Ejercicios: Razones del ángulo doble

Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.

Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.

Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:

$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$

Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.

Marcos tiene que calcular el valor de $\sin(2\alpha)$ sabiendo que $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ y que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. En su examen escribe la siguiente resolución:

«Como se trata del ángulo doble, el valor del seno simplemente se duplica: $\sin(2\alpha) = 2 \times \sin\alpha = 2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$. Sin embargo, como el seno de cualquier ángulo real nunca puede ser mayor que $1$, este ejercicio no tiene solución y el ángulo propuesto es imposible».

1. a) Identifica los dos errores cometidos por Marcos (uno conceptual sobre la supuesta linealidad de las razones trigonométricas y otro en su conclusión final).
2. b) Corrige el ejercicio calculando el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ mediante la identidad del ángulo doble y determina razonadamente en qué cuadrante se sitúa $2\alpha$ hallando el signo de $\cos(2\alpha)$.

Se considera un ángulo agudo $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ del cual se conoce que $\cos\alpha = 0.8$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estima razonadamente el signo que tendrá $\cos(2\alpha)$. Para ello, compara $\cos\alpha = 0.8$ con el valor de referencia $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, deduce si $\alpha$ es mayor o menor que $45^\circ$ y razona en qué cuadrante debe caer el ángulo doble $2\alpha$.
2. b) Selecciona la variante de la fórmula de $\cos(2\alpha)$ que depende únicamente del coseno para calcular su valor numérico exacto en forma decimal. Comprueba si el signo obtenido coincide con tu estimación previa.

En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.

En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestra que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determina el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.

Para resolver en el intervalo $[0, 2\pi)$ la ecuación trigonométrica $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$, dos compañeros de clase proponen estrategias distintas:

• Alba propone: «Divido ambos miembros entre $\cos(x)$ para obtener $\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} - \sqrt{3} = 0$, sustituyo $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, simplifico el factor $\cos(x)$ y despejo directamente $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$».

• Bruno propone: «Sustituyo primero $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ en la ecuación, saco factor común $\cos(x)$ sin dividir entre ninguna incógnita e igualo cada factor a cero».

1. a) Analiza críticamente el método de Alba: explica qué infracción algebraica comete al dividir entre $\cos(x)$ y qué soluciones concretas del intervalo $[0, 2\pi)$ se pierden si se aplica su procedimiento.
2. b) Desarrolla de forma completa y rigurosa el método de Bruno y escribe todas las soluciones exactas de la ecuación en el intervalo $[0, 2\pi)$ expresadas en radianes.

En el Centro de Alto Rendimiento (CAR) de Sierra Nevada (Granada), un equipo de biomecánica analiza el alcance horizontal de los disparos a puerta en fútbol. De acuerdo con el modelo físico simplificado sobre terreno llano, el alcance horizontal viene dado por la expresión $d(\alpha) = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$, donde $v_0$ es la velocidad inicial del golpeo, $g \approx 9.8\text{ m/s}^2$ y $\alpha$ es el ángulo de elevación respecto a la horizontal ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

En un primer ensayo con velocidad $v_0$ fija, un futbolista golpea el balón con un ángulo $\alpha_1$ tal que $\tan(\alpha_1) = \frac{3}{4}$.

1. a) Calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha_1)$ para determinar el coeficiente de alcance de este primer disparo.
2. b) Si en un segundo lanzamiento con idéntica velocidad inicial el jugador duplica el ángulo de elevación a $\alpha_2 = 2\alpha_1$, calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha_2) = \sin(4\alpha_1)$ aplicando de forma sucesiva las razones del ángulo doble.
3. c) Compare ambos alcances ($d(\alpha_1)$ frente a $d(\alpha_2)$) y razone físicamente por qué duplicar la inclinación inicial del golpeo no duplica la distancia alcanzada, sino que produce el efecto contrario.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \times \tan(x) = 1$

Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el punto medio del arco mayor subtiende un ángulo inscrito $\widehat{APB}$ que mide $\alpha$. Sabiendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula la razón (el cociente) entre el área del triángulo central $\triangle OAB$ y el área del triángulo inscrito $\triangle PAB$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:

$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$

La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Expresa $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determina el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.

Se desea diseñar y reconstruir ecuaciones trigonométricas a partir de sus condiciones geométricas y de sus soluciones.

1. a) Se sabe que un determinado ángulo $\alpha$ perteneciente al segundo cuadrante $\left(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$ satisface que $\cos(2\alpha) = -\frac{7}{25}$. Deduce de manera unívoca los valores exactos de $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ y $\tan\alpha$, justificando la elección del signo en cada paso a partir del cuadrante de procedencia.
2. b) Construye una ecuación trigonométrica de la forma $\cos(2x) + b\cos(x) + c = 0$ (con $b, c \in \mathbb{R}$) cuyas únicas soluciones en el intervalo cerrado $[0, \pi]$ sean exactamente $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \pi$. Muestra paso a paso cómo determinas los coeficientes $b$ y $c$ planteando previamente una ecuación cuadrática en la variable auxiliar $u = \cos(x)$, y comprueba que en dicho intervalo no se introduce ninguna solución espuria.

Se considera la función $f(x) = \sin(2x) - 2\sin(x)$ definida en el intervalo $[0, 2\pi]$.

1. a) Aplique la fórmula del ángulo doble para expresar $f(x)$ como un producto de la forma $2\sin(x)(\cos(x) - 1)$ y determine de manera exacta todos los puntos del intervalo $[0, 2\pi]$ donde la gráfica corta al eje horizontal ($f(x) = 0$).
2. b) Realice un estudio analítico del signo de cada uno de los factores en los distintos cuadrantes y demuestre, sin recurrir a derivadas ni a gráficas por computadora, que $f(x) \le 0$ para todo $x \in [0, \pi]$ y que $f(x) \ge 0$ para todo $x \in [\pi, 2\pi]$. ¿Puede $f(x)$ tomar valores estrictamente positivos en el primer cuadrante? Justifique su respuesta.
3. c) Un estudiante afirma: «Dado que el valor mínimo de $\sin(2x)$ es $-1$ y el valor mínimo de $-2\sin(x)$ es $-2$, el valor mínimo absoluto que puede alcanzar $f(x)$ es $-1 + (-2) = -3$». Refute este razonamiento explicando por qué no se pueden optimizar ambos términos de forma independiente y compruebe que para $x = \frac{2\pi}{3}$ la función alcanza un valor inferior a $-2.5$ mediante el cálculo de su valor exacto.