Ejercicios: Árboles

Una caja contiene $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Se extrae una bola al azar, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de obtener dos bolas azules.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una cafetería ofrecen dos tipos de menú: el $60\,\%$ de los clientes elige el menú del día y el $40\,\%$ elige el menú vegetariano. De los que eligen el menú del día, el $70\,\%$ pide café de postre. De los que eligen el menú vegetariano, el $80\,\%$ pide té. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar haya tomado el menú del día y además haya pedido café.

Complete el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda trucada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es $\frac{1}{3}$. A partir del árbol, calcule la probabilidad de obtener primero cara y luego cruz.

En un armario hay $5$ camisetas blancas y $3$ negras. Se eligen dos camisetas al azar, una tras otra y sin devolver la primera al armario. Calcule la probabilidad de que ambas camisetas sean blancas.

Lanzamos un dado de seis caras y, a continuación, extraemos una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si en el dado sale un número par, ganamos si sacamos un Rey. Si en el dado sale un número impar, ganamos si sacamos un As. Calcule la probabilidad de sacar un número par en el dado y, además, ganar.

Para ir al trabajo, Marta puede ir en bus (con probabilidad $0.7$) o en bicicleta (con probabilidad $0.3$). Si va en bus, la probabilidad de llegar tarde es $0.2$. Si va en bicicleta, la probabilidad de llegar tarde es $0.05$. ¿Cuál es la probabilidad de que Marta vaya en bicicleta y llegue puntual?

En una urna hay $2$ bolas verdes y $3$ bolas amarillas. Extraemos una bola, la miramos y la dejamos fuera. Luego extraemos otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea verde y la segunda amarilla?

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de $0.8$ de encestar un tiro libre. Si lanza dos tiros libres de forma independiente, dibuje el árbol de probabilidades y determine cuál es la probabilidad de que falle los dos lanzamientos.

En una bolsa hay $3$ fichas negras y $2$ blancas. Se extraen dos fichas sucesivamente y sin reemplazamiento. Para calcular la probabilidad de que la segunda ficha sea blanca, Lucas dibuja un diagrama de árbol. En la segunda etapa observa dos ramas que terminan en «blanca»: una con probabilidad $\frac{1}{4}$ (si la primera fue blanca) y otra con probabilidad $\frac{2}{4}$ (si la primera fue negra). Lucas concluye: «Como ambas ramas terminan en blanca, la probabilidad total de que la segunda ficha sea blanca es $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$».\na) Explica detalladamente el error conceptual de razonamiento que comete Lucas al sumar directamente esas dos ramas del segundo nivel.\nb) Corrige su cálculo utilizando adecuadamente las probabilidades de los caminos completos del árbol y compara el resultado con la probabilidad de haber sacado blanca en la primera extracción. ¿Qué conclusión obtienes?

En el diseño de un videojuego de aventuras, un cofre puede tener trampa (con probabilidad $0.3$) o contener una recompensa (con probabilidad $0.7$). Si tiene trampa, la probabilidad de que el héroe la desactive con éxito es de $0.2$. Si contiene una recompensa, esta puede estar intacta o deteriorada por el paso del tiempo.\nPara equilibrar la dificultad, el desarrollador necesita que la probabilidad total de que el jugador «consiga una recompensa intacta o desactive la trampa con éxito» sea exactamente de $0.62$.\na) Dibuja el diagrama de árbol de la situación identificando las etapas, las ramas y denotando por $p$ la probabilidad condicionada de que «la recompensa esté intacta sabiendo que no había trampa».\nb) Plantea y resuelve una ecuación sobre las ramas del árbol para hallar el valor exacto que debe tener $p$.

En una fábrica de componentes electrónicos, tres máquinas (A, B y C) producen el $50\,\%$, el $30\,\%$ y el $20\,\%$ de las piezas, respectivamente. Los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada máquina son el $2\,\%$, el $4\,\%$ y el $5\,\%$. Apóyate en el diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

En un partido de tenis, si el primer saque de un jugador entra en el cuadro (probabilidad $0.6$), gana el punto con probabilidad $0.7$. Si el primer saque falla, realiza un segundo saque que entra con probabilidad $0.8$. Si el segundo saque entra, gana el punto con probabilidad $0.5$. Si el segundo saque también falla, comete doble falta y pierde el punto automáticamente. Calcula la probabilidad total de que el jugador gane el punto en ese servicio.

Tenemos dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Lanzamos una moneda al aire: si sale cara, extraemos una bola de la urna A; si sale escudo, extraemos una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?

Un estudiante tiene que realizar dos exámenes el mismo día. La probabilidad de aprobar el primero es $0.6$. Si aprueba el primero, se motiva y la probabilidad de aprobar el segundo sube a $0.8$. Sin embargo, si suspende el primero, se desanima y la probabilidad de aprobar el segundo baja a $0.3$. Construye el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una prueba de diagnóstico para una alergia, el $5\,\%$ de la población realmente tiene la alergia. Si una persona tiene la alergia, el test da positivo el $90\,\%$ de las veces. Si no la tiene, el test da negativo el $95\,\%$ de las veces. Dibuja un diagrama de árbol para ilustrar la situación y calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar obtenga un resultado positivo en el test.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una bolsa contiene $5$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen bolas de una en una y sin reemplazamiento hasta que salga una bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de tener que realizar exactamente tres extracciones para que el juego termine?

El clima en una ciudad costera sigue un patrón curioso: si un día está soleado, la probabilidad de que al día siguiente llueva es $0.2$. Si un día llueve, la probabilidad de que al día siguiente siga lloviendo es $0.6$. Sabiendo que hoy es lunes y está soleado, ¿cuál es la probabilidad de que el miércoles llueva? Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a los días Martes y Miércoles.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se dispone de una baraja española de $40$ cartas. Se extraen tres cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo (oros, copas, espadas o bastos).

Según los registros de la AEMET en una localidad del norte, en noviembre llueve el $10\,\%$ de los días. Los datos de la empresa municipal de transportes indican que, si llueve, la probabilidad de que una línea de autobús sufra un retraso notable es de $0.40$; en cambio, si no llueve, esa probabilidad se reduce a $0.05$.\na) Antes de calcular nada, estime intuitivamente: si un día cualquiera de noviembre esa línea sufre un retraso notable, ¿cree usted que es más probable que haya llovido o que no haya llovido? Justifique brevemente su intuición considerando el peso de cada tipo de día.\nb) Modele la situación con un diagrama de árbol y calcule la probabilidad total de que el autobús sufra un retraso notable en un día de noviembre.\nc) Calcule mediante el teorema de Bayes la probabilidad de que haya llovido sabiendo que el autobús ha llegado con retraso. Compruebe si su estimación inicial del apartado a) era acertada o si ha sufrido la «falacia de la tasa base».

Según datos de la DGT sobre el examen práctico de conducir, en una determinada provincia el $45\,\%$ de los aspirantes aprueba en su primera convocatoria. Aquellos que reprueban se presentan a una segunda convocatoria tras realizar prácticas de refuerzo, logrando aprobar en este segundo intento el $60\,\%$ de ellos. Quienes reprueban la segunda convocatoria no continúan ese año.\na) Modele todo el proceso mediante un diagrama de árbol, indicando en cada nodo y rama los eventos («aprueba en 1.ª», «reprueba en 1.ª», «aprueba en 2.ª», «reprueba en 2.ª») y sus probabilidades asociadas.\nb) ¿Qué porcentaje total de aspirantes consigue la licencia de conducir en un máximo de dos convocatorias?\nc) Si seleccionamos al azar a una persona que ha conseguido la licencia en ese proceso, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya logrado en la primera convocatoria? Interprete qué significa este valor para la gestión de las listas de espera de la autoescuela.

Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene $4$ fichas azules y $2$ rojas. La caja 2 contiene $3$ fichas azules y $5$ rojas. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha de la caja 2. Calcula la probabilidad de que la ficha extraída de la caja 2 sea azul.

En una urna hay $x$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es $\frac{1}{3}$, plantea la ecuación correspondiente apoyándote en un diagrama de árbol y determina el número inicial de bolas blancas $x$.

Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas es el campeón). Alpha es mejor equipo, por lo que su probabilidad de ganar cualquier partida es $0.6$. Las partidas no pueden terminar en empate. Dibuja el diagrama de árbol de los posibles desarrollos de la final y calcula la probabilidad de que el equipo Beta gane el torneo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un sistema de alarma de una cámara acorazada tiene 3 sensores de movimiento. La probabilidad de que el sensor A falle ante una intrusión es $0.1$; la de que falle el sensor B es $0.05$; y la de que falle el sensor C es $0.2$. Los sensores actúan de forma totalmente independiente. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que, ante una intrusión real, al menos un sensor se active y haga sonar la alarma.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en un año es $0.15$, mientras que para un adulto es $0.05$. Se selecciona un conductor al azar y resulta que ha tenido un accidente este año. Utilizando las ramas de un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que dicho conductor sea joven. (Expresa el resultado como fracción irreducible).

En un juego de mesa, un jugador debe superar un foso saltando sobre tres plataformas sucesivas. La probabilidad de resbalar en la primera plataforma es $\frac{1}{10}$. Si supera la primera, la probabilidad de resbalar en la segunda es $\frac{1}{5}$. Si supera la segunda, la probabilidad de resbalar en la tercera es $\frac{1}{4}$. Si resbala en cualquier plataforma, cae al foso y pierde. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador cruce el foso con éxito? Si sabemos que el jugador cayó al foso, ¿cuál es la probabilidad de que haya caído exactamente en la segunda plataforma?

Una urna contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Se extraen bolas de una en una, sin reemplazamiento, hasta que la suma de los números extraídos sea mayor o igual que $6$. Dibuja el diagrama de árbol con todas las ramas posibles sabiendo que en la primera extracción salió la bola con el número $2$. A partir de tu árbol, calcula la probabilidad de que el juego termine exactamente en la tercera extracción.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una competición, un arquero dispone de un máximo de tres flechas para dar en la diana. La probabilidad de acertar con la primera flecha es $0.4$. Si falla, ajusta su visor y la probabilidad de acertar con la segunda es $0.6$. Si vuelve a fallar, se pone nervioso y la probabilidad de acertar con la tercera es $0.3$. El arquero deja de disparar en el momento en que acierta. Calcula la probabilidad de que el arquero necesite realizar más de un disparo sabiendo que finalmente logró dar en la diana.

En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas blancas. Se extraen sucesivamente $3$ bolas al azar y sin reemplazamiento. Se desea calcular la probabilidad de obtener al menos una bola blanca.\nTres estudiantes proponen estrategias distintas usando árboles:\n- Álvaro propone dibujar el árbol completo de las tres extracciones ($2^3 = 8$ ramas finales), identificar todos los caminos que contienen una, dos o tres blancas y sumar sus probabilidades.\n- Beatriz propone calcular el evento contrario («ninguna blanca», es decir, tres rojas seguidas) mediante una única rama del árbol y restar su probabilidad a $1$.\n- Carlos propone un «árbol podado»: si en la primera o segunda extracción sale blanca, detiene esa rama (ya es éxito), y solo ramifica cuando sale roja.\na) Desarrolle y calcule la probabilidad pedida utilizando el método de Beatriz y el de Carlos, comprobando que ambos conducen exactamente a la misma fracción irreducible.\nb) Compare con rigor los tres métodos: indique cuántos caminos y multiplicaciones exige calcular cada uno y justifique por qué el método de Álvaro es el menos eficiente y el más expuesto a errores algebraicos.\nc) Si el enunciado pidiera «obtener exactamente dos bolas blancas», ¿seguiría siendo ventajoso el método del evento contrario de Beatriz? Justifique qué método sería el óptimo en ese caso.

Un filtro de seguridad analiza los correos entrantes de una entidad bancaria. Se sabe que el $10\,\%$ de los correos recibidos son fraudulentos (phishing) y el $90\,\%$ son legítimos. El sistema de detección clasifica correctamente como amenaza al $95\,\%$ de los correos que son phishing. Sin embargo, no es infalible con los correos legítimos: existe una probabilidad desconocida $p$ de «falso positivo» (un correo legítimo que el filtro marca erróneamente como amenaza).\nPara no colapsar al equipo de ciberseguridad con falsas alertas, la dirección exige que, cuando el filtro lance una alerta, la probabilidad de que el correo sea efectivamente phishing sea de al menos el $90\,\%$.\na) Modela el problema mediante un diagrama de árbol, dejando la probabilidad $p$ indicada en la rama correspondiente a los falsos positivos.\nb) Obtén la expresión algebraica, en función de $p$, de la probabilidad de que un correo sea phishing sabiendo que el filtro ha lanzado una alerta.\nc) Plantea y resuelve una inecuación para determinar el valor máximo admisible de $p$. Explica por qué, a pesar de que el filtro detecta el $95\,\%$ del phishing, la tasa de falsos positivos $p$ debe mantenerse en un valor extraordinariamente bajo.

Reto del tema. ¿El tiempo de ayer predice el de hoy? Usted va a comprobar con datos reales si la lluvia en su localidad presenta eventos dependientes o independientes.

1. Recolección: Ingrese al sitio web de COPECO o del Servicio Meteorológico Nacional de Honduras (SMN) y registre en una hoja de cálculo la precipitación diaria de su municipio durante los últimos $30$ días. Defina el evento simple $L$: «día con lluvia» ($>0.1$ mm).

2. Análisis: Calcule la probabilidad de $L$ y de su contrario. Contabilice pares de días consecutivos para calcular las probabilidades condicionadas $P(L_2|L_1)$ y $P(L_2|\overline{L}_1)$. Compare los valores con $P(L)$ usando la condición de independencia $P(L_2|L_1)=P(L)$ y razone si su muestra sugiere eventos dependientes o independientes (es una estimación provisional: solo hay $30$ días; si no hay ningún día con lluvia o ninguno sin lluvia, amplíe el periodo).

3. Modelización: Construya un diagrama de árbol con esas probabilidades y calcule la probabilidad del evento compuesto «llover dos días seguidos este fin de semana».

4. Producto: Elabore un informe breve de una página con la hoja de cálculo enlazada, el árbol resuelto y una conclusión razonada sobre la confiabilidad de predecir el clima con este modelo.

Se valorará:

• Cálculo correcto de probabilidades simples y condicionadas a partir de datos reales del SMN de Honduras.

• Justificación matemática razonada de la dependencia o independencia observada en la muestra, reconociendo su carácter provisional.

• Construcción adecuada del diagrama de árbol y resolución del evento compuesto.

• Claridad expositiva y uso correcto de la hoja de cálculo y la notación probabilística.