Ejercicios: Independencia

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.2$. Determine analíticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

En un experimento aleatorio, los eventos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0.6$ y $P(D) = 0.3$, calcule la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, es decir, halle $P(C \cap D)$.

Los eventos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0.15$ y que $P(E) = 0.3$, encuentre la probabilidad del evento $F$.

Se sabe que la probabilidad de que ocurra el evento $G$ es $P(G) = 0.7$ y la probabilidad de que ocurra el evento $H$ sabiendo que ha ocurrido $G$ es $P(H|G) = 0.4$. Si $G$ y $H$ son independientes, ¿cuál es el valor de $P(H)$?

Se lanza una moneda equilibrada dos veces consecutivas. Calcule la probabilidad de obtener "cara" en el primer lanzamiento y "cruz" en el segundo, asumiendo que los lanzamientos son eventos independientes.

De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta, se anota su palo, se devuelve al mazo, se baraja y se extrae una segunda carta. Calcule la probabilidad de que ambas cartas extraídas sean del palo de "oros".

Observe el siguiente diagrama de árbol que modela dos experimentos independientes. Calcule la probabilidad de que ocurra el evento $\overline{A}$ en la primera etapa y el evento $B$ en la segunda etapa.

Dos eventos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades estrictamente mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justifique su respuesta utilizando la definición matemática de independencia.

Marcos está repasando probabilidad para el examen y se encuentra con dos eventos, $A$ y $B$, tales que $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0$. En su cuaderno escribe: «Como la probabilidad de la intersección es cero, significa que los dos eventos no tienen nada que ver el uno con el otro y, por tanto, son independientes». Explique detalladamente cuál es el error conceptual de Marcos, demuestre analíticamente si dichos eventos son o no independientes calculando $P(A) \times P(B)$ y enuncie la regla general sobre la relación entre eventos incompatibles con probabilidades positivas e independencia.

Un ciclista recorre a diario una avenida en la que debe atravesar dos semáforos cuyos ciclos están regulados de manera totalmente independiente. La probabilidad de encontrar el primer semáforo en verde es $P(S_1) = 0.7$ y la de encontrar el segundo en verde es $P(S_2) = 0.6$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo, estime de forma razonada: ¿la probabilidad de cruzar al menos uno de los dos semáforos en verde ($P(S_1 \cup S_2)$) será mayor que $0.7$, menor que $0.6$ o estará comprendida entre $0.6$ y $0.7$? ¿Por qué?
2. b) Utilice la fórmula de la unión para eventos independientes para calcular el valor exacto de $P(S_1 \cup S_2)$ y compruebe si su estimación inicial era correcta, interpretando el resultado.

En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0.8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una probabilidad de $0.7$. Si ambos disparan una flecha de forma completamente independiente, calcula la probabilidad de que ambos acierten en el centro de la diana.

Dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, envasan productos lácteos en una fábrica y funcionan de manera independiente. La probabilidad de que la máquina $M_1$ sufra una avería en un día de producción es $0.05$, y la de la máquina $M_2$ es $0.08$. Calcula la probabilidad de que, en un día determinado, al menos una de las dos máquinas sufra una avería.

En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del domingo es independiente del tiempo del sábado, halla la probabilidad de que llueva durante el fin de semana (es decir, que llueva el sábado, el domingo o ambos días).

En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$ de los encuestados tienen estudios universitarios, de los cuales $54$ leen habitualmente. Compruebe matemáticamente si los eventos "leer habitualmente" y "tener estudios universitarios" son independientes en esta muestra.

Se tienen dos urnas con la composición que se muestra en la figura. Se extrae al azar una bola de la urna $A$ y, de forma independiente, otra bola de la urna $B$. Calcula la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean del mismo color.

Sean $A$ y $B$ dos eventos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0.88$ y la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0.6$. Calcule la probabilidad del evento $B$.

En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la alergia cuando el paciente sí la padece) con una probabilidad de $0.15$. La prueba $Y$ da un falso negativo con una probabilidad de $0.10$. Si el paciente analizado es realmente alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos pruebas detecte su alergia?

Un estudiante tiene que realizar un examen de tipo test. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0.7$, y la probabilidad de que sepa la respuesta a una de Geografía es $0.8$. Si le hacen una pregunta de cada materia y sus conocimientos sobre ellas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sepa responder exactamente a una de las dos preguntas?

En una vivienda se instala un sistema de seguridad redundante con dos sensores independientes, $A$ y $B$. El fabricante garantiza que el sensor $A$ tiene una probabilidad de detectar a un intruso de $P(A) = 0.8$. La normativa de seguridad exige que la probabilidad total de que salte la alarma (es decir, de que se active al menos uno de los dos sensores, $P(A \cup B)$) sea exactamente de $0.96$. Sabiendo que ambos dispositivos operan de manera independiente, plantea la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de la unión y determina qué probabilidad de detección $P(B)$ debe tener como mínimo el sensor $B$ para cumplir con dicha normativa.

A partir de los registros históricos de una estación meteorológica del norte de España recopilados por AEMET durante el otoño, se estima que en un día cualquiera la probabilidad de lluvia es $P(L) = 0.60$ y la probabilidad de registrar rachas de viento fuerte es $P(V) = 0.40$. Asimismo, los datos revelan que llueve y hace viento fuerte a la vez en el $30\,\%$ de las jornadas ($P(L \cap V) = 0.30$).

1. a) Determine de forma rigurosa mediante la definición matemática si los eventos «llover» y «hacer viento fuerte» son estadísticamente independientes en dicha comarca.
2. b) Un vecino sostiene: «Como en otoño los temporales traen viento y lluvia juntos, ambos fenómenos no pueden ser independientes». Explique si el resultado numérico obtenido en el apartado anterior apoya la afirmación del vecino, comparando el solapamiento real con el que se esperaría si fueran independientes.

Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada sensor detecte a un intruso que entra en la bóveda son $0.90$, $0.85$ y $0.95$, respectivamente. Calcula la probabilidad de que el sistema detecte a un intruso (es decir, que al menos un sensor se active).

Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.8$. Demuestre analíticamente que los eventos $A$ y $B$ no son independientes y, a continuación, calcule la probabilidad condicional $P(A|B)$.

Un circuito electrónico para un satélite de comunicaciones está formado por tres componentes $A$, $B$ y $C$ dispuestos como muestra el diagrama. El circuito funciona correctamente si el componente $A$ funciona Y, además, funciona al menos uno de los componentes $B$ o $C$. Los tres componentes fallan de forma independiente con probabilidades $P(F_A) = 0.02$, $P(F_B) = 0.1$ y $P(F_C) = 0.1$. Calcula la probabilidad de que el circuito en su conjunto funcione correctamente.

En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los eventos "estudiar Francés" y "estudiar Alemán" son totalmente independientes. Si la probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie ninguno de los dos idiomas es del $12\%$, determine qué porcentaje de los alumnos de la academia estudia Alemán.

Una caja contiene $3$ fichas verdes (V) y $2$ fichas naranjas (N). Se van a realizar dos extracciones consecutivas. Analiza los diagramas de árbol correspondientes a realizar el experimento con reemplazamiento (Panel A) y sin reemplazamiento (Panel B). Calcula la probabilidad de extraer una ficha verde en la segunda extracción en ambos casos y explica matemáticamente en cuál de los dos escenarios el resultado de la segunda extracción es independiente del resultado de la primera.

Demuestre analíticamente que si dos eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus eventos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes. Utilice para ello las propiedades algebraicas de la probabilidad y la definición fundamental de independencia.

En un cruce genético mendeliano, el color de la semilla (Amarillo dominante, verde recesivo) y la textura de la misma (Lisa dominante, rugosa recesiva) se heredan de forma absolutamente independiente. Si se cruzan dos plantas heterocigotas para ambos caracteres, la probabilidad de heredar el alelo recesivo de cada progenitor para un único gen es de $0.5$. Calcula la probabilidad de que una planta descendiente elegida al azar tenga semillas verdes y rugosas simultáneamente.

Dos amigas, Carmen y Daniela, lanzan alternativamente un dado equilibrado de seis caras en un juego. Gana la partida la primera jugadora que obtenga un $6$. Si Carmen tiene el primer turno y lanzan de forma independiente, calcule la probabilidad exacta de que Carmen gane el juego en su primer o en su segundo lanzamiento.

El servicio informático de una consejería de educación dispone de 4 servidores de respaldo idénticos e independientes para gestionar las solicitudes de matrícula telemática. Durante el día de apertura, la probabilidad de que un servidor concreto colapse por sobrecarga es $p = 0.15$. El sistema general permanece accesible siempre que «al menos uno de los cuatro servidores siga operativo».

Para calcular la probabilidad de que el sistema se mantenga accesible, dos técnicos proponen métodos distintos:

• Belén sugiere calcular por separado y sumar las probabilidades de que funcionen exactamente 1, exactamente 2, exactamente 3 y los 4 servidores.

• Carlos propone calcular la probabilidad de que fallen los 4 servidores de forma simultánea y restarle ese valor a $1$.

1. a) Compara razonadamente ambos métodos explicando cuál es más ventajoso y por qué en este caso.
2. b) Aplica la estrategia más eficiente para calcular la probabilidad exacta (con cuatro cifras decimales) de que el sistema informático no se caiga.

En un laboratorio farmacéutico se evalúan dos pruebas analíticas independientes, $T_1$ y $T_2$, para identificar un compuesto químico en una muestra. La prueba $T_1$ tiene una probabilidad de detección del $70\,\%$ ($P(T_1) = 0.7$), mientras que la prueba $T_2$ tiene una probabilidad desconocida $p = P(T_2)$.

El investigador Diego afirma en su informe preliminar: «Para conseguir que la probabilidad de detectar el compuesto con al menos una de las dos pruebas sea del $95\,\%$, basta con que $T_2$ tenga una probabilidad de detección de $0.25$, ya que $0.70 + 0.25 = 0.95$».

1. a) Localiza y razona el error conceptual que comete Diego al ignorar la independencia de las pruebas.
2. b) Plantea la ecuación correcta bajo la condición de independencia y despeja el valor exacto de la probabilidad $p = P(T_2)$ que realmente se necesita para alcanzar ese $95\,\%$ de efectividad combinada.
3. c) Si el fabricante del test $T_2$ solo comercializa una versión estándar con $P(T_2) = 0.80$, calcula cuál es la probabilidad real máxima de detección combinada ($P(T_1 \cup T_2)$) que se puede alcanzar utilizando ambos análisis a la vez.