Ejercicios: Dependencia

En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda sea azul.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?

Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.2$. Compruebe matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

Lanzamos dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un $3$?

Observa el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcula la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la rama $A$.

En una clase de $30$ alumnos, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta que estudia francés, ¿cuál es la probabilidad de que también estudie alemán?

Se saca una carta de una baraja española y, a continuación, se lanza una moneda al aire. ¿Son estos dos eventos dependientes o independientes? Calcule la probabilidad de obtener un "As" en la baraja y "Cara" en la moneda.

Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener Cara es $0.7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcule la probabilidad de obtener exactamente una Cara y una Cruz (en cualquier orden).

Marcos tiene en una gaveta $5$ calcetines negros y $3$ calcetines azules, todos sueltos e idénticos al tacto. Se dispone a sacar dos calcetines consecutivamente, a oscuras y sin reemplazo. Para calcular la probabilidad de que el primer calcetín sea negro y el segundo sea azul, Marcos escribe en su cuaderno:

«$P(\text{Negro en el 1.º}) = \frac{5}{8}$ y $P(\text{Azul en el 2.º}) = \frac{3}{8}$. Como son dos eventos independientes, multiplico ambas probabilidades: $P(\text{Negro y Azul}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$».

1. a) Señale el error conceptual que ha cometido Marcos y explique con sus palabras por qué dos extracciones consecutivas sin reemplazo no pueden tratarse como eventos independientes.
2. b) Corrija el cálculo aplicando la regla del producto para eventos dependientes: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$.
3. c) Calcule la probabilidad de que los dos calcetines extraídos sean del mismo color.

En un grupo de $30$ estudiantes de 4.º de ESO se realiza una encuesta sobre aficiones: $18$ juegan habitualmente a videojuegos, $12$ practican deporte federado y $6$ realizan ambas actividades.

1. a) Si se elige un estudiante al azar de toda la clase, calcula la probabilidad a priori de que practique deporte federado, $P(D)$.
2. b) Antes de realizar ningún cálculo formal, estima razonadamente: si elegimos al azar a un estudiante únicamente entre los que juegan a videojuegos, ¿la probabilidad de que practique deporte federado será mayor, igual o menor que la obtenida en el apartado anterior? Justifica tu predicción comparando la proporción global con la del subgrupo.
3. c) Comprueba numéricamente tu estimación calculando la probabilidad condicionada $P(D \mid V)$ mediante su definición $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$. ¿Confirma el resultado exacto tu razonamiento previo?

En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son defectuosas, mientras que en la máquina B el porcentaje de defectuosas es del $5\%$. Si se elige una pieza al azar del almacén, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y sea defectuosa?

Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje de acierto del $80\%$ en el primer tiro libre. Si acierta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de acertar el segundo tiro libre sube al $90\%$. Sin embargo, si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de acertar el segundo baja al $60\%$. Calcule la probabilidad de que el jugador enceste exactamente un tiro libre en una serie de dos lanzamientos.

En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos que lee el periódico X, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el periódico Y? A la vista de los resultados, razone si los eventos "leer el periódico X" y "leer el periódico Y" son independientes.

Tenemos dos cajas. La CAJA I contiene $4$ bolas verdes y $2$ amarillas. La CAJA II contiene $3$ bolas verdes y $5$ amarillas. Sacamos una bola al azar de la CAJA I y la introducimos en la CAJA II. A continuación, mezclamos bien y sacamos una bola de la CAJA II. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean verdes?

De una caja que contiene $10$ bombillas, se sabe que $3$ de ellas están fundidas. Se extraen $3$ bombillas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las bombillas extraídas esté fundida?

En una clínica se realiza una prueba rápida de alergia. Se sabe que el $8\%$ de los pacientes son alérgicos a una sustancia determinada. La prueba da un resultado positivo en el $90\%$ de los pacientes que realmente son alérgicos. Sin embargo, también da un falso positivo en el $5\%$ de los pacientes que no son alérgicos. Se elige un paciente al azar y se le realiza la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?

Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0.7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0.8$. Sus disparos son totalmente independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por al menos una flecha?

En una estantería hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazamiento. Si el segundo libro elegido resultó ser de poesía, ¿cuál es la probabilidad de que el primer libro elegido también lo fuera?

Según datos de movilidad inspirados en la Dirección General de Tráfico (DGT) para una operación salida, en un departamento el $70\%$ de los desplazamientos interurbanos se realizan por autopista ($A$) y el $30\%$ restante por carreteras convencionales secundarias ($S$). Se sabe que la probabilidad de sufrir una retención grave ($R$) es de $0.15$ si se circula por autopista, mientras que en carretera secundaria dicha probabilidad se reduce a $0.05$.

1. a) Modele la situación construyendo un diagrama de árbol completo que refleje los eventos de cada etapa y sus probabilidades asociadas (a priori y condicionadas).
2. b) Utilice el teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad de que un conductor elegido al azar en esa jornada sufra una retención grave.
3. c) Si un conductor llega a su destino tras haber sufrido una retención grave, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado su viaje por autopista? Interprete por qué este porcentaje resulta tan elevado a pesar de que las autopistas están diseñadas para soportar mayor fluidez de tráfico.

En una urna opaca hay $10$ bolas idénticas al tacto, de las cuales $r$ son rojas y el resto son blancas. Se extraen al azar dos bolas consecutivamente y sin reemplazo.

1. a) Sabiendo que la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas es exactamente igual a $\frac{1}{15}$, plantee una ecuación algebraica en función de $r$ utilizando la regla del producto para eventos dependientes y resuelva para hallar cuántas bolas de cada color contenía la urna al principio.
2. b) Con la composición de la urna ya deducida, calcule la probabilidad de que la segunda bola sea blanca sabiendo que la primera bola extraída ha sido roja, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Demuestre matemáticamente si el evento «obtener bola blanca en la segunda extracción» es dependiente o independiente del resultado obtenido en la primera, comparando $P(B_2 \mid R_1)$ con la probabilidad a priori de obtener blanca en la primera extracción, $P(B_1)$.

Tenemos tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C contiene $4$ monedas de oro. Lanzamos un dado equilibrado: si sale $1$ o $2$, elegimos el cofre A; si sale $3$, elegimos el cofre B; si sale $4$, $5$ o $6$, elegimos el cofre C. A continuación, extraemos una moneda al azar del cofre elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?

En un colegio, el $55\%$ de los estudiantes son mujeres. Se sabe que el $20\%$ de las mujeres y el $25\%$ de los varones participan activamente en el club de teatro. Si se elige al azar un estudiante que participa en el club de teatro, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

En una urna hay $x$ bolas rojas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean rojas es exactamente $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación y determina el número de bolas rojas $x$ que hay en la urna.

Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0.15$ y la probabilidad de que falle el cortafuegos B es $0.10$. El sistema se ve comprometido solo si ambos cortafuegos fallan. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema resista un ataque? Si se añade un tercer cortafuegos C idéntico al B e independiente de los anteriores, ¿cuánto aumenta la probabilidad de que el sistema resista el ataque?

Un jugador extrae cartas de una baraja española de $40$ cartas, una a una y sin reemplazo, hasta que sale una figura (sota, caballo o rey). ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que extraer exactamente $3$ cartas para conseguir su objetivo?

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, encuentre el valor de la intersección y calcule $P(A|B)$ y $P(B|A)$. ¿Son $A$ y $B$ eventos independientes? Razone su respuesta.

Una bolsa opaca contiene $10$ papeletas idénticas al tacto: $2$ de ellas tienen premio y $8$ están en blanco. Tres amigos, Fátima, Bruno y Ionut, extraen consecutivamente y sin reemplazamiento una papeleta cada uno en ese mismo orden. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer premio que salga lo saque Ionut?

Tenemos dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado trucado que tiene tres caras con un $2$, dos caras con un $3$ y una cara con un $5$. Se elige un dado al azar (con probabilidad $\frac{1}{2}$ para cada uno) y se lanza. Si el resultado obtenido es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que se haya lanzado el dado trucado?

En un centro de salud escolar se evalúa la fiabilidad de un test de diagnóstico rápido para detectar una infección asintomática. Los datos epidemiológicos indican que la prevalencia de la infección en la población objetivo es del $2\%$ ($0.02$). La sensibilidad de la prueba es del $95\%$ (si una persona está infectada, da positivo con probabilidad $0.95$) y la tasa de falsos positivos es del $5\%$ (si una persona está sana, da positivo por error con probabilidad $0.05$). Se desea calcular la probabilidad de que una persona con resultado positivo esté realmente infectada, $P(I \mid +)$.

Dos estudiantes proponen métodos de resolución distintos:

• Método 1 (Formal analítico): Definir eventos, calcular la probabilidad total $P(+)$ sumando las dos ramas del árbol y aplicar el teorema de Bayes: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Método 2 (Tabla de contingencia con frecuencias naturales): Suponer una población hipotética de $10,000$ personas, repartirlas en una tabla de doble entrada de $2 \times 2$ según su estado real y el test, y calcular el cociente directo de infectados entre el total de positivos.

1. a) Resuelva el problema aplicando ambos métodos y compruebe que se llega exactamente al mismo valor numérico (redondee el resultado a una cifra decimal en porcentaje).
2. b) Compare críticamente ambos caminos: ¿cuál de los dos métodos considera más adecuado y comprensible para explicar a un paciente sin formación matemática por qué un test con un «$95\%$ de acierto» produce una probabilidad real de estar enfermo tan inesperadamente baja? Justifique su elección explicando el papel que desempeñan los falsos positivos en el denominador.

En una causa penal se analiza una muestra biológica hallada en el lugar de los hechos. El informe forense concluye que solo $1$ de cada $100,000$ personas elegidas al azar comparte dicho perfil genético; es decir, la probabilidad de coincidencia accidental en un individuo inocente es $P(\text{Coincidencia} \mid \text{Inocente}) = 0.00001$.

El fiscal del juicio acusa al sospechoso Pedro argumentando lo siguiente: «Dado que el ADN de Pedro coincide plenamente con la muestra, la probabilidad de que sea inocente es de apenas el $0.001\%$, por lo que su culpabilidad queda probada con una certeza del $99.999\%$.»

El juez solicita un peritaje asumiendo que el delito se cometió en una ciudad cerrada de $500,000$ habitantes adultos, entre los cuales se encuentra el único culpable, y sabiendo que Pedro fue identificado únicamente por residir en la ciudad y someterse a un cribado general, sin que existan más pruebas en su contra.

1. a) Identifica el grave error conceptual cometido por el fiscal (conocido como «falacia del fiscal»), explicando con claridad qué dos probabilidades condicionadas distintas ha confundido y escribiendo cada una con su notación simbólica $P(\dots \mid \dots)$.
2. b) Utilizando el teorema de Bayes o deduciendo el número esperado de coincidencias en la población de $500,000$ habitantes, calcula la probabilidad real de que Pedro sea culpable sabiendo que su ADN ha coincidido: $P(\text{Culpable} \mid \text{Coincidencia})$.
3. c) Redacta una conclusión dirigida al tribunal en la que justifiques, apoyándote en el resultado numérico obtenido, por qué la prueba de ADN por sí sola resulta insuficiente para condenar al acusado sin pruebas adicionales.