Ejercicios: Problemas de sistemas

En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $52.50$ lempiras. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $43.75$ lempiras. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.

Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?

La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.

En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?

La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.

El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.

Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?

En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $100$ lempiras/litro y otro de $137.50$ lempiras/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $115$ lempiras/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?

En un problema de edades se plantea la siguiente situación: «Carlos tiene actualmente el triple de la edad de su sobrino Mateo. Dentro de $6$ años, la edad de Carlos será el doble de la que tenga Mateo entonces». Para resolverlo, Lucía escribe en su examen el siguiente sistema de ecuaciones, donde $x$ representa la edad actual de Carlos e $y$ la de Mateo:

1. a) Localiza el error conceptual que ha cometido Lucía en la segunda ecuación y explica con tus palabras por qué esa expresión no traduce fielmente el enunciado.
2. b) Corrige el planteamiento escribiendo el sistema adecuado y resuélvelo por el método de sustitución.
3. c) Comprueba que las edades obtenidas verifican punto por punto las dos condiciones temporales del enunciado.

Una almazara de Jaén quiere preparar $100$ litros de una mezcla de aceite para comercializarla a un precio final de $6.80$ lempiras/l. Para ello dispone de aceite de oliva virgen extra (AOVE) a $8.00$ lempiras/l y de aceite de oliva virgen a $5.00$ lempiras/l.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo exacto, haz una estimación cualitativa y justificada: ¿se necesitarán más litros de virgen extra o de virgen para lograr ese precio medio? Argumenta tu conjetura comparando las diferencias de precio.
2. b) Plantea un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ($x$ litros de virgen extra e $y$ litros de virgen) que modele la mezcla.
3. c) Resuelve el sistema y contrasta la solución obtenida con la estimación que hiciste en el apartado a) para valorar si el resultado es coherente.

En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $625$ lempiras, el de baloncesto $750$ lempiras y el de voleibol $500$ lempiras. Un club ha comprado $40$ balones por un total de $25\,750$ lempiras. Sabiendo que el número de balones de fútbol comprados es igual a la suma de los de baloncesto y voleibol, plantee un sistema de tres ecuaciones y determine cuántos balones de cada deporte se han adquirido.

Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $30\,000$ lempiras. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $29\,250$ lempiras. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.

Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.

La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.

Dos llaves llenan un tanque en $6$ horas si se abren al mismo tiempo. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, plantee un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada llave en llenarlo de forma individual.

En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva disolución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la disolución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada disolución se debe mezclar?

Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ km/h. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ km/h. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2.5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.

Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $100\,000$ lempiras más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $1\,300\,000$ lempiras, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.

Una pequeña panadería artesanal en Comayagua analiza su factura eléctrica semanal distribuida en los tres tramos de la tarifa regulada en Honduras: punta ($0.24$ lempiras/kWh), llano ($0.15$ lempiras/kWh) y valle ($0.10$ lempiras/kWh). El contador registró un consumo total de $1200$ kWh y el importe facturado por el término de energía ascendió a $167$ lempiras. Para maximizar el ahorro mediante el horneado nocturno, la panadería organizó su producción de modo que el consumo en periodo valle fue exactamente el doble que la suma de los consumos de punta y llano combinados.

1. a) Plantee un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que recoja toda la información.
2. b) Resuelva el sistema aplicando de forma ordenada el método de Gauss.
3. c) Determine cuántos kWh se consumieron en cada periodo y valore razonadamente si la panadería consiguió concentrar la mayor parte de su gasto en el tramo más económico.

Una parcela comunal rectangular en un municipio de Santa Bárbara tiene un perímetro de $140\text{ m}$. La alcaldía proyecta una reordenación del terreno: si se disminuye su longitud en $6\text{ m}$ y simultáneamente se incrementa su anchura en $2\text{ m}$, la superficie total de la finca no experimenta ninguna variación.

1. a) Plantee el sistema de dos ecuaciones que describe el problema llamando $x$ a la longitud inicial e $y$ a la anchura inicial. Simplifique algebraicamente la ecuación de las áreas y explique por qué, a pesar del producto de variables $x \times y$, el sistema resultante es lineal.
2. b) Una vez reducido el sistema a la forma $\begin{cases} x + y = 70 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$, compare dos métodos algebraicos de resolución (por ejemplo, reducción frente a sustitución) y justifique cuál es más directo y menos propenso a errores en este caso.
3. c) Resuelva el sistema con el método que haya seleccionado, halle las dimensiones originales y compruebe que la modificación propuesta mantiene intacta el área.

Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $7\,500$ lempiras para el básico, $12\,500$ lempiras para el medio y $20\,000$ lempiras para el avanzado, con un costo total diario de $4\,875\,000$ lempiras. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Plantee un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determine la producción inicial de cada modelo.

Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.

En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$ puntos. Sabiendo que el número de medallas de plata supera en $1$ al número de medallas de oro, plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántas medallas de cada tipo ha ganado el equipo.

Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. El largo de la lámina original es el doble que el ancho. Si el volumen de la caja resultante debe ser de $1500$ cm³, plantea la ecuación o sistema necesario y determina las dimensiones de la lámina de cartón original.

Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:

$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $

Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.

Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.

Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera en $40$ gramos al peso del cobre. Al sumergir la pieza en agua, esta pierde $10$ gramos de su peso aparente por el empuje hidrostático. Si se sabe que la pérdida de peso en el agua para el oro puro es de $1/20$ de su peso, para la plata de $1/10$ y para el cobre de $1/8$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántos gramos de cada metal contiene la pieza.

Una comisión regional debe distribuir fondos europeos entre tres proyectos de innovación ambiental: $A$, $B$ y $C$. Se sabe que la cuantía definitiva que debe recibir cada uno es de $100000$ lempiras para $A$, $150000$ lempiras para $B$ y $250000$ lempiras para $C$. La normativa impone ya dos relaciones lineales fijas entre las ayudas asignadas ($x$, $y$, $z$ en lempiras):

1) El presupuesto global conjunto es de $500000$ lempiras ($x + y + z = 500000$).

2) La dotación de $C$ debe ser igual a la suma de las dotaciones de $A$ y $B$ ($x + y - z = 0$).

1. a) Diseñe una tercera ecuación lineal independiente con sentido práctico en el reparto que relacione las cuantías de $A$ y $B$ de modo que el sistema completo tenga como única solución exactamente $(100000, 150000, 250000)$. Justifique mediante el método de Gauss o rangos por qué el sistema resultante es compatible determinado.
2. b) Escriba una tercera ecuación distinta que transforme el sistema en compatible indeterminado. Interprete qué significado económico tendría esta situación para el margen de decisión de la comisión.
3. c) Plantee una tercera ecuación que haga que el sistema sea incompatible y explique algebraicamente por qué esa condición impediría ejecutar el reparto.

Una empresa de reparto urbano de última milla opera con una flota total de $24$ furgonetas eléctricas de tres capacidades de carga: pequeñas ($1\text{ m}^3$), medianas ($2\text{ m}^3$) y grandes ($4\text{ m}^3$). El volumen total de carga simultánea de toda la flota es de $56\text{ m}^3$. La dirección logística ensaya un criterio organizativo dependiente de un parámetro real $k$: el número de furgonetas pequeñas ($x$) más $k$ veces el de medianas ($y$) debe ser igual al de grandes ($z$), es decir, $x + k\times y - z = 0$.

1. a) Escribe el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y aplica el método de Gauss sobre la matriz ampliada para escalonarlo en función del parámetro $k$.
2. b) Discute razonadamente el número de soluciones según los valores de $k$, indicando para qué valor el sistema resulta incompatible y para cuáles compatible determinado.
3. c) En la práctica real, el número de vehículos de cada tipo debe ser un entero no negativo ($x, y, z \in \mathbb{N}$). Resuelve el sistema para $k = 1$ y para $k = -1$, y razona detalladamente cuál de los dos casos es logísticamente viable en la realidad y cuál resulta físicamente imposible a pesar de ser matemáticamente compatible.