Ejercicios: Razones del ángulo suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).

Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcula el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.

Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.

Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.

Lucía necesita calcular el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ sin calculadora y decide descomponer el ángulo como suma de dos notables: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

Al revisar la prueba corregida, comprueba que el profesor ha calificado el ejercicio con un cero.

1. a) Sin hacer cálculos analíticos, razona geométricamente mediante la posición en la circunferencia goniométrica por qué el resultado de Lucía ($\approx 0.97$) es imposible para un ángulo de $105^\circ$.
2. b) Localiza y explica con precisión el error conceptual o de fórmula cometido en la segunda igualdad de su desarrollo.
3. c) Corrige el procedimiento y obtén el valor exacto simplificado de $\cos(105^\circ)$.

Se consideran dos ángulos agudos desconocidos, $\alpha$ y $\beta$, de los cuales solo se sabe que $\tan\alpha = 2$ y $\tan\beta = 3$.

1. a) Estima: Teniendo en cuenta que en el primer cuadrante la tangente es una función estrictamente creciente y que $\tan(45^\circ) = 1$, razona en qué cuadrante debe encontrarse el ángulo suma $\alpha + \beta$. A partir de esa deducción cualitativa, predice qué signo (+ o -) tendrá necesariamente $\tan(\alpha+\beta)$ antes de hacer ninguna operación.
2. b) Calcula: Aplica la fórmula de la tangente del ángulo suma para hallar el valor exacto de $\tan(\alpha+\beta)$.
3. c) Comprueba: Valora si el valor numérico obtenido confirma tu predicción del signo y determina la medida exacta en grados del ángulo $\alpha + \beta$.

Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.

Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.

Un cañón lanza un proyectil con un ángulo de elevación $\alpha$ respecto a la ladera de una montaña, cumpliéndose que $\sin \alpha = 0.6$ (siendo $\alpha$ un ángulo agudo). La propia ladera tiene una inclinación $\beta$ respecto a la horizontal con $\cos \beta = 0.96$ (siendo $\beta$ agudo). Halla el valor exacto del seno del ángulo total de lanzamiento respecto a la horizontal, es decir, $\sin(\alpha + \beta)$.

Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ cm y $10$ cm, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.

En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, y el segundo una desviación adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demuestra que la desviación total $\alpha + \beta$ es exactamente $45^\circ$ calculando la tangente del ángulo suma.

En una instalación fotovoltaica ubicada en Albacete, los módulos se colocan sobre una ladera natural que tiene una inclinación ascendente de ángulo agudo $\beta$ respecto a la horizontal, verificándose que $\tan\beta = \frac{7}{24}$. Los soportes permiten inclinar las placas un ángulo agudo adicional $\alpha$ respecto al suelo de la ladera, de manera que la inclinación total sobre el plano horizontal es $\alpha + \beta$. Para optimizar la captación en los meses de invierno, el pliego técnico exige que el ángulo total cumpla $\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$, siendo $\alpha + \beta < 90^\circ$.

1. a) A partir de $\tan\beta = \frac{7}{24}$, obtén los valores exactos de $\sin\beta$ y $\cos\beta$ justificando el signo según el cuadrante.
2. b) Determina el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$ y calcula a partir de él la fracción exacta que representa $\tan(\alpha + \beta)$.
3. c) Utiliza la fórmula de la tangente de la suma para plantear una ecuación de primer grado y calcula el valor exacto de $\tan\alpha$. A partir de este dato, razona si el ajuste mecánico $\alpha$ sobre el terreno debe ser mayor o menor de $45^\circ$.

Se busca construir dos ángulos agudos $\alpha$ y $\beta$ pertenecientes al primer cuadrante, $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$, que cumplan de forma simultánea estas dos condiciones:

1) $\cos\alpha\times\cos\beta - \sin\alpha\times\sin\beta = 0$

2) $\tan\alpha = 3\times\tan\beta$

1. a) Reconoce la fórmula trigonométrica correspondiente al miembro izquierdo de la condición (1) y deduce razonadamente qué relación de complementariedad guardan entre sí $\alpha$ y $\beta$.
2. b) Con dicha relación, expresa $\tan\beta$ exclusivamente en función de $\tan\alpha$ mediante las razones trigonométricas de ángulos complementarios.
3. c) Sustituye el resultado anterior en la condición (2), resuelve la ecuación obtenida para hallar el valor exacto de $\tan\alpha$ y determina las medidas exactas en grados de los dos ángulos $\alpha$ y $\beta$.

Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.

Encuentra todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.

Desarrolla la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupa los términos adecuadamente.

Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el primer cuadrante). El segundo eslabón forma un ángulo $\beta$ de giro relativo respecto a la prolongación del primer eslabón. Si para alcanzar una pieza crítica se requiere que la inclinación total del segundo eslabón respecto a la horizontal sea tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcula el valor exacto de $\tan \beta$.

En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestra matemáticamente la siguiente relación fundamental:

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma línea visual, hay una torre de telecomunicaciones. El ángulo adicional de elevación desde la azotea del edificio hasta la punta de la torre, medido desde la visual anterior, es $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabiendo que ambos ángulos son agudos, calcula el valor exacto del coseno del ángulo total de elevación $\alpha + \beta$ hacia la punta de la torre.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y da los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes:

$\sin(x+y) = 1$

$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$

Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte corriente de viento lateral desvía su trayectoria un ángulo adicional $\beta$ hacia el norte, de modo que el rumbo efectivo sobre el suelo forma un ángulo $\alpha + \beta$ con el este. Si la torre de control mide que la tangente del rumbo efectivo es $\frac{12}{5}$, halla los valores exactos de $\sin \beta$ y $\cos \beta$ sin recurrir al cálculo de los ángulos con calculadora.

Para resolver en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ la ecuación trigonométrica:

dos estudiantes proponen métodos de resolución distintos:

• Método de Sara: Aplica directamente las fórmulas de adición para el seno y el coseno de la suma en el miembro izquierdo, agrupa los términos semejantes y resuelve la ecuación simple resultante.

• Método de Marcos: Realiza el cambio $u = x + 45^\circ$, eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación $\sin u + \cos u = 1$ para obtener $(\sin u + \cos u)^2 = 1$, y utiliza la identidad fundamental para despejar $u$ y luego $x$.

1. a) Desarrolla por completo el método de Sara y halla todas las soluciones exactas de la ecuación en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Desarrolla el método de Marcos hasta encontrar las soluciones aparentes para $x$. Explica con detalle por qué elevar al cuadrado introduce soluciones falsas (extrañas) en este contexto y localiza cuáles son comprobándolas en la ecuación original.
3. c) Justifica por qué el método de Sara basado en las fórmulas de adición es conceptualmente superior y más seguro que recurrir a potencias.

En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, las medidas de sus ángulos interiores verifican que $A + B + C = 180^\circ$. En un caso concreto, se conocen las tangentes de dos de sus ángulos: $\tan A = 2$ y $\tan B = 3$.

1. a) Sabiendo que $C = 180^\circ - (A + B)$, aplica las propiedades de los ángulos suplementarios para demostrar la relación que existe entre $\tan C$ y $\tan(A + B)$.
2. b) Aplica la fórmula de la adición de la tangente para calcular el valor exacto de $\tan(A+B)$ y deduce el valor numérico de $\tan C$. A partir de él, halla la medida exacta en grados del ángulo $C$ y razona si el triángulo es acutángulo u obtusángulo.
3. c) Comprueba numéricamente si para este triángulo se verifica la igualdad $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \times \tan B \times \tan C$. A continuación, demuestra algebraicamente que esta relación es una identidad que se cumple para cualquier triángulo no rectángulo partiendo de la igualdad $\tan(A+B) = -\tan C$.