Ejercicios: Inecuaciones con raíces cuadradas

Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.

Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.

Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.

Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.

Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.

Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.

Marcos intenta resolver la inecuación irracional $\sqrt{2x - 8} \leq -2$. Para ello, escribe en su examen los siguientes pasos:

1) «Elevo ambos miembros al cuadrado: $(\sqrt{2x - 8})^2 \leq (-2)^2 \implies 2x - 8 \leq 4$».

2) «Despejo la incógnita: $2x \leq 12 \implies x \leq 6$».

3) «Calculo el dominio de la raíz: $2x - 8 \geq 0 \implies x \geq 4$».

4) «Intersecto ambas condiciones y la solución es el intervalo $[4, 6]$».

Explica detalladamente qué grave error conceptual ha cometido Marcos en el paso 1, por qué la propiedad de elevar al cuadrado no es aplicable en este caso y cuál es la solución real y justificada de la inecuación sin necesidad de hacer cuentas.

Se plantea la inecuación $\sqrt{25 - x} \leq 3$.

1. a) Antes de resolverla algebraicamente, razona cualitativamente qué tipo de intervalo esperas: ¿acotado por la izquierda, por la derecha o por ambos extremos? Justifícalo analizando qué ocurre con el radicando a medida que $x$ crece y qué limitación impone la existencia de la raíz.
2. b) Realiza una estimación mental evaluando en valores sencillos ($x = 0$, $x = 16$, $x = 25$) para conjeturar si la solución contendrá valores cercanos a $25$ o cercanos a $0$.
3. c) Resuelve la inecuación mediante el procedimiento algebraico formal (dominio y elevación al cuadrado) y comprueba si tu estimación inicial era coherente.

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.

Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.

El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?

Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.

El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.

Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\sqrt{3x + 1} \le 4$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.

La Dirección Nacional de Vialidad y Transporte (DNVT) y los equipos de peritaje vial emplean modelos matemáticos para estimar la velocidad previa al frenado a partir de las marcas de llantas sobre el asfalto. En un tramo mojado de una carretera secundaria hondureña, la velocidad estimada $v$ (en $\text{km/h}$) y la distancia de frenado $d$ (en metros) se relacionan mediante la expresión $v = \sqrt{120 \times d}$.

Tras un incidente, un conductor sostiene que circulaba a una velocidad reglamentaria (es decir, $v \leq 90\text{ km/h}$), mientras que las mediciones de un radar de tramo previo aseguran que su velocidad no era inferior a $60\text{ km/h}$.

1. a) Traduzca esta situación a una inecuación doble con raíces cuadradas en función de la distancia $d$.
2. b) Determine el dominio de validez física y matemática de la expresión.
3. c) Resuelva la inecuación para hallar el intervalo admisible de longitudes de frenada $d$ que harían compatibles ambos testimonios, expresando el resultado en forma de intervalo con números decimales aproximados a las centésimas.

Se desea construir una inecuación de la forma $\sqrt{a \times x + b} < c$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales fijados, de modo que su conjunto de soluciones sea exactamente el intervalo semiabierto $[-3, 5)$.

1. a) Justifica, a partir de las propiedades de las raíces cuadradas, por qué la constante $c$ debe ser estrictamente positiva.
2. b) Sabiendo que $a = 2$, determina de forma razonada los valores que deben tomar los parámetros $b$ y $c$ (exigiendo que $c$ sea un número entero).
3. c) Explica por qué el extremo izquierdo del intervalo solución es cerrado ($-3 \in [-3, 5)$) mientras que el derecho es abierto ($5 \notin [-3, 5)$), relacionando cada uno de ellos con una etapa distinta de la resolución.

Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.

Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.

Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.

Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.

Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno plano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?

Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.

En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.

Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.

Para resolver la inecuación $\sqrt{2x + 5} > x - 5$, dos compañeros de clase proponen estrategias distintas:

• Lucía propone elevar directamente ambos miembros al cuadrado: $2x + 5 > (x - 5)^2$, resolver la inecuación polinómica resultante y cruzar el conjunto solución con el dominio de existencia de la raíz ($2x + 5 \geq 0$).

• Sergio sostiene que el método de Lucía es incorrecto porque el signo de $x - 5$ no es constante. Su método consiste en distinguir dos casos: cuando $x - 5 < 0$ (donde la desigualdad es directa si la raíz existe) y cuando $x - 5 \geq 0$ (donde es lícito elevar al cuadrado), uniendo finalmente las soluciones de ambos casos.

1. a) Demuestra mediante un contraejemplo numérico (eligiendo un valor concreto de $x$) que el método de Lucía omite soluciones válidas.
2. b) Justifica formalmente por qué el método de Sergio es riguroso basándote en el signo de cada miembro y en la monotonía de la función $f(t) = t^2$.
3. c) Desarrolla por completo el método de Sergio y halla el intervalo solución definitivo de la inecuación.

Dada la inecuación con dos raíces $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 1} \leq 2$:

1. a) Determina el dominio conjunto de existencia de la inecuación, razonando por qué la condición debe aplicarse a ambos radicandos simultáneamente.
2. b) Explica por qué transformar la inecuación en $\sqrt{2x + 3} \leq 2 + \sqrt{x - 1}$ antes de elevar al cuadrado es un paso imprescindible para garantizar que ambos miembros sean no negativos y conservar la equivalencia de la desigualdad.
3. c) Resuelve la inecuación aplicando de forma justificada las transformaciones necesarias y expresa el conjunto final de soluciones como un intervalo cerrado cuyos extremos sean números reales exactos (en función de radicales irreducibles).