Ejercicios: Tendencia y periodicidad

Observa la gráfica de la siguiente función que describe la altura de una cabina de una noria respecto a su posición central a lo largo del tiempo. Determina su periodo $T$ y, sabiendo que el patrón se repite indefinidamente, calcula el valor de la función en el instante $x = 22$.

Sabiendo que una función $f(x)$ es periódica con un periodo $T = 6$ y que, en el primer ciclo, alcanza un valor de $f(2) = 5$, ¿cuál será el valor de $f(20)$?

La siguiente gráfica muestra la evolución de la temperatura de una taza de café recién servida a lo largo del tiempo. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el tiempo avanza indefinidamente? ¿Cómo se llama matemáticamente a la recta horizontal a la que se aproxima la curva?

Dada la siguiente tabla de valores de una función $g(x)$ obtenida mediante una hoja de cálculo, ¿cuál crees que es su tendencia cuando la variable independiente $x$ tiende a $+\infty$?

Sacamos una lata de refresco de la refrigeradora a $4^\circ\text{C}$ y la dejamos sobre la mesa del comedor, donde la temperatura ambiente se mantiene constante a $23^\circ\text{C}$. ¿A qué temperatura tenderá el refresco si lo dejamos ahí durante varios días sin abrir?

Clasifica los siguientes fenómenos de la vida real según se correspondan con funciones periódicas o no periódicas:

• La estatura de una persona a lo largo de toda su vida.

• El movimiento de la aguja de los minutos en un reloj de pared.

• El saldo disponible en una cuenta corriente a lo largo del año.

• El ciclo de las fases de la Luna.

Una función periódica tiene un periodo $T = 5$. Si conocemos sus valores en el primer ciclo: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ y $f(5) = 1$, calcula de forma razonada el valor de $f(14)$.

El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en vaciar el depósito de riego de una finca agrícola depende del número de bombas de agua idénticas $n$ que se conecten simultáneamente, según la función $t(n) = \frac{120}{n}$. ¿Hacia qué valor tiende el tiempo de vaciado si el número de bombas que utilizamos tiende a infinito?

Una boya oceanográfica situada frente a la costa de Gijón registra la altura del oleaje mediante una función periódica de periodo $T = 6\text{ segundos}$. En el primer ciclo, entre $t = 0\text{ s}$ y $t = 6\text{ s}$, los registros de altura son los siguientes: $f(1) = 1.8\text{ m}$; $f(2) = 2.5\text{ m}$; $f(3) = 1.2\text{ m}$; $f(4) = 0.4\text{ m}$; $f(5) = 0.8\text{ m}$. El técnico en prácticas, David, necesita averiguar la altura del oleaje en el instante $t = 81\text{ s}$. Para ello, divide $81$ entre $6$ con la calculadora y obtiene $13.5$. David concluye en su informe: «Como el resultado es $13.5$, la boya se encuentra en un valor intermedio, así que calculo la media aritmética entre $f(13)$ y $f(5)$».\na) Identifica el error conceptual que comete David al interpretar el cociente decimal de la calculadora en el contexto de una función periódica.\nb) Corrige el razonamiento aplicando la división euclídea entera (cociente y resto) para determinar a qué instante concreto del ciclo fundamental $[0, 6)$ equivale exactamente el segundo $t = 81\text{ s}$.\nc) A partir de tu deducción, indica el valor exacto de la altura del agua en $t = 81\text{ s}$.

En un laboratorio de control de calidad en San Pedro Sula se introduce una pieza metálica recién templada dentro de una cámara de refrigeración. La temperatura de la pieza (en $^\circ\text{C}$) en función del tiempo transcurrido $t$ (en horas) responde a un modelo del tipo:\n$$T(t) = A \times (0.65)^t + C$$\nSe sabe que en el instante de introducir la pieza ($t = 0\text{ h}$) su temperatura es de $320^\circ\text{C}$, y que, si se dejara dentro de la cámara indefinidamente ($t \to \infty$), su temperatura tendería a estabilizarse en la temperatura de reposo del refrigerador, que se mantiene constante a $18^\circ\text{C}$.\na) Deduce razonadamente el valor de las constantes $A$ y $C$ a partir de los datos aportados sobre la tendencia y el valor inicial.\nb) Escribe la fórmula definitiva de $T(t)$ y determine la ecuación de la asíntota horizontal de la función, explicando qué significado físico tiene dicha recta en el proceso industrial.

La famosa noria "London Eye" tiene un diámetro aproximado de $120\text{ m}$. Los pasajeros suben a las cabinas en la parte más baja, que se encuentra prácticamente a ras de suelo ($0\text{ m}$). La noria gira a velocidad constante y tarda exactamente $30\text{ minutos}$ en dar una vuelta completa. ¿Cuál es el periodo de la función que describe la altura de una cabina respecto al tiempo? ¿A qué altura se encontrará un pasajero a los $45\text{ minutos}$ de haber subido si no se ha bajado?

La concentración de un antibiótico en la sangre de un paciente (medida en $\text{mg/L}$) después de $t$ horas desde su administración viene dada por la expresión matemática $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcula la concentración a las $2\text{ horas}$, a las $10\text{ horas}$ y a las $100\text{ horas}$. A partir de estos resultados, ¿cuál es la tendencia de la concentración a largo plazo?

El siguiente gráfico muestra un electrocardiograma (ECG) simplificado de un paciente en reposo. Determina el periodo de la función en segundos y, a partir de este dato, calcula la frecuencia cardíaca del paciente expresada en pulsaciones por minuto (lpm).

La tabla de mareas de un puerto pesquero indica que la primera pleamar (marea alta) del día se produce a las 04:00 de la madrugada y la siguiente bajamar (marea baja) se produce a las 10:15 de la mañana. Suponiendo que el nivel del mar se comporta como una función periódica en la que la subida y la bajada duran lo mismo, ¿cuál es su periodo en horas y minutos? ¿A qué hora exacta se producirá la siguiente pleamar?

Una pequeña fábrica de tenis tiene unos costos fijos diarios de $20\,000\text{ \text{L}\ }$ (alquiler, luz, seguros) y fabricar cada par de tenis tiene un costo de materiales de $125\text{ \text{L}\ }$. El costo medio por tenis al fabricar $x$ pares al día viene dado por la función $C_m(x) = \frac{20\,000 + 125x}{x}$. Calcule el costo medio si se fabrican $10$, $100$ y $5000$ tenis en un día. ¿A qué valor tiende el costo medio si el volumen de producción tiende a infinito?

La población de una especie protegida en una reserva natural se ha modelizado mediante la función $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \times 0.75^t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde el inicio del estudio. ¿Cuál era la población inicial en el año $t=0$? ¿Hacia qué valor tiende la población a largo plazo cuando $t \to +\infty$? ¿Tiene sentido ecológico este límite?

Un faro marítimo de señalización emite un destello de luz intensa que dura exactamente $2\text{ segundos}$, seguido de un periodo de oscuridad total de $7\text{ segundos}$, repitiendo este ciclo de forma ininterrumpida. Si el faro se enciende por primera vez en la noche a las 22:00:00, ¿cuál es el periodo de esta función luminosa? ¿Estará la luz encendida o apagada a las 22:01:15?

Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de agua (en metros) en un depósito industrial automatizado a lo largo del tiempo (en minutos). Determina el periodo de la función y calcula cuál será el nivel exacto de agua en el minuto $t = 86$.

El nivel del agua en la ría de Vigo oscila de manera periódica debido a las mareas, completando un ciclo cada $12\text{ horas}$. En la pleamar (marea alta), a las $t = 0\text{ h}$ y a las $t = 12\text{ h}$, el agua alcanza su cota máxima de $4.5\text{ m}$. En la bajamar (marea baja), a mitad de ciclo ($t = 6\text{ h}$), el nivel desciende hasta su cota mínima de $1.5\text{ m}$.\na) Sin aplicar fórmulas complejas, realiza una estimación razonada de entre qué dos valores estará la altura de la marea a las $t = 27\text{ horas}$ del inicio y determina si en ese instante el agua estará subiendo o bajando. Justifica tu estimación deduciendo cuántos ciclos completos habrán transcurrido y en qué punto del ciclo se encuentra dicho instante.\nb) Sabiendo que la altura se modeliza con la función $h(t) = 3 + 1.5 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{6} t\right)$ (con el ángulo en radianes), calcula el valor exacto de $h(27)$ y comprueba si tu estimación inicial ha sido acertada y coherente con el resultado numérico.

Un informe del Instituto Nacional de Estadística (INE) analiza la despoblación en un pequeño municipio rural de la Serranía de Cuenca. A partir del año 2020 ($t = 0$), el número de habitantes censados se ajusta a la siguiente función con tendencia:\n$$P(t) = 540 \times (0.8)^t + 360$$\ndonde $t$ es el tiempo transcurrido en años y $P(t)$ representa la población total.\na) ¿Cuál era la población del municipio en el año 2020 y cuántos habitantes se prevén para el año 2023?\nb) Analiza la tendencia de la población a muy largo plazo ($t \to \infty$). Justifica matemáticamente hacia qué valor se estabiliza la población apoyándote en el comportamiento de la base $0.8$ al elevarse a exponentes cada vez mayores, e indica la ecuación de la asíntota horizontal.\nc) Un titular de prensa local asegura: «Si la tendencia demográfica no cambia, este municipio acabará quedándose completamente desierto con $0$ habitantes». Rebata matemáticamente esta afirmación basándose en el concepto de asíntota horizontal del modelo.

La siguiente gráfica muestra la altura de un saltador de puenting a lo largo del tiempo, sujeta a la oscilación de la cuerda elástica. Analiza la gráfica y responde: ¿cuál es el "periodo" temporal aproximado entre los dos primeros rebotes? ¿Se puede considerar que es una función estrictamente periódica? ¿Hacia qué valor tiende la altura del saltador cuando el tiempo tiende a infinito y qué representa físicamente ese valor?

Los beneficios mensuales de una empresa emergente (en miles de lempiras) desde su creación están dados por la función racional $B(x) = \frac{ax + 1\,250}{x + 2}$, donde $x$ es el número de meses transcurridos. Si sabemos que en el mes inicial ($x=0$) el beneficio fue de $625\text{ mil \text{L}\ }$ y que, a largo plazo, los estudios de mercado indican que los beneficios tienden a estabilizarse en $3\,000\text{ mil \text{L}\ }$ mensuales, determine el valor exacto del parámetro $a$ y calcule el beneficio esperado para el mes $8$.

En una planta industrial automatizada, la máquina A requiere una parada de mantenimiento cada $45\text{ minutos}$ y la máquina B requiere una parada cada $60\text{ minutos}$. Si ambas máquinas reciben mantenimiento simultáneo a las 08:00 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir exactamente en el mantenimiento? Si definimos una función matemática que vale $1$ cuando ambas máquinas están paradas a la vez y $0$ en el resto del tiempo, ¿cuál es el periodo de dicha función?

Un depósito de $500\text{ L}$ inicialmente vacío se llena con una llave que aporta $20\text{ L/min}$ durante $15\text{ minutos}$. Exactamente en ese momento, la llave se cierra y se abre una válvula de desagüe que vacía el depósito a un ritmo constante de $50\text{ L/min}$ hasta que queda completamente vacío, momento en el cual la válvula se cierra, la llave se abre y el ciclo vuelve a empezar. Dibuje mentalmente la gráfica del volumen de agua frente al tiempo. ¿Cuál es el período completo de este proceso? ¿Qué volumen exacto de agua habrá en el depósito en el minuto $100$?

Sea una función $f(x)$ definida en el intervalo $[0, 4)$ mediante la expresión algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabemos además que la función es periódica con periodo $T = 4$ para cualquier valor de $x \ge 0$, cumpliéndose que $f(x+4) = f(x)$. Basándote en estas propiedades, calcula paso a paso el valor exacto de $f(2019)$.

La temperatura interna de un motor industrial en funcionamiento (medida en $^\circ\text{C}$) sigue la ley matemática $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde el encendido. ¿Cuál es la temperatura en el momento de arrancar el motor? ¿Hacia qué temperatura máxima tiende si el motor funciona de forma ininterrumpida durante semanas? ¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la temperatura interna alcance los $85^\circ\text{C}$?

Un satélite meteorológico orbita la Tierra de forma que pasa exactamente sobre una estación de seguimiento terrestre cada $4\text{ horas y } 15\text{ minutos}$. Si el primer paso de la semana sobre la estación se registra un lunes a las 02:30 de la madrugada, ¿cuántas veces pasará en total sobre la estación a lo largo de toda la semana (hasta el domingo a las 23:59)? ¿Qué día y a qué hora exacta será el último paso registrado en esa semana?

Las ventas diarias estimadas de dos productos competidores, A y B, siguen las siguientes funciones de tendencia con el paso de los días $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ y $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. ¿Hacia qué valores límite tienden las ventas de cada producto a largo plazo? ¿A partir de qué día $t$ las ventas del producto B superan definitivamente a las del producto A?

Un sensor instalado en un aerogenerador de un parque eólico en Albacete registra las vibraciones de una pala mediante una función periódica de periodo $T = 1.25\text{ segundos}$. El equipo de mantenimiento únicamente dispone de la tabla de datos del primer ciclo, correspondiente al intervalo $[0; 1.25)\text{ segundos}$, y necesita evaluar el estado de la pala exactamente en el instante $t = 253.5\text{ segundos}$. Dos analistas proponen métodos diferentes:\n- Método A (Cociente decimal directo): Dividir $253.5$ entre $1.25$ en la calculadora ($253.5 : 1.25 = 202.8$), tomar la parte decimal $0.8$ y multiplicarla por el periodo ($0.8 \times 1.25 = 1.0\text{ s}$) para localizar el punto dentro del primer ciclo.\n- Método B (Agrupación de ciclos en enteros exactos): Observar que el periodo es fraccionario ($T = \dfrac{5}{4}\text{ s}$), por lo que cada $4$ periodos completos transcurren exactamente $4 \times 1.25 = 5\text{ segundos}$. Descomponer $253.5\text{ s}$ separando el mayor múltiplo entero de $5\text{ s}$ para reducir drásticamente el valor antes de hacer la división final.\na) Desarrolla ambos métodos paso a paso. ¿Se obtiene en ambos casos el mismo instante equivalente dentro de $[0; 1.25)$? ¿Cuál es?\nb) Imagina ahora que el sensor se sustituye por otro cuyo periodo exacto es $T = \dfrac{4}{3}\text{ segundos}$ ($1.3333\dots\text{ s}$). Razona cuál de los dos métodos resultaría peligroso debido al redondeo de decimales en la calculadora y justifica cuál deberías elegir para garantizar la máxima precisión matemática.

En el departamento de diseño de un fabricante de automóviles en Martorell (Barcelona) se pone a prueba la amortiguación de un vehículo al superar un resalte. El desplazamiento vertical de la carrocería respecto al chasis, $y(t)$ (en centímetros), oscila arriba y abajo alcanzando crestas sucesivas cada $0.5\text{ segundos}$, pero la altura de dichas crestas disminuye rápidamente hasta que el carro vuelve a su posición de reposo ($y = 0$).\na) Un ingeniero en prácticas afirma: «Dado que el carro sube y baja regularmente cada $0.5\text{ segundos}$, la función que describe el movimiento es periódica con periodo $T = 0.5\text{ s}$». Utilice la definición matemática rigurosa de función periódica, $f(t+T) = f(t)$ para todo $t$ de su dominio, para rebatir su afirmación y demostrar que una oscilación amortiguada nunca puede ser estrictamente periódica.\nb) Construya una función $y(t)$ que modele matemáticamente este comportamiento reuniendo las siguientes tres condiciones simultáneas:\n 1. En el instante del impacto ($t = 0$), el desplazamiento inicial sea $y(0) = 8\text{ cm}$.\n 2. Contenga un factor oscilatorio de la forma $\cos(k \times t)$ cuyo periodo sea de $0.5\text{ segundos}$ (recuerde que el periodo de $\cos(kt)$ es $\dfrac{2\pi}{k}$).\n 3. Su amplitud decaiga hacia la posición de equilibrio mediante un factor de la forma $b^t$ con $0 < b < 1$, de modo que la función tienda a $0$ cuando $t \to \infty$.\nCompruebe algebraicamente que la fórmula que ha diseñado cumple que $y(0) = 8$ y que su límite cuando $t \to \infty$ es efectivamente $0$.