Ejercicios: La recta real

Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.

Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.

Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.

Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.

Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4.5$ y $B = 2.3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.

Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:

$-1.01$, $-1$, $3.14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.

Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.

Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.

Marcos está resolviendo una tarea sobre la recta real y debe calcular el complementario del intervalo $I = [-3, 5)$ en $\mathbb{R}$. En su cuaderno escribe textualmente:

«El complementario es lo contrario del intervalo, así que cambio los corchetes y los signos: $\mathbb{R} \setminus I = (-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$».

1. a) Explica detalladamente por qué el razonamiento de Marcos es erróneo, señalando qué ocurre específicamente con los números $-3$ y $5$ (indica a qué conjunto pertenece cada uno de ellos y por qué deben o no estar en el complementario).
2. b) Escribe la solución correcta de $\mathbb{R} \setminus I$ tanto en forma de unión de intervalos como mediante una desigualdad lógica que use la conectiva «o».

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) emite un aviso amarillo por heladas intensas en una comarca de la provincia de Teruel cuando la temperatura mínima prevista, $T$ (en $^{\circ}\text{C}$), se sitúa a una distancia no superior a $3\,^{\circ}\text{C}$ respecto a un valor de referencia de $-5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Modela matemáticamente esta condición escribiendo una desigualdad con valor absoluto de la forma $|T - a| \le r$, identificando el centro $a$ y el radio de tolerancia $r$.
2. b) Expresa el conjunto de temperaturas bajo aviso en forma de intervalo cerrado y mediante una desigualdad doble de la forma $c \le T \le d$.
3. c) Si en una estación meteorológica se registran $-8.5\,^{\circ}\text{C}$ y en otra $-1.8\,^{\circ}\text{C}$, determina razonadamente si en alguna de ellas se cumplió la condición de aviso calculando la distancia $d(T, -5)$ en cada caso.

En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0.5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.

Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0.02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.

Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.

Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.

Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.

El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112.5 , 127.5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.

Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.

En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2.5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".

Considera el conjunto de números reales que verifican la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 < 0$.

1. a) Estima: Sin aplicar la fórmula cuadrática, observa que el vértice de la parábola asociada se sitúa en $x = 2$ y que para este valor el trinomio es negativo ($2^2 - 4 \times 2 - 5 = -9$). Sabiendo que para $x = 0$ toma el valor $-5$ y para $x = 6$ toma el valor positivo $7$, estima de forma razonada entre qué dos números enteros debe encontrarse el intervalo de soluciones y cuál debería ser su punto medio.
2. b) Calcula: Resuelve formalmente la inecuación encontrando las raíces de la ecuación cuadrática y deduciendo el signo de la parábola en cada tramo de la recta real.
3. c) Comprueba y formaliza: Expresa la solución exacta como un intervalo abierto y como un entorno $E(a, r)$, identificando su centro $a$ y su radio $r$. Comprueba si tu estimación previa era coherente y reflexiona sobre cómo la simetría de la parábola respecto a su vértice determina el centro del entorno.

Un subconjunto acotado $S \subset \mathbb{R}$ cumple dos condiciones geométricas en la recta real:

1. Su complementario es la unión de dos semirrectas disjuntas: $\mathbb{R} \setminus S = (-\infty, -2] \cup [8, +\infty)$.

2. Todos sus puntos distan de un punto central $c$ menos de una distancia $r$.

1. a) Reconstruye el conjunto $S$ escribiéndolo como un intervalo acotado. Determina de manera razonada el centro $c$ y el radio $r$ para expresar $S$ bajo la notación de entorno $E(c, r)$ y como una desigualdad con valor absoluto.
2. b) Un compañero afirma: «Podemos expresar directamente el complementario $\mathbb{R} \setminus S$ mediante una inecuación de la forma $x^2 + bx + d \le 0$ eligiendo adecuadamente los valores de $b$ y $d$». Justifica por qué la afirmación de tu compañero es falsa analizando el signo de cualquier parábola con coeficiente cuadrático positivo ($a > 0$), y escribe la inecuación cuadrática correcta (con coeficiente principal $1$) cuyo conjunto de soluciones sea exactamente $\mathbb{R} \setminus S$.

Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.

Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.

La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ y la recta $y = 7$, para que puedas contrastar tu resultado.

En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.

Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.

Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.

Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.

En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.

La medida del radio de una esfera es $r = 5.0 \pm 0.1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.

Para resolver la inecuación $|x + 3| + |x - 5| \le 12$, dos estudiantes proponen caminos diferentes:

• Método A (Geométrico, propuesto por Lucía): Interpretar la expresión como la suma de distancias en la recta real desde un punto $x$ hasta los puntos $A = -3$ y $B = 5$, es decir, $d(x, -3) + d(x, 5) \le 12$. Razona cuánto vale la suma de distancias si $x$ está dentro del segmento $[-3, 5]$ y deduce cuánto se puede alejar $x$ hacia los lados antes de superar el límite de $12$.

• Método B (Analítico por tramos, propuesto por Darío): Descomponer la recta real en tres tramos delimitados por $x = -3$ y $x = 5$, retirar las barras de valor absoluto según el signo de cada binomio en cada zona y resolver las inecuaciones resultantes.

1. a) Resuelve la inecuación aplicando el Método A, detallando el razonamiento geométrico sobre la recta.
2. b) Resuelve la inecuación aplicando el Método B, mostrando el desglose analítico en los tres casos.
3. c) Compara ambos procedimientos: ¿cuál resulta más eficiente en este caso particular y por qué? ¿En qué cambiaría la aplicabilidad del método geométrico si la inecuación fuese $|2x + 3| + |x - 5| \le 12$?

Considera el intervalo cerrado dependiente de un parámetro real $k$, $A_k = [k - 1, 2k + 3]$, y el conjunto $B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 5\}$.

1. a) Caracteriza el conjunto $B$ como un intervalo abierto y calcula su complementario $\mathbb{R} \setminus B$, expresándolo como unión de dos semirrectas disjuntas e indicando con precisión la pertenencia de los extremos.
2. b) Determina la condición algebraica sobre $k$ para que $A_k$ sea un intervalo no degenerado (con más de un punto) y obtén la expresión de la longitud del intervalo $A_k$ en función de $k$.
3. c) Se desea ajustar el parámetro $k$ de modo que la intersección entre el intervalo $A_k$ y el complementario de $B$ esté formada por un único número real, es decir, $A_k \cap (\mathbb{R} \setminus B) = \{p\}$. Deduce razonadamente todos los valores posibles de $k$ que cumplen esta condición y determina el valor del punto de contacto $p$ en cada caso.