Ejercicios: Inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:

$3x - 5 < 2x + 4$

Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis:

$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$

Resuelve la siguiente inecuación con denominadores:

$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$

Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."

Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.

Lucía ha resuelto en la pizarra la inecuación $5 - 2x \le 11$ siguiendo estos pasos:

1) Resta $5$ en ambos miembros: $-2x \le 6$.

2) Pasa el $-2$ dividiendo: $x \le \frac{6}{-2}$.

3) Concluye que la solución es $x \le -3$, es decir, el intervalo $(-\infty, -3]$.

Sin embargo, al comprobar con el valor $x = 0$ (que no pertenece a su conjunto solución), observa que $5 - 2\times 0 = 5 \le 11$, lo cual es una desigualdad indudablemente cierta.

1. a) Localiza y explica de forma razonada el error conceptual cometido por Lucía en su desarrollo algebraico.
2. b) Apoyándote en la recta real y en la inversión del orden entre números opuestos, justifica por qué debe invertirse el sentido de la desigualdad al dividir entre una cantidad negativa.
3. c) Determina el conjunto solución correcto tanto en forma de desigualdad como en notación de intervalo.

Para resolver la inecuación $3 - 5x < 18$, dos compañeros de clase plantean dos estrategias distintas:

• Método A (Marcos): Trabaja dejando la incógnita en el miembro izquierdo. Resta $3$ en ambos miembros y luego divide entre $-5$, recordando invertir el sentido de la desigualdad para obtener $x > -3$.

• Método B (Sara): Prefiere evitar dividir entre números negativos. Suma $5x$ a ambos miembros para obtener $3 < 18 + 5x$ y despeja la incógnita hacia el miembro derecho sin alterar el sentido de la desigualdad en ningún momento.

1. a) Desarrolla por completo el procedimiento de Sara (Método B) y comprueba que se alcanza exactamente la misma solución que con el Método A.
2. b) Compara críticamente ambos métodos: ¿qué ventaja ofrece el método de Sara para evitar errores típicos de signo y qué precaución especial exige al redactar el intervalo solución final a partir de la expresión obtenida?

Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $12\,500$ lempiras y producir cada funda cuesta $50$ lempiras. Si cada funda se vende a $125$ lempiras, plantee una inecuación y determine cuántas fundas deben venderse como mínimo al mes para obtener una ganancia de al menos $25\,000$ lempiras.

La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela para determinar a partir de qué temperatura en grados Celsius se superan los $86$ grados Fahrenheit.

Un estudiante de 1º de Bachillerato ha obtenido las siguientes notas en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué nota mínima debe sacar en el cuarto examen para que su nota media sea igual o superior a $7.5$?

Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo $(8, \infty)$.

Una empresa de alquiler de carros (Cía. A) cobra una tarifa fija de $750$ lempiras más $3.75$ lempiras por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $375$ lempiras fijos más $5$ lempiras por kilómetro. Plantee una inecuación para averiguar a partir de cuántos kilómetros resulta más barato alquilar el carro en la Cía. A e interprete el resultado apoyándose en la siguiente gráfica.

Una persona que reside en Comayagua viaja periódicamente a Tegucigalpa por motivos de estudio en autobús interurbano. El pasaje sencillo de ida cuesta $8.40\text{ \text{L}\ }$. Una empresa de transporte ofrece una tarjeta mensual con un costo fijo de pase de $45\text{ \text{L}\ }$, con la cual cada pasaje individual pasa a costar una tarifa reducida de $2.60\text{ \text{L}\ }$.

1. a) Modele la situación planteando una inecuación lineal que permita determinar a partir de qué número de viajes mensuales, $x$, resulta más económico adquirir el pase mensual que comprar pasajes sencillos sueltos.
2. b) Resuelva algebraicamente la inecuación planteada.
3. c) Teniendo en cuenta la naturaleza de la variable (número entero de viajes), interprete el resultado e indique con precisión cuál es el número mínimo de viajes mensuales que justifican la conveniencia económica de comprar el pase.

Dada la inecuación con denominadores:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} \ge \frac{x}{2} - 1$

1. a) Antes de operar algebraicamente, realiza una estimación razonada: evalúa el valor numérico del miembro izquierdo y del miembro derecho para los valores enteros de prueba $x = 0$ y $x = 10$. A partir de estas dos comprobaciones, deduce si esperas que las soluciones de la inecuación correspondan a valores pequeños (menores que una cota) o a valores grandes (mayores que una cota).
2. b) Resuelve la inecuación de manera exacta multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores y expresa el conjunto solución obtenido en forma de intervalo.
3. c) Comprueba si el resultado hallado es coherente con tu estimación inicial del apartado a) y verifica explícitamente si el extremo del intervalo cumple la igualdad correspondiente.

Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.

Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:

$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$

Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $250$ lempiras al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $50$ lempiras por cada GB adicional. La Tarifa Plus cuesta $500$ lempiras al mes e incluye $5$ GB de datos, cobrando $37.50$ lempiras por cada GB adicional. Si un usuario sabe que siempre consume más de $5$ GB al mes, ¿cuántos gigabytes debe consumir como mínimo para que la Tarifa Plus le resulte estrictamente más económica que la Tarifa Plana?

Un ascensor de carga tiene una capacidad máxima de $800$ kg. Un operario que pesa $75$ kg debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ kg cada una. Si el operario siempre debe acompañar a la carga en el ascensor, plantea y resuelve una inecuación para determinar el número máximo de cajas enteras que puede transportar en un solo viaje.

Se desea determinar los parámetros enteros $a$ y $b$ que definen la inecuación lineal:

$\frac{ax + 5}{3} - b < x + 1$

sabiendo que se verifican simultáneamente dos condiciones:

1) Su conjunto de soluciones es exactamente la semirrecta abierta $(-\infty, 4)$.

2) Si se evalúa el primer miembro de la inecuación en $x = 1$, la expresión $\frac{ax + 5}{3} - b$ toma exactamente el valor $1$.

1. a) Deduce algebraicamente el valor de los coeficientes $a$ y $b$ planteando las ecuaciones o relaciones necesarias a partir de la información disponible.
2. b) Explica qué papel fundamental desempeña el signo del coeficiente $(a - 3)$ al despejar $x$ y justifica rigurosamente por qué, con los valores obtenidos, el conjunto solución es $(-\infty, 4)$ y no $(4, +\infty)$.

Considere la inecuación lineal en la incógnita $x$ dependiente del parámetro real $m$:

$m(x - 2) + 3x \le 2m + 5(x - 1)$

1. a) Agrupe términos semejantes y transforme la inecuación a la forma reducida $(m - 2)x \le k(m)$, donde $k(m)$ es un polinomio de grado 1 en $m$.
2. b) Discuta razonadamente el conjunto de soluciones de la inecuación según los diferentes valores reales de $m$. Especifique para qué valores de $m$ la solución es una semirrecta hacia $-\infty$, para cuáles es hacia $+\infty$, y si existe algún valor para el cual la inecuación sea satisfecha por todo número real ($S = \mathbb{R}$) o por ninguno ($S = \emptyset$).
3. c) Un estudiante de bachillerato afirma: «Como para $m = 2$ el coeficiente de $x$ se hace $0$, la inecuación deja de tener sentido y carece por completo de soluciones». Analice de forma crítica dicha afirmación sustituyendo directamente $m = 2$ en la expresión reducida y determine si es verdadera o falsa.