Ejercicios: Discusión de sistemas con un parámetro

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $

Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $

Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.

Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

Al estudiar el sistema homogéneo $\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x + ky - 2z = 0 \\ x + 4y - 3z = 0 \end{cases}$ en función del parámetro real $k$, Lucía afirma en voz alta: «Si encontramos un valor de $k$ para el cual una fila se anule al triangular, el sistema pasará a ser incompatible porque no tendrá ninguna solución».\na) Sin necesidad de realizar cálculos algebraicos, localiza el error conceptual de Lucía y explica por qué un sistema homogéneo jamás puede ser incompatible, indicando qué solución tiene siempre garantizada.\nb) Aplica el método de Gauss sobre la matriz del sistema para determinar el valor de $k$ que hace que el sistema admita soluciones distintas de la trivial. Para dicho valor, halla una solución particular no nula.

Para discutir el sistema lineal dependiente del parámetro $m \in \mathbb{R}$:\n$\begin{cases} (m - 2)x + y + z = 2 \\ x - 2y + 3z = 1 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$\ndos estudiantes proponen dos caminos distintos para comenzar el escalonamiento de Gauss:\n- Estrategia A (Álvaro): Mantener el orden original de las ecuaciones y tomar $(m - 2)$ como primer pivote, dividiendo la primera fila entre $(m - 2)$ o multiplicando las filas inferiores por dicha expresión.\n- Estrategia B (Berta): Reordenar las ecuaciones intercambiando la primera y la segunda fila ($F_1 \leftrightarrow F_2$), de modo que el primer pivote sea el coeficiente $1$ de la incógnita $x$.\na) Compara ambas estrategias: ¿qué riesgos algebraicos y qué ramificaciones innecesarias introduce la estrategia de Álvaro que se evitan con la de Berta? Justifica cuál es preferible.\nb) Siguiendo la Estrategia B, triangula el sistema y halla para qué valor de $m$ el sistema deja de ser compatible determinado (es decir, no tiene solución única).

En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips está dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discuta el sistema en función del impuesto $p$.

Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Tres calles rectas de una nueva colonia están dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determine el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única y confluyan en una sola plaza).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determina para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).

Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $

Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discute el sistema según los valores de la tasa $r$.

Halla los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvelo para $m = 2$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $

Se consideran las ecuaciones de dos planos en el espacio tridimensional:\n$\pi_1: x + 2y - z = 2$\n$\pi_2: 2x - y + z = 1$\nTu tarea consiste en construir la ecuación de un tercer plano $\pi_3: ax + by + cz = d$ para cumplir dos objetivos independientes:\na) Elige valores numéricos concretos para $a, b, c$ y $d$ de modo que el sistema formado por los tres planos sea compatible determinado (los tres planos se cortan en un único punto). Demuestra mediante el escalonamiento de Gauss que el sistema que has propuesto tiene solución única y calcula las coordenadas de dicho punto.\nb) Propón nuevos valores para $a, b, c$ y $d$ de forma que el sistema sea incompatible (los planos no comparten ningún punto simultáneo), imponiendo la condición de que el plano $\pi_3$ no sea paralelo a $\pi_1$ ni a $\pi_2$ (es decir, el vector $(a, b, c)$ no puede ser proporcional a $(1, 2, -1)$ ni a $(2, -1, 1)$). Justifica con Gauss por qué el sistema no tiene solución e interpreta geométricamente la disposición de los tres planos en el espacio (prisma triangular).

Una red de tres estaciones meteorológicas de AEMET en la Sierra de Guadarrama ($E_1, E_2, E_3$) monitoriza el agua acumulada en un episodio de lluvias. Sean $x, y, z$ los litros por metro cuadrado ($\text{l/m}^2$) registrados en $E_1, E_2$ y $E_3$, respectivamente. Se conocen los siguientes datos:\n1. La precipitación total acumulada entre las tres estaciones suma $90\text{ l/m}^2$.\n2. La estación $E_3$ midió exactamente el doble de precipitación que la estación $E_1$.\n3. El pluviómetro de la estación $E_2$ sufrió desviaciones por viento, por lo que el algoritmo de control aplica la relación ponderada $x + ky + 2z = 150$, donde $k \in \mathbb{R}$ es un factor corrector ambiental.\na) Escribe el sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x, y, z$ asociado al problema.\nb) Aplica el método de Gauss para triangular el sistema y discútelo en función del parámetro $k$. ¿Existe algún valor de $k$ para el cual los datos resulten contradictorios (sistema incompatible)?\nc) Determina para qué valor del factor $k$ el sistema resulta compatible indeterminado y explica qué significado físico tiene esa indeterminación para el equipo meteorológico. Por último, calcula los valores de $x, y, z$ en el supuesto de que el factor de calibración sea estándar ($k = 1$).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discute el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.

Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $

Una empresa de logística distribuye tres tipos de mercancías utilizando una flota de camiones. Las restricciones de peso, volumen y tiempo de entrega generan el siguiente sistema de ecuaciones, donde $t$ es un parámetro relacionado con el tiempo máximo permitido:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $

Discute el sistema según los valores de $t$ y resuelve para el caso $t = -2$.

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Presta especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de triangulación de Gauss.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $

En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema, donde $\beta$ representa la tasa de consumo de la presa por el depredador:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determina los valores de $\beta$ para los que el ecosistema tiene un único punto de equilibrio, infinitos o ninguno.

Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discute la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observa el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halla la solución cuando sea compatible indeterminado:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = 0 \end{array} \right. $

Se considera el siguiente sistema homogéneo dependiente del parámetro real $a$, donde cada ecuación representa un plano que contiene al origen de coordenadas:\n$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + az = 0 \\ 3x + 4y + (a^2 - 1)z = 0 \end{cases}$\na) Estima antes de operar: Sin desarrollar el método de Gauss ni calcular determinantes, responde de forma razonada:\n - ¿Puede existir algún valor de $a$ para el cual los tres planos no compartan ningún punto? ¿Por qué?\n - Sabiendo que los tres planos no son paralelos ni coincidentes entre sí, ¿cuáles son las dos únicas configuraciones geométricas posibles respecto a su intersección común?\nb) Calcula y comprueba: Triangula el sistema mediante operaciones elementales por filas conservando el parámetro $a$. Determina los dos valores críticos de $a$ para los cuales el rango de la matriz se reduce y el sistema admite infinitas soluciones.\nc) Interpreta: Para cada uno de los dos valores críticos obtenidos en el apartado anterior, halla la solución general en función de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ y deduce la ecuación de la recta en la que se cortan los tres planos. Comprueba si los resultados concuerdan con tu análisis previo del apartado a).

En una prueba de evaluación, se pide discutir la posición relativa de tres planos según el parámetro $k \in \mathbb{R}$:\n$\pi_1: x + y + z = 1$\n$\pi_2: 2x + 3y + kz = 3$\n$\pi_3: x + ky + 3z = 1$\nMateo plantea la matriz ampliada y realiza las operaciones $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ y $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$, llegando a:\n$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 & | & 1 \\ 0 & k - 1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$\nA partir de este paso, Mateo argumenta:\n«Para hacer cero la posición $(3,2)$, tendría que dividir la tercera fila entre $(k - 1)$; por tanto, si $k = 1$, la operación no es válida y el sistema pasa a ser incompatible (los planos forman un prisma).\nSi $k \neq 1$, resto a la fila 3 la fila 2 multiplicada por $(k - 1)$, obteniendo como último pivote $2 - (k - 1)(k - 2) = -k^2 + 3k$. Como este pivote se anula para $k = 0$ y $k = 3$, concluyo que para esos dos valores el sistema es compatible indeterminado y los planos se cortan en una recta; para cualquier otro valor de $k$, es compatible determinado y se cortan en un punto».\nTu cometido es evaluar el trabajo de Mateo:\na) Identifica y explica los dos errores conceptuales graves de su resolución: el relativo a la supuesta incompatibilidad cuando un coeficiente de paso se anula ($k = 1$), y el cometido al clasificar $k = 0$ y $k = 3$ sin verificar el término independiente de la fila resultante.\nb) Sustituye directamente $k = 1$ en la matriz intermedia de Mateo y resuelve el sistema resultante por Gauss. ¿Cuál es la verdadera posición relativa de los tres planos para $k = 1$?\nc) Realiza la discusión completa y rigurosa del sistema para todo $k \in \mathbb{R}$, indicando justificadamente el tipo de sistema y la posición geométrica que adoptan los planos en cada caso.