Ejercicios: Sistemas de ecuaciones

Resuelve el siguiente sistema lineal utilizando el método de reducción:

Dado el siguiente sistema escalonado, halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$:

Resuelve el siguiente sistema no lineal:

Aplica el método de Gauss para encontrar la solución del siguiente sistema:

Encuentra las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones de segundo grado:

En una granja de energía solar hay paneles de dos modelos distintos. El modelo A genera $400$ W y el modelo B genera $250$ W. Si en total hay $120$ paneles que producen conjuntamente $39000$ W, plantea y resuelve un sistema para determinar cuántos paneles hay de cada modelo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema logarítmico:

Se plantea resolver el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

Dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Lucía propone aplicar logaritmos en ambos miembros de la primera ecuación para despejar la incógnita $x$ de forma directa.

• Marcos propone transformar las potencias aplicando sus propiedades ($2^{x+1} = 2 \times 2^x$ y $3^{y+1} = 3 \times 3^y$), realizar el cambio de variable $u = 2^x$ y $v = 3^y$, y resolver el sistema lineal resultante.

1. a) Justifica por qué la propuesta de Lucía es errónea o genera un bloqueo algebraico al intentar aplicar propiedades de logaritmos a una resta.
2. b) Explica por qué el método de Marcos es el adecuado y qué propiedad de la función exponencial garantiza que los valores hallados para $u$ y $v$ proporcionen soluciones únicas para $x$ e $y$.
3. c) Resuelve el sistema siguiendo el procedimiento de Marcos.

Carlos intenta resolver en su examen el siguiente sistema de ecuaciones:

Para ello, escribe en su desarrollo:

«Paso 1: Por las propiedades de los logaritmos, la suma de logaritmos es el logaritmo de la suma: $\log(x) + \log(y) = \log(x + y)$.

Paso 2: Por tanto, $\log(x + y) = 2 \implies x + y = 10^2 = 100$.

Paso 3: Ahora resuelvo el sistema lineal $\left\{\begin{array}{l} x + y = 100 \\ x - y = 15 \end{array}\right.$, obteniendo $x = 57.5$ e $y = 42.5$».

1. a) Identifica el error conceptual cometido por Carlos en el Paso 1 y escribe la propiedad que debió aplicar.
2. b) Resuelve el sistema de manera correcta.
3. c) Explica por qué en los sistemas logarítmicos es obligatorio comprobar la validez de las soluciones obtenidas respecto al dominio de la función logarítmica.

Una empresa de logística transporta tres tipos de cajas: pequeñas, medianas y grandes. Un envío de $5$ cajas pequeñas, $3$ medianas y $2$ grandes pesa $65$ kg. Otro envío de $2$ pequeñas, $5$ medianas y $4$ grandes pesa $90$ kg. Si un envío de $4$ pequeñas, $2$ medianas y $3$ grandes pesa $70$ kg, utiliza el método de Gauss para hallar el peso de cada tipo de caja.

Resuelve el siguiente sistema que contiene expresiones con radicales:

Encuentra las soluciones del sistema formado por ecuaciones racionales:

Las edades de un abuelo, su hija y su nieto suman $100$ años. El abuelo tiene el doble de años que su hija, y la diferencia de edad entre la hija y el nieto es de $25$ años. Plantea un sistema de tres ecuaciones y resuélvelo para hallar las edades de los tres.

Resuelve el siguiente sistema exponencial aplicando un cambio de variable adecuado:

Halla los valores de $x$ e $y$ en el siguiente sistema logarítmico:

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$:

Un agricultor quiere vallar un terreno rectangular de $1200$ m$^2$ de área. Si utiliza $140$ m de valla para cercar todo el perímetro, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para determinar las dimensiones del terreno.

Una cooperativa agrícola del Valle de Comayagua prepara mezclas de tres variedades de naranja para la producción de jugo: Tipo A (básica, a $0.60$ lempiras/kg), Tipo B (estándar, a $0.90$ lempiras/kg) y Tipo C (extra, a $1.30$ lempiras/kg). Se debe preparar un pedido de $100$ kg de mezcla con un costo medio total de $1.00$ lempiras/kg. Además, por exigencias de sabor, la cantidad de naranja del Tipo B debe ser exactamente el doble que la del Tipo A.

1. a) Antes de calcular la solución exacta, calcule el precio medio ponderado que tendría una mezcla formada exclusivamente por las variedades A y B en la proporción fijada (el doble de B que de A). A partir de ese dato, estime razonadamente si en el lote final de $100$ kg habrá más kilos de la suma de A y B o más kilos de la variedad C para conseguir que el precio medio global sea de $1.00$ lempiras/kg.
2. b) Plantee el sistema de ecuaciones lineales correspondiente y resuélvalo por el método de Gauss para determinar cuántos kilos de cada variedad componen el pedido.
3. c) Compruebe si el resultado obtenido confirma su estimación inicial y justifique la coherencia del resultado.

Diseña un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ($x, y, z$) que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. El sistema debe ser compatible indeterminado con un grado de libertad (es decir, sus soluciones deben depender de un único parámetro real).

2. La terna $(1, 0, -2)$ debe ser una de las infinitas soluciones del sistema.

3. El sistema no puede ser homogéneo (al menos un término independiente debe ser distinto de cero) y ninguna de las tres ecuaciones puede ser proporcional a otra (no vale multiplicar una ecuación completa por una constante para generar otra).

Explica detalladamente cómo eliges los coeficientes y términos independientes para asegurar que el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada sean ambos iguales a $2$. Finalmente, escribe el sistema formulado y obtén la expresión general de todas sus soluciones en función de un parámetro $\lambda$.

Discute el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en función del parámetro $m$, utilizando el método de Gauss:

Resuelve el siguiente sistema no lineal simétrico:

Una aleación metálica está compuesta por cobre, zinc y estaño. Se sabe que la cantidad de cobre es el doble que la de estaño. Si se agregan $5$ kg de zinc, la aleación tendrá la misma cantidad de zinc que de cobre. Además, el costo total de la aleación es de $11\,250$ lempiras, sabiendo que el cobre cuesta $250$ lempiras/kg, el zinc $375$ lempiras/kg y el estaño $500$ lempiras/kg. Calcule cuántos kilos de cada metal componen la aleación inicial.

Resuelve el siguiente sistema mixto que combina ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución ácida al $40\%$. Para ello se dispone de tres disoluciones del mismo ácido a concentraciones del $10\%$, $30\%$ y $60\%$. Se sabe que el volumen utilizado de la disolución al $60\%$ debe ser igual a la suma de los volúmenes de las otras dos. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar los litros necesarios de cada disolución y resuélvelo.

Encuentra las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones que involucra valores absolutos:

Un ciclista viaja entre dos localidades separadas por una distancia de $60$ km. Si aumentara su velocidad constante en $5$ km/h, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para encontrar la velocidad original del ciclista y el tiempo que emplea en el viaje, y resuélvelo.

En un triángulo rectángulo, el perímetro es de $60$ cm y la altura sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para encontrar las longitudes de los catetos ($x, y$) y de la hipotenusa ($z$). A continuación, resuélvelo.

Una empresa de artes gráficas de una zona industrial de Comayagüela analiza sus facturas de electricidad correspondientes al primer trimestre tras acogerse a una tarifa con tres periodos horarios: punta ($x$ lempiras/kWh), llano ($y$ lempiras/kWh) y valle ($z$ lempiras/kWh). El contrato establece un cargo fijo por potencia invariable de $50$ lempiras mensuales que se suma al costo de la energía consumida. Los consumos y los costos totales facturados (sin impuesto) fueron:

• Enero: $400$ kWh en punta, $600$ kWh en llano y $1000$ kWh en valle, con un total facturado de $358$ lempiras.

• Febrero: $300$ kWh en punta, $500$ kWh en llano y $800$ kWh en valle, con un total facturado de $295$ lempiras.

• Marzo: tras reorganizar turnos nocturnos, consumieron $200$ kWh en punta, $400$ kWh en llano y $1200$ kWh en valle, con un total facturado de $292$ lempiras.

1. a) Modele la situación mediante un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, deduciendo previamente el importe neto asignado exclusivamente al consumo energético en cada mes.
2. b) Resuelva el sistema mediante el método de Gauss para determinar el precio del kWh en cada periodo ($x, y, z$).
3. c) En abril prevén un consumo de $350$ kWh en punta, $450$ kWh en llano y $900$ kWh en valle. La dirección ha fijado un presupuesto máximo para la factura de abril de $305$ lempiras (incluyendo el cargo fijo de $50$ lempiras). Determine razonadamente si se mantendrán dentro del presupuesto o si lo superarán, calculando el importe exacto previsto y la diferencia con el presupuesto fijado.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Sergio aplica el método de Gauss restando la primera fila a las otras dos y obtiene correctamente el sistema escalonado equivalente:

A partir de este paso, Sergio razona en su examen:

«Como $k^2 - 4 = (k - 2)(k + 2)$, divido ambos miembros de la tercera ecuación entre $(k - 2)$ y me queda $(k + 2)z = 1$, luego $z = \frac{1}{k + 2}$. Por tanto:

• Si $k = -2$, se anula el denominador y el sistema es incompatible.

• Para cualquier otro valor de $k \neq -2$, el sistema es compatible determinado, pues $z$ tiene un valor concreto; por ejemplo, si $k = 2$, se obtiene $z = \frac{1}{4}$ y sustituyendo hacia atrás se encuentra una única solución».

1. a) Explica cuál es el error algebraico y de lógica deductiva que comete Sergio al dividir la tercera ecuación entre $(k - 2)$. ¿Qué caso omitió analizar por completo?
2. b) Realiza la discusión completa y rigurosa del sistema para todos los valores de $k \in \mathbb{R}$, clasificándolo según sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
3. c) Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado expresando la solución general mediante un parámetro $\lambda$, y demuestra por qué la conclusión de Sergio para $k = 2$ es falsa.