Ejercicios: Inecuaciones de segundo grado

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Resuelve la inecuación incompleta:

$2x^2 - 8x \le 0$

Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:

$3x^2 - 27 < 0$

Halla el conjunto solución de la inecuación:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta:

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita:

$x^2 - 4 \le 0$

$x^2 - x \ge 0$

Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:

$4x^2 - 12x + 9 > 0$

Para resolver la inecuación cuadrática $x^2 \ge 6x$, Marcos escribe en su examen el siguiente razonamiento:

«Divido ambos miembros entre $x$ y obtengo $x \ge 6$. Por lo tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo $[6, +\infty)$».

1. a) Localiza y explica detalladamente el error conceptual cometido por Marcos. ¿Por qué no está permitido dividir una inecuación entre una incógnita sin conocer previamente su signo?
2. b) Corrige el ejercicio resolviendo la inecuación por el procedimiento general (pasar todo al miembro izquierdo, hallar las raíces y estudiar el signo en los tramos resultantes) y expresa el conjunto solución correcto en forma de intervalo.

Construye una inecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c < 0$ que cumpla simultáneamente dos condiciones:

1) Su conjunto de soluciones es exactamente el intervalo abierto $(-4, 1)$.

2) El coeficiente principal es $a = 2$.

1. a) Determina razonadamente los valores numéricos de los coeficientes $b$ y $c$.
2. b) Explica, utilizando el signo de $a$ y la forma de la parábola asociada, por qué el polinomio resultante toma valores estrictamente negativos únicamente en el tramo interior comprendido entre ambas raíces y no hacia el exterior.

La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.

El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de lempiras, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -12.50x^2 + 1\,000x - 8\,750$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Exprese el resultado en forma de intervalo.

Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Ten en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.

Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:

$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$

A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.

Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real:

$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$

El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más $10$ metros, plantea la inecuación correspondiente y deduce qué valores puede tomar el ancho de la pista.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$2x + 5 \ge 1$

Se propone resolver en clase la inecuación cuadrática $4x^2 - 12x + 9 \le 0$. Dos estudiantes eligen estrategias distintas:

• Método 1 (Marcos): Aplica la fórmula general de segundo grado, comprueba que el discriminante es cero, halla la raíz doble $x = 1.5$, divide la recta real en dos intervalos a izquierda y derecha de $1.5$ y evalúa un número de prueba en cada uno para deducir el signo.

• Método 2 (Sara): Reconoce inmediatamente que el polinomio es la identidad notable $(2x - 3)^2$ y deduce la solución directamente razonando sobre las propiedades de los cuadrados en los números reales.

1. a) Explica cómo deduce Sara la solución a partir del producto notable sin necesidad de probar ningún valor numérico.
2. b) Compara la eficacia de ambos métodos y justifica cuál es más ventajoso en este caso.
3. c) ¿Qué habría ocurrido si la inecuación inicial hubiese sido $4x^2 - 12x + 9 < 0$? ¿Y si hubiese sido $4x^2 - 12x + 9 > 0$? Escribe la solución de cada uno de estos dos nuevos casos justificando tu respuesta.

Durante una ola de frío en la provincia de Teruel, la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra que la temperatura $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) a lo largo de un día de invierno depende de la hora solar $t$ (con $t \in [0, 24]$ medido en horas desde las 00:00) según la función cuadrática:

Para evitar que se congelen las conducciones de agua de una explotación ganadera, el sistema automático de calefacción debe activarse mientras la temperatura sea estrictamente negativa ($T(t) < 0$).

1. a) Plantea la inecuación cuadrática correspondiente y resuélvela analíticamente encontrando las raíces y elaborando la tabla de signos.
2. b) Expresa la solución en forma de intervalo respetando el dominio temporal del día, $[0, 24]$.
3. c) Interpreta el resultado obtenido indicando con precisión en qué tramos horarios del día permanecerá encendida la calefacción.

Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.

La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0.2t^2 + 3.2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14,000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantea la inecuación y determina si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.

Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.

Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos:

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$

El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en metros) del centro viene dada por la función $y = 0.005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantea el sistema de inecuaciones y calcula en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.

Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado:

$|x^2 - 4x| \le 5$

Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores:

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$

Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado.

Considera la inecuación cuadrática $(2x - 1)^2 < 3x + 14$.

1. a) Estima: Antes de realizar cualquier transformación algebraica, evalúa mentalmente ambos miembros de la desigualdad en los números enteros $x = -2$, $x = -1$, $x = 2$ y $x = 3$. Con esos datos, deduce entre qué dos enteros consecutivos debe encontrarse la raíz menor y entre qué dos enteros consecutivos debe hallarse la raíz mayor. A partir de ello, aventura una estimación razonada del intervalo solución.
2. b) Resuelve: Pasa todos los términos al miembro izquierdo, reduce el polinomio a la forma $ax^2 + bx + c < 0$, calcula sus raíces exactas mediante la fórmula cuadrática y determina el conjunto solución analíticamente mediante una tabla de signos.
3. c) Comprueba: Utiliza la aproximación $\sqrt{257} \approx 16.03$ para expresar los extremos del intervalo en forma decimal y comprueba si tu estimación del apartado a) era coherente. Por último, explica basándote en la continuidad de las funciones polinómicas por qué el signo del polinomio cuadrático no puede cambiar en ningún punto intermedio entre las dos raíces calculadas.

Se busca determinar de forma unívoca los coeficientes de una inecuación cuadrática de la forma $ax^2 + bx + c \le 0$ a partir de la siguiente información sobre el polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$:

1) El conjunto solución de la inecuación $P(x) \le 0$ es exactamente el intervalo cerrado $[-1, 5]$.

2) El vértice de la parábola asociada a $P(x)$ alcanza un valor mínimo absoluto igual a $-18$.

1. a) Justifica razonadamente el signo del coeficiente principal $a$ a partir de la geometría de la parábola y del hecho de que la solución sea un único intervalo acotado y no la unión de dos semirrectas disjuntas.
2. b) Halla los valores numéricos exactos de $a$, $b$ y $c$.
3. c) Sin realizar cálculos algebraicos adicionales ni confeccionar nuevas tablas de signos, deduce justificadamente el conjunto de soluciones de las siguientes tres inecuaciones:

• $ax^2 + bx + c < -18$

• $ax^2 + bx + c \ge -18$

• $ax^2 + bx + c > 0$