Ejercicios: Sucesos simples

Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$.

En una caja de herramientas hay $12$ tornillos, $8$ tuercas y $5$ clavos. Si se extrae una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea una tuerca.

Se lanza un dado cúbico equilibrado con las caras numeradas del $1$ al $6$. Determine los elementos que forman el evento contrario a "sacar un número menor que $3$" y calcule su probabilidad.

De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Calcule la probabilidad de obtener un caballo.

En el experimento de lanzar un dado de $6$ caras, clasifique los siguientes eventos en elementales, compuestos, seguros o imposibles:

• $A = $ "sacar un $4$"

• $B = $ "sacar un número mayor que $6$"

• $C = $ "sacar un número par"

• $D = $ "sacar un número menor que $10$"

Considere el experimento de extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas. Indique si los eventos $A = $ "sacar una figura" y $B = $ "sacar un oro" son compatibles o incompatibles. Justifique su respuesta.

Dado el espacio muestral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ y los eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determine los elementos que forman los eventos $A \cup B$ y $A \cap B$.

Una ruleta de feria está dividida en $8$ sectores circulares iguales, numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que, al girarla, la flecha se detenga en un número múltiplo de $3$.

Marcos lanza simultáneamente dos monedas equilibradas de $1$ lempira y afirma lo siguiente: «El espacio muestral de este experimento es $E = \{ \text{dos caras}, \text{una cara y una cruz}, \text{dos cruces} \}$. Como hay $3$ casos posibles y solo uno de ellos es "obtener una cara y una cruz", la regla de Laplace indica que la probabilidad de sacar una cara y una cruz es $\frac{1}{3}$». a) Explique razonadamente cuál es el error conceptual de Marcos y por qué no es lícito aplicar la regla de Laplace sobre el espacio muestral que él ha propuesto. b) Escriba el espacio muestral correcto formado por eventos elementales equiprobables y calcule la probabilidad real del evento analizado por Marcos.

En una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno: oros, copas, espadas y bastos, numeradas del $1$ al $7$ más sota, caballo y rey), se extrae una carta al azar. Considere el evento $A$: «extraer una carta que sea una figura (sota, caballo o rey) o que lleve un número primo ($2$, $3$, $5$ o $7$)». a) Antes de calcular, estime razonadamente si $P(A)$ será mayor, menor o igual a $0.5$, analizando cuántas cartas de un solo palo cumplen al menos una de las dos condiciones. b) Compruebe su estimación calculando el valor exacto de $P(A)$ mediante la regla de Laplace (exprese el resultado en forma de fracción irreducible y en número decimal) y determine si su previsión inicial fue correcta.

Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados y se anota la suma de las puntuaciones obtenidas en las caras superiores. Calcula la probabilidad de que la suma sea exactamente $8$.

En una fábrica de componentes electrónicos, un control de calidad inspecciona un lote de $500$ piezas. Tras la revisión, se han encontrado $15$ piezas defectuosas. Si un cliente elige una pieza al azar de ese lote, ¿cuál es la probabilidad de que funcione correctamente?

Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un evento $A$ es $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilidad de que ocurra un evento $B$ es $P(B) = \frac{3}{10}$ y la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos.

Se introducen en una urna fichas con cada una de las letras de la palabra $ESPECTACULO$. Si se extrae una ficha al azar, calcula la probabilidad de que la letra extraída sea una vocal o la letra $C$.

Un jugador de baloncesto ha lanzado $80$ tiros libres durante la temporada, encestando $64$ de ellos. Utilizando la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que falle su próximo tiro libre?

En una clase de $30$ alumnos, $18$ practican natación, $15$ practican tenis y $5$ no practican ninguno de los dos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que practique ambos deportes simultáneamente.

En un refugio de animales, el $40\%$ de los perros son de tamaño grande, el $35\%$ son de tamaño mediano y el resto son de tamaño pequeño. Si se selecciona un perro al azar para un paseo, calcula la probabilidad de que no sea de tamaño mediano.

Se lanzan al aire tres monedas equilibradas simultáneamente. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.

Usted está diseñando una ruleta circular para una feria del colegio dividida en sectores continuos de tres colores: rojo, azul y verde. Para ajustar los premios del juego, el diseño debe verificar las siguientes condiciones: 1) La probabilidad de que la ruleta no se detenga en el color verde es exactamente $\frac{7}{10}$. 2) El evento «obtener rojo» tiene una probabilidad que supera en $0.1$ a la del evento «obtener azul». Determine la probabilidad de cada uno de los tres colores (eventos elementales) y calcule el ángulo en grados que debe abarcar el sector de cada color en el círculo completo de $360^\circ$. Justifique sus pasos utilizando la propiedad del evento contrario y de la unión de eventos incompatibles.

En un instituto de Educación Secundaria, la jefatura de estudios analiza la matrícula de los $120$ estudiantes de 4.º de ESO en las materias optativas de modalidad. Los datos oficiales reflejan que $72$ alumnos cursan Biología y Geología, $48$ cursan Física y Química, y $24$ cursan ambas materias simultáneamente. Si se selecciona al azar a un estudiante de 4.º de ESO de este centro: a) Modela la situación definiendo los sucesos elementales y calcula las probabilidades $P(B)$, $P(F)$ y $P(B \cap F)$. b) Aplica la fórmula de la probabilidad de la unión para calcular la probabilidad de que el estudiante curse al menos una de las dos asignaturas. c) Empleando el suceso contrario, calcula la probabilidad de que no curse ninguna de las dos materias.

En una urna hay $x$ bolas rojas y $6$ bolas blancas. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola roja al azar es $\frac{2}{5}$, plantea una ecuación y determina el número total de bolas que hay en la urna.

Una diana circular está formada por tres círculos concéntricos de radios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ y $30\text{ cm}$. Si un dardo impacta al azar en cualquier punto de la diana (garantizando que siempre acierta dentro del círculo mayor), calcula la probabilidad de que caiga en la corona circular intermedia (la zona comprendida entre el radio de $10\text{ cm}$ y el de $20\text{ cm}$).

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcule la probabilidad del evento contrario de la intersección, es decir, $P(\overline{A \cap B})$.

Para acceder a una caja fuerte, se debe introducir un código numérico de $3$ cifras (desde el $000$ hasta el $999$). Un ladrón, que no conoce la clave, prueba un número al azar. Calcula la probabilidad de que el código introducido tenga las tres cifras idénticas.

En un sorteo se extrae una bola de un bombo que contiene $100$ bolas numeradas del $1$ al $100$. Calcula la probabilidad de que el número de la bola extraída contenga al menos un dígito $7$.

Una encuesta realizada a $200$ clientes de una cafetería revela que $120$ toman café, $90$ toman tostadas y $40$ no toman ninguna de las dos cosas. Si se elige un cliente al azar, calcula la probabilidad de que el cliente tome café pero NO tome tostadas.

Un dado de seis caras está trucado de forma que la probabilidad de que salga una cara par es el doble de la probabilidad de que salga una cara impar. Sabiendo que todas las caras pares tienen la misma probabilidad entre sí, y lo mismo ocurre con las caras impares, calcula la probabilidad exacta de sacar un $6$.

Se dispone de dos eventos $A$ y $B$ incompatibles de un mismo experimento aleatorio. Sabiendo que la probabilidad de que no ocurra $A$ es $P(\overline{A}) = 0.7$ y la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos es $P(A \cup B) = 0.8$, calcule la probabilidad de que ocurra el evento $B$.

Se lanzan a la vez tres dados cúbicos equilibrados con caras numeradas del $1$ al $6$. Se desea calcular la probabilidad del evento $A$: «obtener al menos un $5$ en la tirada». Dos estudiantes debaten qué camino seguir: la Estrategia 1 (método directo) consiste en descomponer $A$ en la suma de tres eventos incompatibles («exactamente un $5$», «exactamente dos $5$» y «tres cincos») y sumar sus probabilidades; la Estrategia 2 (evento contrario) consiste en calcular la probabilidad de $\bar{A}$ («no obtener ningún $5$ en ninguno de los tres dados») y aplicar $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. a) Desarrolle completamente ambos métodos hasta obtener el resultado en forma de fracción irreducible, comprobando que coinciden. b) Justifique cuál de las dos estrategias es más eficiente y razone cómo afectaría la elección del método si el experimento consistiese en lanzar $8$ dados equilibrados en lugar de $3$.

En una clase de Matemática se analiza un experimento aleatorio con dos eventos, $A$ y $B$, de un mismo espacio muestral, cuyas probabilidades son $P(A) = 0.65$ y $P(B) = 0.55$. Lucía afirma: 1) «Los eventos $A$ y $B$ pueden ser incompatibles si diseñamos bien el experimento». 2) «El valor mínimo posible para la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ es $0$». 3) «La probabilidad de la unión $P(A \cup B)$ podría ser $1.2$ si sumamos sus probabilidades». a) Refute razonadamente las tres afirmaciones de Lucía aplicando los axiomas y propiedades de la probabilidad ($P(A \cup B) \le 1$ y la fórmula de la unión). b) Deduzca el intervalo exacto $[p_{\min}, p_{\max}]$ en el que necesariamente debe encontrarse $P(A \cap B)$. c) Diseñe un ejemplo concreto mediante una urna con $20$ bolas numeradas del $1$ al $20$ donde se cumplan exactamente $P(A) = 0.65$ y $P(B) = 0.55$ y se alcance el valor mínimo $p_{\min}$ de la intersección.