Ejercicios: Cambios por desplazamiento de emisor y receptor (efecto Doppler)

Una ambulancia con la sirena encendida se acerca a un peatón, lo rebasa y se aleja.

1. a) Describa cómo cambia el tono que percibe el peatón al acercarse y al alejarse la ambulancia (más agudo o más grave).
2. b) Explique el cambio con la compresión y el ensanchamiento de los frentes de onda, ayudándose de un dibujo en su cuaderno.
3. c) ¿Cambia la frecuencia que emite realmente la sirena? Distinga entre frecuencia emitida y frecuencia percibida.

Cuando una fuente se acerca a un observador en reposo, este percibe la frecuencia $f' = f \times \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula dada; velocidad del sonido en el aire: $v = 340\ \text{m/s}$).

Una ambulancia emite a $500\ \text{Hz}$ y se acerca a un peatón a $20\ \text{m/s}$. Calcule la frecuencia percibida por el peatón.

Cuando la fuente se aleja de un observador en reposo, la fórmula es $f' = f \times \frac{v}{v + v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Con la misma ambulancia de antes ($f = 500\ \text{Hz}$, $v_f = 20\ \text{m/s}$), calcule la frecuencia percibida durante el alejamiento.
2. b) Compruebe que es menor que la frecuencia emitida y explíquelo cualitativamente con el espaciado de los frentes de onda.

Cuando el observador se mueve hacia una fuente en reposo, la fórmula es $f' = f \times \frac{v + v_0}{v}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un ciclista circula a $10\ \text{m/s}$ hacia un altavoz que emite un tono de $600\ \text{Hz}$. La figura muestra la situación.

Calcule la frecuencia que percibe el ciclista.

En los espectros de galaxias lejanas, las líneas de absorción del hidrógeno aparecen desplazadas hacia longitudes de onda mayores que las medidas en el laboratorio.

1. a) ¿Cómo se denomina este desplazamiento y qué indica sobre el movimiento de la galaxia respecto a la Tierra?
2. b) Relacione la observación generalizada de este fenómeno con la expansión del universo.
3. c) Razone por qué el efecto Doppler lumínico no necesita medio material, a diferencia del efecto Doppler sonoro.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno se mide en el laboratorio a $\lambda_0 = 656.3\ \text{nm}$ y en el espectro de una galaxia aparece a $\lambda' = 662.0\ \text{nm}$. La figura muestra ambas medidas.

El corrimiento al rojo se define como $z = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0}$ (fórmula dada).

Calcula $z$ e interpreta su signo en términos de acercamiento o alejamiento.

Sin hacer cálculos, indique en cada caso si la frecuencia percibida es mayor, menor o igual que la emitida, y razone la respuesta:

1. a) Un tren que se acerca a la estación pitando.
2. b) El mismo tren alejándose de la estación.
3. c) Un peatón que corre hacia una sirena fija.
4. d) Una galaxia que se aleja de la Tierra.
5. e) Fuente y observador en reposo relativo.

Un radar de tráfico emite microondas que se reflejan en los vehículos y regresan al aparato. El esquema muestra la emisión y el eco.

1. a) Explique los dos efectos Doppler sucesivos que sufre la onda: el carro como «observador» que recibe la señal y como «fuente» que reemite el eco.
2. b) Razone por qué el eco regresa con mayor frecuencia si el carro se acerca al radar.
3. c) ¿Qué fenómeno ondulatorio hace posible que la señal regrese al radar?

Una ambulancia emite a $700\ \text{Hz}$ y circula a $90\ \text{km/h}$ (velocidad del sonido: $v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Exprese la velocidad de la ambulancia en $\text{m/s}$.
2. b) Calcule la frecuencia percibida por un peatón en reposo durante la aproximación, con $f' = f \times \frac{v}{v - v_f}$.
3. c) Calcúlela durante el alejamiento, con $f' = f \times \frac{v}{v + v_f}$.

Un radar de tránsito emite microondas de $f = 2.4 \times 10^{10}\ \text{Hz}$. Para velocidades muy menores que la de la luz, el cambio de frecuencia del eco es $\Delta f \approx \frac{2 \times f \times v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). Un carro que se acerca devuelve un eco con $\Delta f = 4 \times 10^{3}\ \text{Hz}$.

1. a) Despeje la velocidad del carro de la fórmula y calcúlela en $\text{m/s}$.
2. b) Expréselaen $\text{km/h}$.

Para velocidades pequeñas frente a la de la luz, el corrimiento al rojo cumple $z \approx \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). Una galaxia presenta $z = 0.02$.

1. a) Calcule su velocidad en $\text{m/s}$ y en $\text{km/s}$.
2. b) Indique si la galaxia se acerca o se aleja de nosotros, justificándolo con el signo de $z$.

Si se mueven a la vez la fuente y el observador acercándose entre sí, la frecuencia percibida es $f' = f \times \frac{v + v_0}{v - v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$).

Un tren emite un pitido de $400\ \text{Hz}$ acercándose a $30\ \text{m/s}$ mientras un ciclista pedalea a $10\ \text{m/s}$ hacia él. La figura muestra la situación.

Calcule la frecuencia que percibe el ciclista.

En un ultrasonido Doppler de un vaso sanguíneo, el cambio de frecuencia del eco es $\Delta f \approx \frac{2 \times f \times v_{\text{sangre}}}{v}$ (fórmula dada; velocidad del sonido en el tejido: $v = 1540\ \text{m/s}$). La sonda emite a $5\ \text{MHz}$ y la sangre se mueve a $0.3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule $\Delta f$.
2. b) Compare el resultado con el rango de audición humana ($20\ \text{Hz}$ a $20\ \text{kHz}$) y razone por qué el equipo convierte ese desplazamiento en un tono audible para el médico.

Un carro con la alarma sonando a $800\ \text{Hz}$ pasa por delante de una persona en reposo circulando a $20\ \text{m/s}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule la frecuencia percibida durante la aproximación.
2. b) Calcule la frecuencia percibida durante el alejamiento.
3. c) Determine la caída brusca de frecuencia que se percibe justo en el instante en que el carro pasa.

La sirena de una moto de emergencias emite a $850\ \text{Hz}$ y, al acercarse, un peatón percibe $920\ \text{Hz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Despeje $v_f$ de la expresión $f' = f \times \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) Calcule la velocidad de la moto en $\text{m/s}$ y exprésela en $\text{km/h}$.

El Sol gira sobre su eje: su borde oriental se acerca a nosotros a $2\ \text{km/s}$ y el occidental se aleja a la misma velocidad. La figura esquematiza la rotación solar.

Para velocidades pequeñas se cumple $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule el desplazamiento $\Delta \lambda$ de la línea de $\lambda = 589\ \text{nm}$ en la luz procedente de cada borde, en nanómetros.
2. b) Determine la diferencia de longitud de onda entre las líneas de ambos bordes, que es lo que miden los espectrógrafos para estudiar la rotación solar.

Una ambulancia emite a $600\ \text{Hz}$ y circula a $72\ \text{km/h}$ ($v = 340\ \text{m/s}$).

1. a) Exprese la velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcule las frecuencias percibidas por un peatón en reposo durante la aproximación y durante el alejamiento.
3. c) Determine la caída de frecuencia que se percibe justo al pasar y explique con ella el característico cambio de tono de las sirenas al adelantarnos.
4. d) Dibuje en su cuaderno los frentes de onda de una fuente en movimiento y señale dónde se acumulan y dónde se separan.

Puede hacerlo en papel y enviar una foto con su respuesta.

Un radar de la Policía Nacional de Tránsito emite a $1.0 \times 10^{10}\ \text{Hz}$ y mide el eco de los vehículos con $\Delta f \approx \frac{2 \times f \times v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule el $\Delta f$ que produce un carro que se acerca a $144\ \text{km/h}$ ($40\ \text{m/s}$).
2. b) En un tramo limitado a $120\ \text{km/h}$, razone si este vehículo comete una infracción.
3. c) Explique el origen del factor $2$ de la fórmula (doble efecto Doppler en la ida y en la vuelta del eco) y por qué el radar debe medir frecuencias con una precisión extraordinaria.

La línea H$\alpha$ del hidrógeno ($\lambda_0 = 656.3\ \text{nm}$ en el laboratorio) se observa en el espectro de una galaxia a $\lambda' = 678.9\ \text{nm}$ (datos: $z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$; $v \approx z \times c$; ley de Hubble $v = H_0 \times d$, con $H_0 = 70\ \text{km/s}$ por $\text{Mpc}$; $c = 3 \times 10^{5}\ \text{km/s}$).

1. a) Calcule el corrimiento al rojo $z$ de la galaxia.
2. b) Calcule su velocidad en $\text{km/s}$.
3. c) Calcule su distancia en $\text{Mpc}$.
4. d) Explique qué consecuencia cosmológica se deduce del hecho de que las galaxias lejanas presenten sistemáticamente $z > 0$.

Delante de una fuente en movimiento, la frecuencia percibida es $f' = f \times \frac{v}{v - v_f}$ (fórmula dada; $v = 340\ \text{m/s}$). El número de Mach es el cociente entre la velocidad de un avión y la velocidad del sonido. La figura muestra los frentes de onda de una fuente que se mueve casi a la velocidad del sonido.

1. a) Calcula $f'$ para un avión a Mach $0.9$ ($v_f = 306\ \text{m/s}$) cuyo motor emite un ruido de $1000\ \text{Hz}$.
2. b) Analiza qué ocurre con el denominador de la fórmula y con $f'$ cuando $v_f$ tiende a $v$ (Mach $1$).
3. c) Relaciónalo con la onda de choque y el estampido sónico: explica por qué un observador en tierra no oye acercarse a un avión supersónico hasta que este ya lo ha sobrepasado.

El método de velocidad radial detecta exoplanetas por el bamboleo que provocan en su estrella: las líneas espectrales oscilan periódicamente con $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$). En la línea de $\lambda = 656.3\ \text{nm}$ de una estrella se mide una oscilación máxima $\Delta \lambda = 1.3 \times 10^{-4}\ \text{nm}$. El esquema muestra el bamboleo de la estrella.

1. a) Exprese ambas longitudes en metros y calcule la velocidad máxima de la estrella.
2. b) Explique por qué esa oscilación periódica delata un planeta invisible que obliga a la estrella a orbitar el centro de masas común del sistema.
3. c) Razone qué información adicional sobre el planeta aportaría el período de la oscilación.

Un radar meteorológico emite a $5.6 \times 10^{9}\ \text{Hz}$ y mide el eco de las gotas de lluvia con $\Delta f \approx \frac{2 \times f \times v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule $\Delta f$ para gotas que se alejan del radar a $15\ \text{m/s}$.
2. b) Indique si el eco regresa con mayor o menor frecuencia que la emitida y justifíquelo.
3. c) Explique cómo, barriendo el haz en distintas direcciones, el radar reconstruye un mapa del viento en el interior de una tormenta.

Un satélite en órbita baja transmite a $f = 2.2\ \text{GHz}$ y se mueve a $7.6\ \text{km/s}$ respecto a la estación terrestre. Para $v \ll c$ se cumple $\frac{\Delta f}{f} = \frac{v}{c}$ (fórmula dada; $c = 3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule el desplazamiento máximo $\Delta f$, expresado en $\text{kHz}$.
2. b) Determine el rango de frecuencias que la estación debe barrer durante un pase completo, con el satélite primero acercándose y luego alejándose.
3. c) Razone por qué los receptores de satélites deben reajustar la sintonía continuamente durante cada pase.

Un murciélago vuela a $6\ \text{m/s}$ hacia una polilla en reposo emitiendo ultrasonidos de $80\ \text{kHz}$ ($v = 340\ \text{m/s}$). El esquema muestra la emisión y el eco.

1. a) Calcule la frecuencia que «recibe» la polilla, con $f_1 = f \times \frac{v}{v - v_f}$.
2. b) El eco reflejado se comporta como si la polilla fuese una fuente en reposo de frecuencia $f_1$ y el murciélago un observador que se acerca a $6\ \text{m/s}$: calcule la frecuencia final que oye el murciélago, $f_2 = f_1 \times \frac{v + v_0}{v}$.
3. c) Compare $f_2$ con la frecuencia emitida $f$ y razone por qué este doble efecto Doppler facilita la detección de presas.
4. d) Prediga cualitativamente cómo cambiaría $f_2$ si la polilla también se moviese, huyendo del murciélago o yendo a su encuentro.

Reto del tema. ¿Cómo condiciona la física ondulatoria la acústica de su entorno? Diseñe una auditoría sonora casera siguiendo estas fases:

1. Consulte en COPECO o en el servicio meteorológico de Honduras la temperatura ambiental ($T$) de su localidad para calcular la velocidad teórica del sonido: $v = 331.5 + 0.6 \times T\text{ m/s}$. Mida con el celular el retardo del eco frente a un muro a distancia conocida ($d \pm \Delta d$) realizando cinco tomas. Tabule los datos ($t \pm \Delta t$) y obtenga $v_{\text{exp}} \pm \Delta v$.

2. Con una app gratuita de audio (como Phyphox), mida la frecuencia fundamental y el nivel de intensidad en $\text{dB}$ de un emisor constante. Analice las cualidades del sonido y su atenuación tras interponer diversos materiales domésticos (absorción y reflexión).

3. Grabe el paso de un vehículo o de una bicicleta con timbre continuo a velocidad constante emitiendo un tono $f_0$. Extraiga del espectrograma las frecuencias recibidas en aproximación y alejamiento. Calcule con la ecuación del efecto Doppler la velocidad del emisor y represente las curvas teóricas de $f'$ frente a la velocidad del emisor (aproximación y alejamiento), situando sobre ellas sus valores medidos.

4. Redacte un informe breve integrando sus gráficas, conclusiones físicas y una propuesta justificada para mitigar el ruido urbano en su zona.

Se valorará:

• Rigor en el tratamiento experimental de datos, cálculo de incertidumbres y calidad de la tabla y gráfica.

• Aplicación correcta de los modelos teóricos de cualidades sonoras, propagación y efecto Doppler.

• Coherencia científica del informe y viabilidad de las soluciones acústicas propuestas.