Ejercicios: Inecuaciones con valor absoluto

Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.

Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.

Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es estrictamente menor que $4$". A continuación, determina el conjunto de soluciones.

Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto: $|3x - 1| \leq 5$.

Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.

Resuelve la inecuación $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.

Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala:

1. a) $|x + 4| \leq 0$
2. b) $|2x - 5| < -1$

Resuelve la desigualdad $5 - |x - 2| > 1$.

Una empresa de transporte de medicamentos termolábiles en España debe mantener su camioneta refrigerada dentro del rango de temperaturas $[-2\text{ }^\circ\text{C}, 6\text{ }^\circ\text{C}]$ para no romper la cadena de frío.

1. a) Escriba una inecuación con valor absoluto de la forma $|T - T_0| \leq k$ que modele exactamente este intervalo admisible de temperaturas, identificando qué representan geométricamente $T_0$ (temperatura central) y $k$ (margen de tolerancia) en la recta real.
2. b) Si por una avería puntual en el termostato la sonda registra una temperatura de $7.2\text{ }^\circ\text{C}$, compruebe analíticamente si se cumple la inecuación y calcule la distancia a la que se encuentra respecto de la temperatura óptima $T_0$.

Marcos tiene que resolver en un examen la inecuación $|3x - 9| \leq -3$ y entrega el siguiente desarrollo:

«$-(-3) \leq 3x - 9 \leq -3 \implies 3 \leq 3x - 9 \leq -3$. Sumo 9 a todos los miembros: $12 \leq 3x \leq 6$. Divido entre 3: $4 \leq x \leq 2$. Por tanto, la solución son los números entre 4 y 2».

1. a) Señala dos errores conceptuales graves que comete Marcos: uno en su interpretación inicial del valor absoluto frente a números negativos y otro en el significado de la cadena de desigualdades obtenida.
2. b) Sin realizar ningún cálculo algebraico adicional, deduce cuál es el verdadero conjunto solución de la inecuación y justifica tu respuesta a partir de la definición de valor absoluto como distancia en la recta real.

En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12.5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de $0.15$ mm. Escribe una inecuación con valor absoluto que modele esta situación para la longitud $L$ del chip y resuelve para encontrar el intervalo de longitudes aceptables.

Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.

Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto:

El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7.4$. Para que el agua sea apta para bañarse, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe superar el $5\%$ del valor óptimo. Plantee la inecuación con valor absoluto correspondiente y determine el rango de pH permitido.

Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.

Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el proceso de fundición la temperatura no puede bajar de $130^\circ$C en ningún momento, comprueba matemáticamente si el horno cumple la normativa de seguridad garantizada por su oscilación.

Según datos agronómicos de la AEMET aplicados a la provincia de Jaén, la floración óptima del olivo durante la primavera requiere que la temperatura media diaria $T$ (en $^\circ\text{C}$) cumpla $|T - 18| \leq 4$. Paralelamente, los técnicos alertan de que una plaga endémica prolifera con rapidez únicamente si la temperatura ambiental satisface la condición $|2T - 30| \geq 12$.

1. a) Resuelve ambas inecuaciones de forma analítica y expresa sus soluciones en forma de intervalos.
2. b) Determina el intervalo de temperaturas en el que el olivo se encuentra en condiciones óptimas de floración y, al mismo tiempo, existe riesgo de desarrollo de la plaga.
3. c) Si durante una semana atípica de abril se registra una temperatura media constante de $13.5\text{ }^\circ\text{C}$, razona si el agricultor debe preocuparse por la floración, por la plaga o por ninguna de las dos.

Considera la inecuación con valor absoluto $|2x - 5| \leq x + 1$.

1. a) Estima: Antes de aplicar técnicas algebraicas, analiza el signo del miembro de la derecha ($x + 1$): ¿qué condición mínima debe cumplir $x$ para que la inecuación pueda tener solución? A partir de esa cota y evaluando mentalmente algunos números enteros sencillos ($x = 0, 1, 2, 3, 5, 7$), estima entre qué dos enteros se encontrará el intervalo de soluciones.
2. b) Calcula: Resuelve la inecuación transformándola en la doble desigualdad correspondiente y escribe el intervalo exacto de la solución.
3. c) Comprueba: Contrasta el intervalo obtenido con tu estimación inicial. ¿Están dentro los enteros que habías previsto? Comprueba además qué ocurre numéricamente en los dos extremos del intervalo.

Resuelve la inecuación $|x^2 - 4x| > 3x$. Expresa la solución en forma de unión de intervalos.

Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones combinadas:

Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.

La figura muestra la gráfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en azul) y la recta $y = 6$ (en verde). Puedes usarla para comprobar el resultado que obtengas de forma algebraica.

La celeridad de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la celeridad del vehículo es estrictamente menor que $6$ m/s y calcula la distancia total recorrida en ese intervalo considerando que el vehículo se mueve en línea recta.

Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.

Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro $a$.

En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la inecuación $|d(x)| \leq 1$ para encontrar los valores de $x$ donde la desviación se mantiene dentro de los márgenes tolerables por el instrumento.

Para resolver la inecuación $|x^2 - 2x| \leq |x|$, dos alumnos proponen caminos diferentes:

• Alba: Eleva ambos miembros al cuadrado aprovechando que ambos son no negativos, $(x^2 - 2x)^2 \leq x^2$, y resuelve la inecuación polinómica resultante pasando todo al primer miembro y factorizando por diferencia de cuadrados.

• Bruno: Aplica la propiedad $|a \times b| = |a| \times |b|$ en el miembro izquierdo para extraer el factor $|x|$, analiza de forma aislada qué ocurre si $x = 0$ y, asumiendo $x \neq 0$, divide ambos miembros entre $|x|$ para resolver una inecuación lineal con valor absoluto mucho más simple.

1. a) Desarrolla completamente ambos métodos hasta hallar el conjunto solución.
2. b) Compara los dos procedimientos: ¿cuál consideras más eficiente y menos propenso a errores de cálculo? Justifica tu respuesta.
3. c) Razona por qué el método de elevar al cuadrado de Alba es matemáticamente lícito en esta inecuación, pero resultaría inválido o generaría soluciones falsas si la inecuación inicial hubiese sido $|x^2 - 2x| \leq x$.

Considera la familia de inecuaciones dependientes del parámetro real $m$ dada por:

1. a) Basándote en la interpretación geométrica del valor absoluto como distancia entre puntos de la recta real, explica el significado de la suma $|x - 3| + |x + 1|$ y demuestra razonadamente que su valor mínimo para cualquier $x \in \mathbb{R}$ es 4.
2. b) A partir del razonamiento anterior, determina justificadamente para qué valores de $m$ la inecuación:

1. No tiene ninguna solución real.

2. Tiene como solución un único punto (si consideras que es imposible para cualquier $m$, justifica por qué).

3. Tiene como solución exactamente el intervalo $[-1, 3]$.

1. c) Si fijamos $m = 8$, deduce la longitud y los extremos del intervalo solución apoyándote exclusivamente en la simetría respecto al punto medio del segmento $[-1, 3]$ y en las distancias, sin plantear tablas de signos ni descomponer en tres tramos.