Ejercicios: La ecuación de ondas y su relación con el MAS

En un laboratorio se genera en una cuerda tensa una onda transversal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0.05 \times \sen(4 \times \pi \times x - 20 \times \pi \times t)$. La figura muestra el perfil de la cuerda en un instante.

1. a) Indique los valores de la amplitud $A$, del número de onda $k$ y de la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Razone, a partir del signo que acompaña al término en $t$ dentro de la fase, en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda.

Un diapasón vibra y genera en el aire una onda armónica de frecuencia angular $\omega = 100 \times \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcule su periodo $T$, recordando que $T = \frac{2 \times \pi}{\omega}$.
2. b) Calcule su frecuencia $f$, en $\text{Hz}$.

En una cubeta de ondas del laboratorio se generan ondas en la superficie del agua con un número de onda $k = 2 \times \pi\ \text{rad/m}$. La figura muestra el perfil de la superficie en un instante.

1. a) Calcule la longitud de onda $\lambda$, recordando que $\lambda = \frac{2 \times \pi}{k}$.
2. b) Explique con sus palabras qué representa físicamente la longitud de onda observando el perfil de la superficie.

El oído humano percibe sonidos entre $20\ \text{Hz}$ y $20\ \text{kHz}$, y el sonido viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule la longitud de onda del sonido más grave que podemos oír usando $v = \lambda \times f$.
2. b) Calcule la longitud de onda del sonido más agudo que podemos oír, expresando antes $20\ \text{kHz}$ en hercios.
3. c) Razone, a la vista de los resultados, cómo varía la longitud de onda cuando aumenta la frecuencia si la velocidad no cambia.

La ecuación $y(x, t) = A \times \sen(k \times x - \omega \times t)$ describe una perturbación doblemente periódica: en el tiempo y en el espacio. Las dos gráficas de la figura representan esa doble periodicidad.

1. a) Si elegimos un punto fijo del medio (fijamos $x$), ¿con qué periodo oscila? Exprese el resultado en función de $\omega$.
2. b) Si observamos el perfil de la perturbación en un instante fijo (fijamos $t$), ¿cada qué distancia se repite? Exprese el resultado en función de $k$.
3. c) Explique, a partir de lo anterior, por qué se dice que el movimiento ondulatorio combina una oscilación en el tiempo con una periodicidad en el espacio.

Por un resorte espiral tenso se propaga una onda longitudinal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0.04 \times \sen(2 \times \pi \times x - 10 \times \pi \times t)$.

1. a) Calcule su frecuencia $f$ y su periodo $T$.
2. b) Calcule su longitud de onda $\lambda$.
3. c) Calcule su velocidad de propagación usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Cuando una onda armónica atraviesa un medio, cada punto del medio oscila con un movimiento armónico simple (MAS).

1. a) Indique qué magnitudes del MAS de cada punto coinciden con las de la onda: piense en la amplitud y en la frecuencia.
2. b) Indique qué magnitud distingue la oscilación de un punto cercano al foco de la de un punto más alejado.
3. c) Explique la diferencia entre la velocidad de oscilación de un punto del medio y la velocidad de propagación de la onda.

Una onda transversal viaja por una cuerda según la ecuación, en unidades del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0.03 \times \sen(5 \times x + 20 \times t)$.

1. a) Determine en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda y justifíquelo a partir del signo de la fase.
2. b) Calcule su velocidad de propagación a partir de $k$ y $\omega$.
3. c) Reescriba la ecuación cambiando lo imprescindible para que la onda viajara en el sentido positivo del eje.

Una boya oceanográfica registra el paso de un tren de olas de amplitud $1.5\ \text{m}$ y periodo $T = 4\ \text{s}$; la distancia entre dos crestas consecutivas es de $25\ \text{m}$. La figura representa el perfil de las olas.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ y el número de onda $k$.
2. b) Calcula la velocidad de propagación de las olas usando $v = \lambda \times f$.
3. c) Escribe la ecuación de ondas suponiendo fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$.

Por una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0.02 \times \sen(10 \times \pi \times x - 200 \times \pi \times t)$.

1. a) Calcule la elongación del punto situado en $x = 0.5\ \text{m}$ en el instante $t = 0.01\ \text{s}$.
2. b) Indique cuál es la elongación máxima que puede alcanzar ese punto y razone si depende del punto elegido.
3. c) Calcule el periodo con el que oscila ese punto.

Para estudiar la fase de una onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$ se colocan dos micrófonos alineados con el altavoz que la emite, como se muestra en la figura.

1. a) Calcule la longitud de onda del sonido.
2. b) Calcule la diferencia de fase entre las oscilaciones de dos puntos separados $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \times \pi}{\lambda} \times \Delta x$.
3. c) Los micrófonos se colocan finalmente separados $2\ \text{m}$: calcule el nuevo desfase y razone si en ese caso los puntos oscilan en fase o en oposición de fase.

En una prospección geológica se genera una onda sísmica armónica de amplitud $0.01\ \text{m}$ y frecuencia $f = 10\ \text{Hz}$ que se propaga por el terreno a $6000\ \text{m/s}$ en el sentido positivo del eje $x$.

1. a) Calcule su longitud de onda y su número de onda.
2. b) Calcule su frecuencia angular.
3. c) Escriba su ecuación de onda sabiendo que la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un punto del centro de una cuerda de violín oscila con amplitud $A = 5\times10^{-4}\ \text{m}$ cuando la cuerda emite un la de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcule la frecuencia angular de la oscilación.
2. b) Sabiendo que la velocidad máxima de oscilación de un MAS es $v_{max} = A \times \omega$, calcule la velocidad máxima de ese punto.
3. c) La onda viaja por esa cuerda a $250\ \text{m/s}$: compare ese valor con el del apartado anterior y razone por qué ambas velocidades son tan distintas aunque se midan en la misma cuerda.

Un generador de ultrasonidos de laboratorio emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagan por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Exprese la frecuencia en hercios y calcule la longitud de onda, en metros y en milímetros.
2. b) Calcule el periodo y expréselo en segundos y en microsegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Razone, sabiendo que el oído humano percibe como máximo unos $20\ \text{kHz}$, por qué nadie oye el tono que emite el generador.

La fotografía instantánea de una cuerda muestra un perfil senoidal cuyas crestas se elevan $5\ \text{cm}$ sobre la posición de equilibrio y distan entre sí $80\ \text{cm}$; la perturbación avanza por la cuerda a $2\ \text{m/s}$. La figura muestra esa fotografía instantánea.

1. a) Determine la amplitud y la longitud de onda a partir de la descripción de la fotografía, expresándolas en metros.
2. b) Calcule la frecuencia, el periodo, la frecuencia angular y el número de onda.
3. c) Escriba la ecuación de onda con fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$, con todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional.

Una onda transversal de amplitud $0.04\ \text{m}$ y periodo $T = 0.5\ \text{s}$ se propaga por una cuerda a $8\ \text{m/s}$ en el sentido negativo del eje $x$.

1. a) Calcule su frecuencia angular.
2. b) Calcule su longitud de onda y su número de onda.
3. c) Escriba su ecuación de ondas con fase inicial nula, cuidando el signo de la fase para que represente el sentido de propagación indicado.

Por una cuerda de laboratorio viaja una onda armónica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. En la figura se representa el perfil de la onda con tres puntos P, Q y R señalados.

1. a) Calcule su longitud de onda.
2. b) Calcule la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase y justifique el resultado.
3. c) Calcule la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en oposición de fase.
4. d) Determine el desfase entre dos puntos separados $3\ \text{m}$ y describa cómo oscila uno respecto del otro.

Por una cuerda tensa se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda transversal de amplitud $0.05\ \text{m}$, frecuencia angular $\omega = 20 \times \pi\ \text{rad/s}$ y velocidad $10\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el punto del origen alcanza su elongación máxima positiva.

1. a) Calcule el número de onda $k$.
2. b) Determine la fase inicial $\varphi_0$ imponiendo la condición $y(0, 0) = A$.
3. c) Escriba la ecuación de ondas completa.
4. d) Calcule la elongación del punto $x = 1\ \text{m}$ en el instante $t = 0.05\ \text{s}$ y razone el signo del resultado.

En un canal de olas de laboratorio se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda de amplitud $0.1\ \text{m}$ y velocidad $4\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el perfil de la superficie, con las crestas separadas $2\ \text{m}$, viene dado por $y(x, 0) = 0.1 \times \sen(\pi \times x)$.

1. a) Determine $k$ y $\omega$ y escriba la ecuación de ondas completa.
2. b) Exprese la elongación del punto $x = 0.5\ \text{m}$ en función del tiempo y razone si justo después de $t = 0$ ese punto sube o baja.
3. c) Compruebe la elongación inicial del punto $x = 1\ \text{m}$ y deduzca en qué sentido empieza a moverse.

En una exploración de ecografía se emplean ultrasonidos de $f = 3.5\ \text{MHz}$ que se propagan por el tejido blando a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule la longitud de onda en metros y exprésela en milímetros.
2. b) El eco reflejado en una estructura interna se recibe $8\times10^{-5}\ \text{s}$ después de la emisión: teniendo en cuenta que el pulso recorre dos veces esa distancia, calcule la profundidad de la estructura.
3. c) Razone por qué para apreciar detalles de pocos milímetros interesa trabajar con frecuencias de megahercios en lugar de sonidos audibles.

Una onda armónica de $f = 2\ \text{Hz}$ y amplitud $0.05\ \text{m}$ viaja en el sentido positivo del eje $x$ por una cuerda ligera a $6\ \text{m/s}$ y pasa a una segunda cuerda más densa, unida a la primera, donde su velocidad es de $3\ \text{m/s}$. En el cambio de medio la frecuencia se conserva. Observe el esquema de las dos cuerdas unidas:

1. a) Calcule la longitud de onda en cada cuerda.
2. b) Escriba la ecuación de ondas en cada una de las cuerdas, con fase inicial nula.
3. c) Indique qué magnitudes se conservan y cuáles cambian al pasar de una cuerda a la otra.
4. d) Razone, pensando en cómo oscila el punto de unión entre ambas cuerdas, por qué la frecuencia no puede cambiar en ese punto.

En una cuerda tensa se observa que dos puntos separados $1\ \text{m}$ oscilan siempre en fase.

1. a) Justifique que la longitud de onda solo puede tomar los valores $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Si se sabe además que $\lambda > 0.4\ \text{m}$, determine todos los valores posibles de $\lambda$.
3. c) La velocidad de propagación en la cuerda es de $100\ \text{m/s}$: calcule la frecuencia correspondiente a cada valor posible.
4. d) Proponga una medida adicional que permitiera decidir cuál de los valores es el real y justifique su propuesta.