Ejercicios: Razones trigonométricas de un ángulo

Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ cm y $12$ cm.

Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades trigonométricas fundamentales.

Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \times \sin(60^\circ)$

Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.

Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su cotangente.

En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacto de la secante y la cosecante de dicho ángulo.

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica correspondiente a ángulos situados sobre los semiejes:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

Lucía tiene que calcular las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$, sabiendo que pertenece al segundo cuadrante y que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. En su examen escribe:

y a continuación concluye que $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

1. a) Señala con precisión el error conceptual cometido por Lucía y explica, apoyándote en la circunferencia goniométrica, por qué su resultado para el signo de $\cos\alpha$ y de $\tan\alpha$ es incoherente con el cuadrante indicado.
2. b) Corrige la resolución y calcula el valor numérico exacto de $\cos\alpha$ y de $\tan\alpha$.

Considera el ángulo $\alpha = 210^\circ$.

1. a) Sin recurrir a la calculadora ni realizar cálculos analíticos previos, haz una estimación razonada situando el ángulo en la circunferencia goniométrica: indica a qué cuadrante pertenece, deduce el signo de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ y $\tan 210^\circ$, y justifica cuál de las dos cantidades en valor absoluto debe ser mayor, $|\sin 210^\circ|$ o $|\cos 210^\circ|$, atendiendo a si el radio apunta más cerca del eje horizontal o del vertical.
2. b) Deduce ahora los valores numéricos exactos de $\sin 210^\circ$, $\cos 210^\circ$ y $\tan 210^\circ$ relacionando este ángulo con su correspondiente ángulo notable del primer cuadrante ($30^\circ$).
3. c) Comprueba si los valores exactos que has obtenido confirman la estimación de signos y de magnitudes relativas formulada en el apartado a).

Sabiendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ y que $\gamma$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \gamma$ y $\sec \gamma$.

Un edificio proyecta una sombra de $24$ metros cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular la altura del edificio y determina su valor. Si el ángulo de elevación se reduce a la mitad, ¿la longitud de la sombra se duplica? Justifica tu respuesta basándote en la no linealidad de la razón tangente.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón trigonométrica:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \times \cos^2 x}{\cos x}$

Un disco de amoladora gira a $7200$ revoluciones por minuto. Expresa esta velocidad angular en radianes por segundo y calcula el ángulo exacto (en radianes) barrido por una partícula de su borde exterior en $0.15$ segundos.

Halla el valor exacto de la siguiente expresión reduciendo previamente todos los ángulos al primer cuadrante:

$\cos(120^\circ) \times \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \times \cos(210^\circ)$

Un péndulo de $80$ cm de longitud se desplaza desde su posición vertical de equilibrio hasta formar un ángulo de $18^\circ$ con la vertical. Calcula la distancia horizontal exacta que se ha desplazado la masa del péndulo y la altura que ha ascendido respecto a su punto más bajo. Expresa los resultados en función de las razones trigonométricas de $18^\circ$.

Calcula los valores exactos de $\cot \alpha$ y $\csc \alpha$ sabiendo que $\sec \alpha = 3$ y que el seno del ángulo es negativo.

Para optimizar la captación de energía solar en invierno, un panel rectangular de $2$ metros de largo se levanta apoyando uno de sus lados menores en el suelo plano, de forma que el lado opuesto queda exactamente a $1.2$ metros de altura. Determina el valor exacto del coseno y la tangente del ángulo de inclinación del panel.

Se sabe que un ángulo $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante y que $\tan\alpha = -\frac{4}{3}$. Para calcular los valores exactos de $\cos\alpha$ y $\sin\alpha$, dos compañeros de clase plantean dos estrategias diferentes:

• Método A (Raquel): Aplica la identidad $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, despeja $\cos\alpha$ eligiendo el signo adecuado al cuadrante y luego obtiene $\sin\alpha = \tan\alpha \times \cos\alpha$.

• Método B (Sergio): Plantea un sistema de ecuaciones con la definición $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{4}{3}$ y la relación fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, despejando una incógnita en función de la otra para sustituir.

1. a) Compara ambos métodos analizando cuál resulta más directo, cuál presenta menor carga de cálculo algebraico y en cuál es más fácil equivocarse con la elección de signos.
2. b) Aplica el método que consideres más eficiente para hallar los valores exactos de $\cos\alpha$ y $\sin\alpha$, justificando la elección del signo en cada paso a partir del cuadrante de $\alpha$.

Escribe una ecuación polinómica de segundo grado en la incógnita $\cos x$, de la forma $a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$ con coeficientes enteros ($a, b, c \in \mathbb{Z}$ y $a > 0$), cuyas soluciones en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ sean única y exclusivamente los cuatro ángulos:

Para construirla y justificarla:

1. a) Determina el valor numérico exacto que toma $\cos x$ en cada uno de esos cuatro ángulos utilizando la simetría de la circunferencia goniométrica.
2. b) Construye la ecuación en función de $\cos x$ a partir de dichos valores y simplifica sus coeficientes para que sean números enteros.
3. c) Justifica por qué tu ecuación garantiza que no existe ningún otro ángulo en la primera vuelta completa $[0^\circ, 360^\circ)$ que satisfaga la igualdad.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual todas las razones están definidas:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Demuestra que el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ viene dada por la expresión $A = \frac{n \times R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. A continuación, aplica la fórmula para calcular el área exacta de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio $10$ cm.

Dada la relación $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina todos los valores exactos posibles para $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. Discute razonadamente en qué cuadrantes puede encontrarse el ángulo $\theta$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica, asumiendo que $x$ es un ángulo del primer cuadrante. Presta especial atención a los signos al reducir a dicho cuadrante:

$\frac{\sin(\pi - x) \times \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \times \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \times \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Encuentra todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Pista: expresa toda la ecuación en función de una única razón trigonométrica utilizando la identidad fundamental).

Un rayo de luz pasa de un medio líquido con índice de refracción $n_1 = 1.33$ a un cristal con índice $n_2 = 1.52$. La ley de Snell establece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son los ángulos de incidencia y refracción medidos respecto a la normal a la superficie. Si el rayo incide con un ángulo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina el valor exacto del coseno del ángulo de refracción $\theta_2$.

Dos poleas circulares de radios $R = 15$ cm y $r = 5$ cm están conectadas por una correa tensa que se cruza entre ellas. La distancia entre los centros de las poleas es de $40$ cm. Si $\alpha$ es el ángulo que forma el tramo recto de la correa con la línea imaginaria que une los centros, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y la longitud total del tramo recto de la correa comprendido entre los dos puntos de tangencia.

Demuestra que si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos agudos complementarios (es decir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), entonces se verifica siempre la siguiente relación trigonométrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \times \sec \beta} = 1$

En un parque eólico de Castilla y León, un aerogenerador tiene el buje (centro de giro de las palas) situado a $90\text{ m}$ sobre el suelo y sus palas miden $50\text{ m}$ de longitud. La posición del extremo de una pala se modeliza mediante una circunferencia de radio $50\text{ m}$ centrada en $(0, 90)$, donde el ángulo $\alpha$ se mide en sentido antihorario desde la posición horizontal derecha ($3$ en punto de un reloj).

Debido a una ráfaga de viento, el sistema de control bloquea la pala cuando el ángulo $\alpha$ se encuentra en el segundo cuadrante y el anemómetro registra que $\tan\alpha = -\frac{7}{24}$.

1. a) Deduce, mediante las identidades trigonométricas fundamentales y justificando el signo según el cuadrante, los valores exactos de $\cos\alpha$ y $\sin\alpha$.
2. b) Calcula las coordenadas exactas $(x, y)$ del extremo de la pala respecto al suelo (tomando el origen en la base del mástil vertical), indicando su altura sobre el terreno y su desviación horizontal.
3. c) Apoyándote en las propiedades de simetría de la circunferencia goniométrica, determina qué otro ángulo $\beta \in [0^\circ, 360^\circ)$ situaría el extremo de la pala exactamente a la misma altura sobre el suelo y calcula el valor exacto de $\sin\beta$, $\cos\beta$ y $\tan\beta$.

En una prueba escrita se pide simplificar la siguiente expresión para todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ en los que esté definida:

Carlos entrega la siguiente respuesta:

«Como $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, se cumple que $\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \cos\alpha$ y que $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sin\alpha$. Sustituyendo en la expresión:

Por tanto, el resultado vale $0$ para cualquier ángulo donde exista».

1. a) Explica con rigor algebraico el error cometido por Carlos al extraer las raíces cuadradas y enuncia la propiedad general $(\sqrt{u^2})$ que ha omitido.
2. b) Indica razonadamente para qué ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ la expresión $E(\alpha)$ no está definida.
3. c) Realiza un estudio por cuadrantes del valor constante que toma $E(\alpha)$ en cada uno de ellos.
4. d) A partir de tu estudio, determina si es posible encontrar algún ángulo $\alpha$ tal que $E(\alpha) = 2$ y describe qué posición ocupa dicho ángulo en la circunferencia goniométrica.