Ejercicios: Sistemas no lineales

Resuelve el siguiente sistema no lineal, que representa la intersección entre una parábola y una recta:

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = x - 1$

Halla las soluciones del siguiente sistema formado por la ecuación de una circunferencia y una recta:

$x^2 + y^2 = 25$

$x + y = 7$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que verifican el siguiente sistema:

$xy = 12$

$x - y = 4$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales, expresando ambas potencias con la misma base:

$2^{x+y} = 32$

$2^{x-y} = 2$

Determina la solución del sistema logarítmico, aplicando las propiedades de los logaritmos:

$\log x + \log y = 1$

$x - y = 3$

Resuelve el siguiente sistema que contiene fracciones algebraicas:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

$xy = 6$

Resuelve el siguiente sistema irracional. Asegúrate de comprobar si la solución obtenida es válida en la ecuación original:

$\sqrt{x} + y = 5$

$x - y = 1$

La suma de dos números positivos es $10$ y la suma de sus cuadrados es $58$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal y resuélvelo para encontrar dichos números.

Marcos ha resuelto en la pizarra el siguiente sistema no lineal con radicales:

Su desarrollo ha sido el siguiente:

1.º Despeja $y$ en la primera ecuación: $y = x + 2$.

2.º Sustituye en la segunda ecuación: $\sqrt{x + 4} = x + 2$.

3.º Eleva al cuadrado ambos miembros: $x + 4 = (x + 2)^2 \implies x + 4 = x^2 + 4x + 4$.

4.º Agrupa y factoriza: $x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0$, de donde obtiene $x_1 = 0$ y $x_2 = -3$.

5.º Calcula las ordenadas asociadas: $y_1 = 0 + 2 = 2$ e $y_2 = -3 + 2 = -1$.

Marcos afirma que el sistema tiene dos soluciones: $(0, 2)$ y $(-3, -1)$. Encuentra el error conceptual cometido por Marcos, explica por qué la operación de elevar al cuadrado puede introducir soluciones no válidas y proporciona el conjunto de soluciones correcto justificando tu respuesta.

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

dos alumnos proponen estrategias distintas:

• Alba propone despejar $y$ aplicando logaritmos en la primera ecuación, escribiendo $y = \log_3(11 - 2^x)$, para luego sustituir esta expresión en la segunda ecuación.

• Bruno propone aplicar primero las propiedades de las potencias en la segunda ecuación ($2^{x+1} = 2 \times 2^x$ y $3^{y+1} = 3 \times 3^y$) y realizar el cambio de variable $u = 2^x$ y $v = 3^y$.

Compara ambos métodos y justifica cuál es más adecuado y por qué. A continuación, resuelve el sistema utilizando el camino óptimo y explica qué propiedad matemática te permite despejar finalmente los valores exactos de $x$ e $y$ a partir de $u$ y $v$.

Una parcela rectangular tiene un perímetro de $40$ m y un área de $96$ m$^2$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular las dimensiones de la parcela y resuélvelo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales aplicando un cambio de variable adecuado:

$3^x + 2^y = 11$

$3^{x+1} - 2^{y-1} = 26$

Resuelve el sistema logarítmico y cuadrático, comprobando la validez de la solución obtenida:

$\log(x) - \log(y) = 1$

$x^2 - y^2 = 99$

Encuentra la solución del siguiente sistema irracional:

$\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y} = 4$

$x - y = 4$

Un ciclista realiza un trayecto de $60$ km a velocidad constante. Si hubiera viajado $2$ km/h más rápido, habría tardado $1$ hora menos en completar el recorrido. Plantea y resuelve un sistema no lineal para encontrar la velocidad media $v$ y el tiempo $t$ empleado.

Un grupo de amigos decide comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $3\,000$ lempiras, dividiendo el pago a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que la cuota de cada uno se reduzca en $75$ lempiras. Plantea y resuelve un sistema para hallar cuántos amigos eran inicialmente y cuánto pagaba cada uno.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $13$ cm y el perímetro total es de $30$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la longitud de los dos catetos.

Resuelve el siguiente sistema formado por una ecuación racional y una cuadrática:

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x^2 + y^2 = 13$

Una asociación de regantes del Valle de Sula va a acondicionar una pila rectangular para riego por goteo protegida por una cerca perimetral de $36\text{ m}$. Por exigencias hidráulicas del sistema de bombeo, la empresa instaladora establece que la diferencia entre el área de la base y el cuadrado del lado menor debe ser exactamente igual a $36\text{ m}^2$.

1. a) Modele la situación mediante un sistema de ecuaciones no lineal, denotando por $x$ la longitud del lado mayor y por $y$ la del lado menor (con $x \ge y > 0$).
2. b) Resuelva algebraicamente el sistema mediante sustitución.
3. c) Interprete las soluciones obtenidas en el contexto real: ¿cuántas configuraciones dimensionales distintas son técnicamente posibles para construir la pila cumpliendo todos los requisitos? Justifique las dimensiones de cada opción admisible.

La cobertura límite de una estación de telecomunicaciones rurales viene descrita por la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ (donde $x$ e $y$ se miden en kilómetros respecto a la antena situada en el origen). Una pista forestal recta sigue la trayectoria $y = 2x - 5$.

1. a) Antes de calcular las soluciones algebraicamente, realiza una estimación geométrica razonada: si un todoterreno recorre la pista y cruza el eje vertical en $x = 0$, ¿dicho punto se encuentra dentro, sobre o fuera del límite de cobertura? Estima en qué cuadrantes del plano cartesiano se producirán la entrada y la salida del vehículo en la zona con cobertura.
2. b) Plantea y resuelve el sistema formado por ambas ecuaciones para determinar las coordenadas exactas de los puntos de corte entre la pista y el límite de cobertura.
3. c) Comprueba si los puntos calculados concuerdan con tu estimación previa y halla la distancia exacta recorrida por el todoterreno dentro del radio de cobertura de la antena.

La órbita circular de un satélite en un sistema de referencia sigue la ecuación $x^2 + y^2 = 25$, mientras que la trayectoria de un cometa describe la hipérbola $xy = 12$. Resuelve el sistema para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.

Discute para qué valores del parámetro $k$ el siguiente sistema tiene exactamente una solución (esto equivale geométricamente a la condición de tangencia entre la circunferencia y la recta):

$x^2 + y^2 = 10$

$x + y = k$

Resuelve el siguiente sistema mixto que combina ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

$2^x \times 2^y = 64$

$\log_2 x + \log_2 y = 3$

Resuelve el sistema de ecuaciones de grado superior. (Sugerencia: utiliza los productos notables y la factorización para simplificar la primera ecuación):

$x^3 + y^3 = 35$

$x + y = 5$

Un depósito cilíndrico de chapa tiene un volumen interior de $54\pi$ m³ y un área lateral (sin contar las bases) de $36\pi$ m². Plantea un sistema para hallar el radio de la base $r$ y la altura $h$ del cilindro, y resuélvelo.

Un capital $C$ se invierte a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno). Al finalizar el primer año, el montante generado es de $275\,000$ lempiras. Al finalizar el segundo año, el montante asciende a $302\,500$ lempiras. Plantea un sistema no lineal para calcular el capital inicial $C$ y la tasa de interés $r$, y resuélvelo.

Resuelve el siguiente sistema logarítmico aplicando las propiedades de cambio de base y sustitución:

$\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}$

$xy = 27$

Resuelve el siguiente sistema irracional, asegurándote de comprobar qué soluciones son válidas analizando el dominio de las raíces:

$\sqrt{x^2 - y^2} = \sqrt{33}$

$x + y = 11$

Un equipo de ingenieros diseña el trazado de incorporación entre una vía de servicio parabólica de ecuación $y = a \times x^2 + c$ y una carretera recta de ecuación $y = 4x - 5$. Para garantizar la máxima seguridad en la maniobra de incorporación, ambas calzadas deben unirse de forma suave (es decir, deben ser tangentes) exactamente en el punto de abscisa $x = 3$.

1. a) Plantea el problema inverso: determina los valores de los parámetros reales $a$ y $c$ que definen la parábola, sabiendo que el sistema no lineal formado por la recta y la parábola debe tener como solución única el punto de abscisa $x = 3$. (Pista: analiza cómo deben ser los coeficientes de la ecuación cuadrática resolvente para que admita una raíz doble en dicho valor).
2. b) Apoyándote en el discriminante $\Delta$ de la ecuación de intersección, justifica formalmente por qué la condición de tangencia exige $\Delta = 0$ y explica qué representaría geométricamente para el trazado de las carreteras que dicho discriminante resultara ser estrictamente positivo o estrictamente negativo.

Considera el siguiente sistema no lineal simétrico dependiente de un parámetro real no nulo $k$ ($k \ne 0$):

1. a) En lugar de sustituir $y = k - x$ directamente en la segunda ecuación (lo que obligaría a desarrollar $(k - x)^3$), justifica por qué es ventajoso tratarlo como un sistema simétrico y utiliza la identidad algebraica $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$ para obtener el producto $P = x \times y$ en función de $k$.
2. b) Plantea la ecuación de segundo grado $t^2 - S \times t + P = 0$ cuyas soluciones proporcionan los valores de las incógnitas $x$ e $y$.
3. c) Discute razonadamente para qué valores del parámetro $k$ el sistema tiene dos soluciones reales distintas, una única solución doble o ninguna solución real. Explica, además, por qué si el par $(x_0, y_0)$ es solución con $x_0 \ne y_0$, el par $(y_0, x_0)$ también lo es necesariamente, interpretando esta propiedad como una simetría geométrica respecto a la recta $y = x$.

Reto del tema. Diseñe la red de apoyo logístico de emergencia para tres municipios de su departamento.

1. Geometría territorial: Localice en Google Maps tres municipios no alineados ($A$, $B$ y $C$) fijando el origen $(0,0)$ en su colegio. Calcule sus distancias relativas en km, halle el circuncentro resolviendo el sistema de mediatrices del triángulo y determine el ángulo de apertura entre dos rutas usando las razones del ángulo resta $\cos(\alpha - \beta)$.

2. Reparto con Gauss: Consulte en el INE de Honduras o en la ENEE datos reales de población o consumo eléctrico de esas localidades. Plantee y resuelva mediante el método de Gauss un sistema lineal $3 \times 3$ para distribuir de forma justificada un fondo de $150\,000$ lempiras entre las tres sedes según tres condiciones de demanda.

3. Cobertura y viabilidad: Delimite en GeoGebra la zona de reparto viable mediante un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Determine los puntos de corte de una vía logística con el radio de cobertura de una antena de $12.5\text{ km}$ resolviendo un sistema no lineal (recta y circunferencia), y analice si la función de costo logístico $f(x)$ presenta paridad.

4. Informe final: Redacte una propuesta de dos páginas con las capturas de GeoGebra, los sistemas resueltos y su conclusión técnica.

Se valorará:

• Rigor algebraico al aplicar el método de Gauss y resolver los sistemas lineales y no lineales.

• Precisión en el planteamiento geométrico (puntos notables, distancias y trigonometría).

• Correcta modelización del sistema de inecuaciones y uso coherente de los datos reales.