \times \pi \times t)$ y $x_2 = 0.05 \times \sen(3 \times \pi \times t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) ¿Qué magnitudes tienen en común los dos movimientos?
2. b) Calcule la elongación inicial (en $t = 0$) de cada uno y explique en qué se diferencian.

El vástago de un motor de combustión vibra según la ecuación $x = 0.04 \times \sen(10 \times \pi \times t + \frac{\pi}{2})$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Indique el valor de la amplitud $A$, la frecuencia angular $\omega$ y la fase inicial $\varphi_0$.
2. b) Calcule el periodo $T$ y la frecuencia $f$.
3. c) Calcule la elongación en $t = 0.1\ \text{s}$ e interprete su signo.

La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0.5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa por la posición de equilibrio moviéndose en el sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcule la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Escriba la ecuación completa de la elongación, $x = A \times \sen(\omega \times t + \varphi_0)$, expresando la amplitud en metros.

Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de afinación). La velocidad máxima de un oscilador es $v_{max} = A \times \omega$.

1. a) Calcule la frecuencia angular $\omega$ de la vibración.
2. b) Exprese la amplitud en metros y calcule la velocidad máxima del punto de la cuerda.

En la Estación Espacial Internacional no se puede usar una balanza para medir la masa de los astronautas. En su lugar, el astronauta se sienta en un asiento unido a un resorte de constante $k = 1000\ \text{N/m}$ y se mide el periodo de oscilación del conjunto, $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Si el periodo medido es $T = 1.6\ \text{s}$, despeje la masa de la fórmula y calcule la masa del astronauta (desprecie la del asiento).
2. b) Explique por qué este método funciona en ingravidez y una balanza no.

Un reloj de pie antiguo funciona con un péndulo cuyo periodo debe ser exactamente $T = 2.0\ \text{s}$: cada oscilación completa hace avanzar un diente del mecanismo (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El péndulo se muestra en la figura.

1. a) Despeja la longitud de la fórmula $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcula la longitud que debe tener el péndulo.

En un taller se ensaya un resorte de constante $k = 250\ \text{N/m}$ uniéndole una masa de $0.4\ \text{kg}$ y haciéndolo oscilar.

1. a) Calcule el periodo de la oscilación, $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcule la frecuencia, en $\text{Hz}$.

Un péndulo de $l = 1.5\ \text{m}$ de longitud forma parte de un experimento que se instalará en una base lunar. La gravedad en la superficie de la Luna es $g_L = 1.6\ \text{m/s}^2$ y en la Tierra $g_T = 9.8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule el periodo del péndulo en la Tierra.
2. b) Calcule el periodo en la Luna.
3. c) ¿Cuántas veces más lento oscila en la Luna? Calcule el cociente de ambos periodos.

Una boya de captación de energía undimotriz oscila verticalmente con las olas según la ecuación $x = 0.1 \times \sen(2 \times \pi \times t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcule el periodo y la frecuencia de la oscilación.
2. b) Calcule la elongación en el instante $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) ¿En qué instante alcanza por primera vez su altura máxima?

En una pista de aire sin fricción, un carro de $m = 0.25\ \text{kg}$ está unido a un resorte de constante $k = 400\ \text{N/m}$. Se separa el carro $10\ \text{cm}$ de la posición de equilibrio y se suelta en reposo en el instante $t = 0$. El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcule la frecuencia angular, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, y el período de la oscilación.
2. b) Tomando $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, razone por qué la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: ¿cuánto vale la elongación en $t = 0$?
3. c) Escriba la ecuación completa de la elongación, en unidades del Sistema Internacional.
4. d) Calcule la velocidad máxima del carro, $v_{max} = A \times \omega$.

La aguja registradora de un sismógrafo oscila según la ecuación $x = 0.06 \times \sen(8 \times \pi \times t)$, en unidades del Sistema Internacional. La velocidad en el movimiento armónico simple es $v = A \times \omega \times \cos(\omega \times t + \varphi_0)$. La gráfica de la elongación en función del tiempo es la de la figura.

1. a) Calcula el primer instante en el que la elongación vale $x = 0.03\ \text{m}$ (la mitad de la amplitud).
2. b) Calcula la velocidad de la aguja en ese instante.
3. c) ¿En qué posición la velocidad es máxima y cuánto vale?

El péndulo de Foucault instalado en el Panteón de París tiene una longitud de $l = 67\ \text{m}$ (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcule su periodo de oscilación.
2. b) Calcule cuántas oscilaciones completas realiza en una hora.
3. c) Foucault usó una esfera de $28\ \text{kg}$. Justifique, a partir de la fórmula del periodo, por qué la masa de la esfera no influye en la medida y por qué interesa construir el péndulo lo más largo posible para observar el fenómeno con comodidad.

Se quiere diseñar un péndulo de periodo $T = 2.00\ \text{s}$ para un experimento que funcionará en la superficie de Marte, donde $g_M = 3.71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule la longitud que debe tener el péndulo en Marte.
2. b) Si ese mismo péndulo se trajera de vuelta a la Tierra ($g_T = 9.8\ \text{m/s}^2$), ¿cuál sería su periodo?
3. c) Los geólogos usan péndulos de precisión para medir $g$ en distintos puntos de la Tierra y detectar anomalías del subsuelo. Explique, a partir de la fórmula, por qué el periodo de un péndulo revela el valor de $g$ y qué magnitudes hay que medir con más cuidado.

En el laboratorio se montan dos osciladores con el mismo resorte, de constante $k = 100\ \text{N/m}$: el oscilador A lleva una masa de $0.1\ \text{kg}$ y el oscilador B una masa de $0.4\ \text{kg}$. La figura muestra los dos montajes.

1. a) Calcule el periodo de cada oscilador y su cociente $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Sin repetir los cálculos, razone con la fórmula $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$ qué relación hay entre ese cociente y el cociente de masas $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) ¿Qué constante elástica debería tener el resorte del oscilador B para que oscilara con el mismo periodo que el A? Justifíquelo.

Un grupo de estudiantes mide la gravedad con un péndulo. La longitud medida es $l = 1.20\ \text{m}$ y cronometran $20$ oscilaciones completas en $44.0\ \text{s}$.

1. a) Calcule el periodo del péndulo.
2. b) Despeje $g$ de la fórmula $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$ y calcule su valor experimental.
3. c) Compare con el valor aceptado $g = 9.81\ \text{m/s}^2$ y explique por qué se cronometran $20$ oscilaciones y no una sola para obtener el periodo.

Se cuelga una masa de $m = 0.5\ \text{kg}$ de un muelle vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcula cuánto se estira el muelle hasta alcanzar la posición de equilibrio, donde la fuerza elástica $k \times x_0$ iguala al peso $m \times g$.
2. b) Se separa ligeramente la masa de esa posición y se suelta. Calcula el periodo de la oscilación vertical, $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Explica por qué la gravedad no modifica el periodo respecto al mismo oscilador dispuesto en horizontal: ¿qué es lo único que cambia la gravedad en la oscilación vertical?