Ejercicios: La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un resorte, sin fricción, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justifique sus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un resorte de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0.1\ \text{m}$. Calcule la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$.

La energía mecánica de un oscilador masa-resorte es $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.05\ \text{m}$. Calcule su energía mecánica.

El vibrador de un teléfono celular almacena una energía mecánica de $2\ \text{J}$ mientras oscila.

1. a) ¿Cuánto vale su energía cinética máxima? ¿En qué posición se alcanza?
2. b) ¿Cuánto vale su energía potencial elástica máxima? ¿En qué posiciones se alcanza?
3. c) ¿Qué relación hay entre esos dos valores y la energía mecánica? Justifíquelo.

Un carro de $m = 0.5\ \text{kg}$ unido a un resorte pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule su energía cinética en ese punto.
2. b) ¿Cuánto vale en ese punto su energía potencial elástica? ¿Y su energía mecánica? Justifíquelo.

En una cuna de Newton (el péndulo de bolas de acero de los despachos), una bola de $m = 0.3\ \text{kg}$ se eleva $h = 0.2\ \text{m}$ sobre su punto más bajo antes de soltarla (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra la bola elevada, a punto de soltarse.

1. a) Calcula su energía potencial gravitatoria respecto al punto más bajo, $E_p = m \times g \times h$.
2. b) ¿En qué se transformará esa energía al soltar la bola? ¿Cuánto valdrá la energía cinética al pasar por el punto más bajo?

Un oscilador masa-resorte tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describa cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describa cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibuje en su cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Una gimnasta salta sobre una cama elástica y oscila verticalmente, sin perder contacto con la lona, entre un punto más alto y un punto más bajo.

1. a) ¿En qué punto de la oscilación es máxima su energía potencial gravitatoria?
2. b) ¿En qué punto es máxima la energía potencial elástica almacenada por la lona?
3. c) ¿Dónde es máxima su energía cinética? Justifique las tres respuestas por el intercambio de energías.

Un carro de $m = 0.5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin rozamiento unido a un muelle de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calcula la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$.
2. b) Calcula la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0.06\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-resorte oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. Se quiere encontrar la posición donde la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales.

1. a) Plantee la condición $E_c = E_p$ teniendo en cuenta que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, y demuestre que en ese punto $E_p = \frac{1}{4} \times k \times A^2$.
2. b) Despeje la elongación y calcule su valor numérico.
3. c) Compruebe que el resultado es menor que la amplitud: ¿es razonable?

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-resorte de masa $m = 0.4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0.08\ \text{m}$.

1. a) Calcule la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calcule la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Compruebe que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \times \sqrt{\frac{k}{m}}$.

La bola de acero de una máquina de demolición cuelga de un cable de $l = 2\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo cuando el cable forma un ángulo de $60^\circ$ con la vertical (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). La altura que desciende respecto al punto más bajo es $h = l \times (1 - \cos 60^\circ)$. La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcule esa altura $h$.
2. b) Aplique la conservación de la energía, $m \times g \times h = \frac{1}{2} \times m \times v^2$, y calcule la velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo.
3. c) ¿Depende esa velocidad de la masa de la bola? Justifíquelo.

El resorte del lanzador de un pinball tiene una constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. La gráfica muestra cómo crece la energía potencial elástica con la compresión.

1. a) Calcule la energía potencial elástica almacenada cuando se comprime $0.1\ \text{m}$ y cuando se comprime $0.2\ \text{m}$.
2. b) ¿Qué energía adicional hay que aportar para pasar de una compresión a la otra?
3. c) ¿Por qué no basta con decir que «el doble de compresión es el doble de energía»? Razone con la fórmula.

El tambor de una lavadora, durante el centrifugado, vibra con una energía mecánica de $1.44\ \text{J}$. Los amortiguadores que lo sujetan se comportan como un resorte de constante efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Despeje la amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$.
2. b) Calcule la amplitud de la vibración, en metros, y exprésela también en centímetros.

El martillo de un timbre eléctrico oscila con amplitud $A = 5\ \text{cm}$ impulsado por un resorte de constante $k = 800\ \text{N/m}$; su masa es $m = 0.1\ \text{kg}$.

1. a) Exprese la amplitud en metros y calcule la energía mecánica del oscilador.
2. b) Calcule la energía cinética máxima del martillo.
3. c) Calcule la velocidad máxima del martillo.

Una persona se balancea en una liana de $l = 2\ \text{m}$ y pasa por el punto más bajo a $3\ \text{m/s}$ (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra el balanceo.

1. a) Calcule la altura máxima que alcanza sobre el punto más bajo, aplicando $\frac{1}{2} \times m \times v^2 = m \times g \times h$.
2. b) La altura y el ángulo máximo $\theta$ con la vertical cumplen $h = l \times (1 - \cos\theta)$. Calcule el valor de $\cos\theta$ y deduzca el ángulo máximo que alcanza la liana.

Un oscilador masa-resorte tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$.

1. a) Calcule la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0.05\ \text{m}$ y $x = 0.1\ \text{m}$.
2. b) Calcule la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibuje en su cuaderno las gráficas de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y descríbalas: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calcule la posición exacta donde las gráficas de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Un oscilador de $m = 0.2\ \text{kg}$ y $k = 50\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcule su energía mecánica.
2. b) Calcule la energía potencial, la energía cinética y la velocidad cuando la elongación es $x = 0.16\ \text{m}$.
3. c) Demuestre, usando $E_c = \frac{1}{2} \times k \times (A^2 - x^2)$, que la velocidad es la mitad de la máxima cuando $x = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$, y calcule esa posición.

Un péndulo de demostración de laboratorio tiene una longitud $l = 1\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $60^\circ$ con la vertical (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). Recuerde que la altura sobre el punto más bajo es $h = l \times (1 - \cos\theta)$. La figura muestra el péndulo en las tres posiciones consideradas.

1. a) Calcule la velocidad máxima que alcanza al pasar por el punto más bajo.
2. b) Calcule su velocidad cuando el hilo forma $30^\circ$ con la vertical, aplicando la conservación de la energía entre los puntos de $60^\circ$ y $30^\circ$.
3. c) Compare las dos velocidades: ¿por qué la velocidad a $30^\circ$ es más de la mitad de la máxima aunque el ángulo sea justo la mitad?

Un oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ y $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primero con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$ y después con amplitud $A' = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcule la energía mecánica en cada caso y su cociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcule la velocidad máxima en cada caso y su cociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generalice el resultado: si la amplitud se multiplica por un factor $n$, ¿por qué factor se multiplican la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifíquelo con las fórmulas.

En un oscilador armónico se mide que, cuando la elongación vale $x = \frac{A}{2}$, la energía cinética es de $6\ \text{J}$.

1. a) Demuestre que en ese punto la energía potencial elástica vale la cuarta parte de la energía mecánica, es decir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la medida, calcule la energía mecánica del oscilador.
3. c) Calcule la energía cinética al pasar por el equilibrio y la energía potencial en los extremos.

Una esfera de acero de $m = 2\ \text{kg}$ cuelga de una cuerda de $l = 2.5\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $30^\circ$ con la vertical (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$; recuerde $h = l \times (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcule la energía mecánica del péndulo respecto al punto más bajo de la trayectoria.
2. b) Calcule la velocidad máxima al pasar por el punto más bajo.
3. c) Si la esfera tuviera el doble de masa y se soltara desde el mismo ángulo, ¿cómo cambiarían la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifíquelo con las fórmulas y explique por qué una de ellas no cambia.

Un juguete lanza verticalmente una bola de $m = 0.05\ \text{kg}$ mediante un muelle de constante $k = 500\ \text{N/m}$ que se comprime $x = 0.1\ \text{m}$ antes de soltarse (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El lanzamiento se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada en el muelle comprimido.
2. b) Suponiendo que toda esa energía se convierte en energía cinética de la bola, calcula su velocidad de salida.
3. c) Calcula la altura máxima que alcanzará la bola, aplicando de nuevo la conservación de la energía.
4. d) El juguete real alcanza menos altura de la calculada. Cita al menos dos causas energéticas que lo expliquen.

Reto del tema. ¿Se conserva la energía mecánica en un oscilador real? Analice el comportamiento de un péndulo casero aplicando el movimiento armónico simple (MAS) y el balance energético.

1. Montaje y toma de datos: Cuelgue un objeto pequeño y denso (unas llaves) de un hilo fino ($L \approx 0.70\text{ m}$). Sepárelo con un ángulo pequeño ($\theta \le 10^\circ$) para asegurar el régimen de MAS. Mida con el celular el tiempo de $10$ oscilaciones completas y repita $5$ veces para determinar el periodo con su incertidumbre ($T \pm \Delta T$). Registre la masa con una balanza de cocina ($m \pm \Delta m$). Anote también el ángulo inicial $\theta_0$ y calcule la amplitud $A = L\theta_0$ (con $\theta_0$ en radianes).

2. Cinemática del MAS: Calcule la frecuencia angular $\omega = 2\pi/T$ y escriba la ecuación de elongación $x(t) = A\cos(\omega t)$. Compare el periodo medido con el teórico ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$, con $g = 9.80\text{ m/s}^2$) justificando las diferencias.

3. Energía y gráfica: Calcule la energía cinética máxima, $E_{c,\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$, y compárela con la potencial inicial. Elabore una tabla con $E_c(t)$, $E_p(t)$ y $E_m(t)$ en $8$ instantes de una oscilación y represente sus curvas en una misma gráfica.

4. Informe final: Mida (por ejemplo, grabando un video) la amplitud inicial y la amplitud tras $10$ oscilaciones, estime la pérdida de energía mecánica y entregue una propuesta razonada que explique las pérdidas observadas por fricción.

Se valorará:

• Rigor en la obtención experimental de medidas e incertidumbres.

• Corrección en las ecuaciones del MAS y el cálculo de energías.

• Calidad técnica de la tabla y la gráfica comparativa.

• Análisis crítico sobre la degradación de la energía mecánica.