Ejercicios: Radicales

Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números reales positivos.

Extrae todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.

Reduce a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénalos de menor a mayor justificando tu respuesta.

Realiza las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.

Multiplica los siguientes radicales del mismo índice y extrae los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \times \sqrt[4]{3a^3b}$.

Calcula la potencia del siguiente radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles (asume variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.

Simplifica la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.

Determina si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifica tu procedimiento utilizando exponentes fraccionarios.

En un examen de Matemáticas I, Marcos tiene que racionalizar la expresión $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$. Para resolverlo, escribe el siguiente procedimiento en su examen:

Al ver que en el denominador sigue quedando una raíz, Marcos concluye: «Esta fracción no se puede racionalizar porque el índice es 3 y al multiplicar la raíz por sí misma nunca se elimina el radical».

1. a) Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos al elegir el factor para racionalizar y explica qué propiedad de las potencias olvidó tener en cuenta respecto al exponente necesario dentro del radicando.
2. b) Corrige el ejercicio paso a paso, mostrando cómo debe racionalizarse adecuadamente y simplificando al máximo el resultado final.

Considera el número real $N = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$.

1. a) Sin utilizar calculadora ni calcular previamente decimales exactos, estima de forma razonada el orden de magnitud de $N$: sabiendo que $3 < \sqrt{10} < 3.2$, razona si el denominador es un número cercano a cero o mayor que 1 y deduce si el valor de $N$ será un número pequeño o sensiblemente superior a 1.
2. b) Racionaliza la expresión de $N$ multiplicando por el conjugado del denominador y simplifica completamente el resultado.
3. c) Tomando la aproximación $\sqrt{10} \approx 3.16$, halla el valor decimal de la expresión simplificada y comprueba si confirma tu estimación inicial del apartado a).

Racionaliza el denominador de la siguiente expresión y simplifica el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.

Racionaliza el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifica operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.

Efectúa la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado: $\frac{\sqrt{2x} \times \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.

El periodo $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un ingeniero necesita que el nuevo periodo sea exactamente $\sqrt{2} + 1$ veces el periodo original, ¿por qué factor exacto debe multiplicar la longitud $L$ original? Expresa tu razonamiento algebraicamente desarrollando el binomio al cuadrado.

En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m y $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacto de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) y el volumen del mismo, expresando ambos resultados en su forma radical más simple.

La tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) necesaria para que un capital inicial $C_0$ se convierta en un capital final $C_n$ al cabo de $n$ años viene dada por $r = \sqrt[n]{\frac{C_n}{C_0}} - 1$. Calcula el valor exacto de la tasa $r$ si una inversión multiplica su valor por $\frac{5}{2}$ en exactamente 3 años. Racionaliza el radical resultante en tu respuesta.

Desarrolle la siguiente expresión utilizando los productos notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupe los términos semejantes: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es una constante. Si un animal $A$ tiene una masa exactamente $27$ veces mayor que la de un animal $B$, determina la razón exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilizando propiedades de los radicales y extrayendo factores.

Se busca construir una fracción con radicales de la forma $\frac{k}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$, donde $a$, $b$ y $k$ son números enteros positivos, con $a > b$ y donde ninguno de los dos radicandos es un cuadrado perfecto. Se exige que, tras racionalizar y simplificar al máximo, el resultado obtenido sea exactamente $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

1. a) Desarrolla algebraicamente la racionalización de la expresión general mediante el producto por el conjugado y deduce qué relación numérica exacta debe existir entre $k$, $a$ y $b$ para que el denominador desaparezca completamente y el numerador coincida con el resultado exigido.
2. b) Proporciona una terna concreta de números enteros $(a, b, k)$ que cumpla todas las condiciones del enunciado.
3. c) Justifica de forma razonada si la solución $(a, b, k)$ que has dado es única o si existen infinitas ternas de números enteros que cumplan dicha condición. En caso de haber infinitas, describe la regla que relaciona a todas ellas.

En una instalación experimental de energía minieólica en Albacete, la potencia eléctrica $P$ (en vatios, $\text{W}$) generada por un aerogenerador se modeliza mediante la fórmula $P = \frac{1}{2} \times \rho \times S \times v^3$, donde $\rho$ es la densidad del aire en la zona ($\rho = 1.2\text{ kg/m}^3$), $S$ es el área circular barrida por las aspas en $\text{m}^2$ ($S = \pi \times R^2$) y $v$ es la velocidad del viento en $\text{m/s}$.

Los datos técnicos del prototipo indican que el radio de sus aspas es $R = \sqrt[4]{125}\text{ m}$ y los anemómetros registran una velocidad media del viento de $v = \sqrt[6]{125}\text{ m/s}$.

1. a) Expresa tanto el radio $R$ como la velocidad $v$ en forma de potencias de base 5 con exponente fraccionario irreducible.
2. b) Expresa la densidad $\rho = 1.2$ como fracción irreducible y sustituye todos los términos en la fórmula de la potencia. Aplica exclusivamente las propiedades de las potencias de igual base para simplificar la expresión y obtener el valor exacto de $P$ como un número entero multiplicado por $\pi$, sin radicales ni denominadores.
3. c) Sabiendo que $1\text{ kW} = 1000\text{ W}$, calcula la potencia generada en kilovatios tomando $\pi \approx 3.14$ e interpreta si el resultado tiene un orden de magnitud razonable para un dispositivo de uso doméstico.

Simplifica al máximo la siguiente expresión con radicales anidados, reduciéndola a un único radical y extrayendo todos los factores posibles (asume que las variables son reales positivos):

$\sqrt[4]{\frac{x^3 y}{z} \sqrt[3]{\frac{z^2}{x y^2} \sqrt{\frac{x}{y}}}}$.

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifica el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.

Demuestre algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Plantee la ecuación $x^2$ y utilice los productos notables para resolverlo.

En un pentágono regular de lado $L = 2$ cm, la longitud de cualquier diagonal $D$ está relacionada con el lado mediante el número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cumpliendo $D = L \times \Phi$. Traza una diagonal horizontal para dividir el pentágono en un triángulo isósceles superior y un trapecio isósceles inferior. Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula el valor exacto de la altura total $h$ del pentágono sumando las alturas de ambas figuras. Expresa el resultado final de la forma más simplificada posible.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El factor de Lorentz en la teoría de la relatividad especial se define como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatómica viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$, calcula el valor exacto de $\gamma$. Posteriormente, determina a qué velocidad exacta $v$ (en función de $c$) debe viajar para que el factor sea $\gamma = \sqrt{2} + 1$, racionalizando el resultado si es necesario.

La tensión máxima $S$ soportada por la base de una cúpula arquitectónica modelada mediante una sección cónica viene dada por la expresión $S = \frac{P}{\sqrt{a^2 + b^2 - a\sqrt{b}}}$. Si la carga estructural es $P = 14$ toneladas, con parámetros geométricos $a = \sqrt{2}$ y $b = 8$, calcula el valor exacto de la tensión $S$ racionalizando el resultado final.

Simplifica completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales conjugados:

$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.

Considera la espiral de Teodoro, construida mediante triángulos rectángulos contiguos. El primer triángulo tiene catetos iguales de longitud $a$. El enésimo triángulo tiene como catetos la hipotenusa del triángulo anterior y un nuevo cateto de longitud $a$. Si el área del sexto triángulo de la secuencia es exactamente $A_6 = 12\sqrt{6}$ cm², calcula el valor exacto del parámetro $a$ y, con él, determina el perímetro exacto del tercer triángulo de la espiral simplificando los radicales.

Para calcular el valor numérico de la expresión $E = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, se pueden seguir dos estrategias algebraicas:

• Método 1 (Racionalización individual): Racionalizar cada sumando por separado multiplicando cada numerador y denominador por el conjugado de su propio denominador, y sumar al final las expresiones obtenidas.

• Método 2 (Común denominador directo): Tratar la expresión como una suma de fracciones con distinto denominador, calculando el común denominador de forma directa mediante el producto de ambos denominadores y operando los numeradores cruzados.

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos paso a paso y comprueba que se llega exactamente al mismo número entero.
2. b) Compara ambos caminos: ¿cuál de los dos métodos es más ventajoso y minimiza el número de productos de binomios? Justifica tu elección analizando la estructura de los denominadores involucrados.
3. c) Utiliza el método que has seleccionado como más eficiente en el apartado b) para generalizar el cálculo: deduce una expresión simplificada para $S(a, b) = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ (con $a, b > 0$ y $a \neq b$), presentándola como una única fracción algebraica sin raíces.

El estándar UNE-EN ISO 216, empleado en España para la normalización de formatos de papel (serie DIN), establece dos condiciones para el pliego base $\text{DIN A0}$: su área total debe ser exactamente $1\text{ m}^2$, y si el pliego se corta por la mitad paralelamente a su lado menor, los dos rectángulos resultantes deben conservar exactamente la misma proporción de aspecto (semejanza geométrica) que el pliego inicial.

1. a) Si llamamos $x$ al lado menor e $y$ al lado mayor de un pliego ($y > x$), demuestre algebraicamente que la condición de semejanza tras el corte obliga de manera única a que la razón entre lados sea $\frac{y}{x} = \sqrt{2}$. Explique por qué una proporción racional estándar (como $1.5$) impediría conservar la forma del documento al reducirlo.
2. b) A partir del sistema formado por $\frac{y}{x} = \sqrt{2}$ y el área $x \times y = 1$, deduzca algebraicamente que el ancho exacto del formato $\text{DIN A0}$ es $x = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\text{ m}$ y su largo es $y = \sqrt[4]{2}\text{ m}$. Racionalice la expresión del ancho $x$ para expresarla con un radical en el numerador y un entero en el denominador.
3. c) Sabiendo que una hoja de papel estándar $\text{DIN A4}$ se obtiene doblando cuatro veces consecutivas el pliego $\text{DIN A0}$, sus dimensiones son $x_4 = \frac{x}{4}$ e $y_4 = \frac{y}{4}$. Obtenga la expresión exacta del perímetro de una hoja $\text{DIN A4}$ en metros, presentándola como una única fracción racionalizada con denominador entero y cuyo numerador tenga la forma $a\sqrt[4]{b} + c\sqrt[4]{d}$, habiendo extraído todos los factores posibles.

Reto del tema. Auditoría energética y de red eléctrica.

1. Datos y conjuntos: Ingrese a la página web de Red Eléctrica de España (REE-RedOS) y extraiga la demanda eléctrica peninsular actual (en MW). Exprese el valor en W usando notación científica, ubíquelo en la recta real y clasifíquelo en los conjuntos numéricos ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$).

2. Errores y valor absoluto: Redondee la demanda media a dos cifras significativas y halle el error absoluto y el relativo cometidos. Plantee mediante una inecuación con función valor absoluto, $|x - x_0| \le 0.05 \times x_0$, el intervalo de tolerancia del $5\,\%$ admisible por la red, representándolo sobre la recta real.

3. Complejos y función racional: En GeoGebra, calcule la impedancia total de un transformador operando en forma polar: multiplique $Z_1 = 15_{45^\circ}\,\Omega$ por $Z_2 = 2_{-15^\circ}\,\Omega$ y divida el resultado entre $Z_3 = 6_{30^\circ}\,\Omega$. Por último, grafique la corriente eléctrica en función de una resistencia variable $R$ mediante la función racional $I(R) = \frac{230}{R + 4.5}$ y describa sus asíntotas.

Elabore un informe breve con sus capturas, cálculos y conclusiones.

Se valorará:

• Rigor en la notación científica, clasificación en conjuntos y cálculo de errores.

• Correcta modelización del intervalo de tolerancia mediante la función valor absoluto.

• Precisión en el álgebra de complejos en forma polar y análisis gráfico de la función racional.