Ejercicios: Tasa de variación, tasa de variación media y tasa de crecimiento

La siguiente tabla muestra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos).

• Para $t = 0$, $T = 15$

• Para $t = 1$, $T = 18$

• Para $t = 2$, $T = 24$

• Para $t = 3$, $T = 32$

• Para $t = 4$, $T = 45$

• Para $t = 5$, $T = 60$

Calcula la Tasa de Variación (TV) y la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[2, 5]$.

Dada la función lineal $f(x) = 4x - 5$, calcule su tasa de variación media en los intervalos $[-2, 1]$ y $[3, 6]$. ¿Qué conclusión puede extraer sobre la tasa de variación media de las funciones lineales?

Calcula la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el intervalo $[1, 4]$.

El gráfico muestra el crecimiento de una planta, donde $h(t)$ es la altura en centímetros y $t$ el tiempo en semanas. A partir de la gráfica, calcula la tasa de variación media de la altura en el intervalo $[1, 4]$.

Un ciclista recorre una distancia dada por la función $d(t) = 3t^2 + 2t$, donde $d$ se mide en metros y $t$ en segundos. Halla la velocidad media del ciclista, que equivale a la tasa de variación media de la posición, entre los instantes $t = 2$ y $t = 5$.

Sabiendo que la tasa de variación media de una función $f(x)$ en el intervalo $[2, 6]$ es igual a $5$, y que $f(2) = 7$, determina el valor de $f(6)$.

Calcula la tasa de variación media de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ en el intervalo $[2, 8]$.

El saldo $S$ (en lempiras) de una cuenta de ahorros en función del tiempo $t$ (en meses) está dado por la expresión $S(t) = 3\,750 + 625t$. Determine la tasa de variación media en el intervalo $[0, 6]$ e interprete el resultado numérico en el contexto del problema.

El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.

Mateo analiza la evolución del censo de un municipio de la provincia de Teruel entre los años 2015 ($t = 0$) y 2023 ($t = 8$). El número de habitantes censados pasó de $2\,400$ a $3\,000$. Para calcular el ritmo medio de cambio anual, Mateo escribe en su examen:

Y afirma en su conclusión: «El municipio creció a un ritmo medio de $0.25$ habitantes por año».

1. a) Identifica el error conceptual que ha cometido Mateo y explica qué magnitud ha calculado realmente en lugar de la tasa de variación media.
2. b) Corrige su resolución calculando la verdadera tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[0, 8]$, indicando e interpretando sus unidades.
3. c) Toma el resultado erróneo de Mateo ($0.25$) e interpreta qué información aporta si se expresa como tasa de crecimiento porcentual (TC).

La estación meteorológica de AEMET en Córdoba registra durante un día de verano las siguientes temperaturas: a las $11:00$ ($t = 11$) el termómetro marca $30\,^{\circ}\text{C}$ y a las $16:00$ ($t = 16$) alcanza la temperatura máxima del día con $42.5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo formal, haga una estimación intuitiva y razonada: ¿cree que la temperatura habrá subido más o menos de $2\,^{\circ}\text{C}$ cada hora por término medio? Justifique su respuesta en una frase a partir de los datos brutos.
2. b) Calcule la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) de la temperatura en el intervalo $[11, 16]$, especificando las unidades de cada resultado.
3. c) Compruebe si su estimación inicial era acertada comparándola con el valor exacto de la TVM y razone: ¿significa este valor promedio que la temperatura subió exactamente esa cantidad en cada una de las cinco horas del intervalo?

Las visualizaciones de un video viral crecen siguiendo el modelo matemático $N(t) = 100 \times 2^t$, donde $N$ es el número de visualizaciones en miles y $t$ se mide en días. Calcule la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Compare los resultados y explique qué indican sobre el ritmo de crecimiento del video.

Determina el valor del parámetro $a$ para que la tasa de variación media de la función cuadrática $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[1, 5]$ sea exactamente igual a $14$.

La siguiente gráfica muestra el número de espectadores $V(t)$, en miles, de las retransmisiones de un torneo de e-sports durante los primeros $5$ meses de la temporada. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. Interpreta el significado de los signos obtenidos en cada caso.

Desde un puente alto se deja caer una piedra. La altura $h$ (en metros) respecto a la superficie del agua en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[1; 2.5]$. ¿Qué magnitud física representa este valor y por qué tiene signo negativo?

Dada la función con radical $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, halla su tasa de variación media en los intervalos $[2, 6]$ y $[6, 14]$.

El volumen $V$ (en litros) de agua en un depósito industrial que se está vaciando viene dado por la función $V(t) = 500 - 10t - t^2$, donde $t$ se mide en minutos. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$. ¿En qué intervalo de tiempo se vacía más rápido el depósito?

Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y utiliza este valor para escribir la ecuación de la recta secante a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos de abscisa $x = 2$ y $x = 5$.

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 600\,000 \times 0.85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en lempiras. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explique el significado práctico de su signo.

El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses transcurridos ($t=0$ es el inicio de junio, $t=1$ es el inicio de julio, etc.). Calcula la tasa de variación media entre el inicio de junio y el inicio de agosto ($t=2$) y la tasa de crecimiento porcentual en ese mismo periodo.

El precio de un producto tecnológico era de $20\,000$ lempiras en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $16\,000$ lempiras. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcula la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.

El costo total de transporte (en lempiras) que factura una empresa de logística en función de la distancia del envío $x$ (medida en decenas de kilómetros, con $x \ge 0$) viene dado por la función $C(x) = 0.5x^2 + 2x + 10$.

1. a) Un transporte parte de la central ($x = 0$) con destino a un punto situado a una distancia desconocida $b$ decenas de kilómetros. Sabiendo que la tasa de variación media del costo en ese tramo ha sido de $5$ lempiras por decena de kilómetro (es decir, $\text{TVM}[0, b] = 5$), plantee la ecuación correspondiente y calcule el valor exacto de $b$.
2. b) Otro cliente solicita un flete entre dos almacenes situados en las posiciones $x = 3$ y $x = k$ (con $k > 3$). El cliente afirma que en ese tramo la tasa de variación media ha sido de solo $3$ lempiras por decena de kilómetro ($\text{TVM}[3, k] = 3$). Demuestre algebraicamente que es imposible encontrar un valor $k > 3$ que cumpla dicha condición y explique geométricamente por qué la forma de la parábola impide una pendiente tan baja en esa zona.

A partir de datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), el precio medio del metro cuadrado de vivienda en dos comunidades autónomas evolucionó de la siguiente forma entre los años 2014 ($t = 0$) y 2024 ($t = 10$):

• En Extremadura pasó de $800$ lempiras/m$^2$ a $1\,200$ lempiras/m$^2$.

• En la Comunidad de Madrid pasó de $2\,200$ lempiras/m$^2$ a $3\,000$ lempiras/m$^2$.

1. a) Modele la evolución calculando la tasa de variación media (TVM) del precio en cada comunidad en el periodo $[0, 10]$. ¿En cuál de las dos creció el precio a mayor ritmo anual absoluto?
2. b) Calcule la tasa de crecimiento (TC) porcentual en ese mismo decenio para ambas comunidades. ¿Cuál experimentó un encarecimiento relativo mayor respecto a su nivel de partida?
3. c) Dos medios de comunicación titulan la noticia de forma distinta: el diario A publica «Madrid duplica el ritmo anual de subida del precio de la vivienda respecto a Extremadura», mientras que el diario B titula «La vivienda en Extremadura se encarece en la última década a un ritmo porcentual muy superior al de Madrid». Explique qué indicador matemático (TVM o TC) respalda a cada titular y argumente por qué ninguno de los dos periódicos está mintiendo.

Obtén la expresión algebraica simplificada para la tasa de variación media de la función $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, donde $h > 0$.

La distancia de frenado $d$ (en metros) de un vehículo en función de su velocidad $v$ (en km/h) se modeliza mediante la función $d(v) = 0.005v^2 + 0.2v$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[40, 60]$ y $[100, 120]$. Explica razonadamente por qué el incremento promedio de la distancia de frenado es mucho mayor a altas velocidades.

El gráfico muestra la distancia al punto de partida $d(t)$ en km de un ciclista a lo largo de un entrenamiento de $5$ horas. Calcula la tasa de variación media en el intervalo completo $[0, 5]$ y justifica, analizando la gráfica, en qué intervalo de una hora el ciclista alcanzó la mayor velocidad instantánea.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la tasa de variación media de $f(x)$ en el intervalo $[1, 5]$ es igual a $4$.

El número de seguidores $S$ (en miles) de un canal de videos en función del número de videos publicados $x$ sigue el modelo $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcule la tasa de variación media en los intervalos $[10, 20]$ y $[40, 50]$. Interprete a partir de los resultados obtenidos el fenómeno de que cada nuevo video aporta cada vez menos seguidores nuevos.

Un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo de base $10$ cm y altura $8$ cm, apoyando dos de sus lados sobre los catetos. El área del rectángulo en función de su base $x$ viene dada por la expresión $A(x) = x(8 - 0.8x)$. Calcula la tasa de variación media del área en los intervalos $[2, 4]$ y $[6, 8]$. Interpreta el cambio de signo de la tasa de variación media en este contexto geométrico.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula y compara la tasa de variación media en los intervalos $[1, 2]$ y $[-2, -1]$. Justifica analíticamente por qué se obtiene el mismo resultado utilizando la simetría impar de la función.

Una función $f(x)$ tiene la propiedad de que su tasa de variación media en cualquier intervalo $[a, b]$ es siempre constante e igual a $-4$. Si se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(3, 10)$, determina la expresión analítica de $f(x)$ y calcula el valor exacto de $f(8)$.

La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en metros y $t$ en segundos). Encuentra el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ m/s.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del $-60\%$. ¿Depende el resultado final del valor inicial de $k$? Razona tu respuesta algebraicamente.

Dos amigos comparan el crecimiento de sus canales de video. El canal A gana seguidores según el modelo lineal $S_A(t) = 100t + 500$, y el canal B según el modelo exponencial $S_B(t) = 100 \times 1.5^t$ (donde $t$ se mide en días y $S$ en seguidores). Calcule la tasa de crecimiento porcentual de ambos canales en el intervalo $[2, 4]$ y determine cuál experimenta un crecimiento relativo mayor en ese período.

Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcula la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos, demuestra algebraicamente que para cualquier intervalo de la forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$), la tasa de crecimiento porcentual de esta función es siempre constante.

El volumen de agua restante (en metros cúbicos) en una balsa de riego agrícola en Murcia tras abrir una compuerta de drenaje se modeliza mediante la función $V(t) = 100 - 5t - t^2$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde la apertura ($0 \le t \le 7$). Se necesita determinar la rapidez instantánea con la que sale el agua justo en el instante $t = 2$ horas, para lo cual se proponen dos procedimientos:

• Método A (Aproximación numérica mediante TVM sucesivas): Calcular la TVM en intervalos de tiempo cada vez más pequeños a partir de $t = 2$, en concreto $[2; 2.5]$ y $[2; 2.1]$, y observar la tendencia.

• Método B (Cálculo algebraico genérico): Plantear la expresión $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ con un incremento genérico $h > 0$, simplificar algebraicamente la fracción y deducir el valor cuando $h$ tiende a cero ($h \to 0$).

1. a) Aplica el Método A: calcula las dos TVM numéricas y formula una conjetura sobre cuál es la velocidad instantánea de vaciado a las $2$ horas.
2. b) Aplica el Método B: desarrolla $V(2+h)$, simplifica la fracción eliminando la indeterminación que genera la variable $h$ y obtén el valor exacto cuando $h \to 0$.
3. c) Compara ambos métodos y justifica cuál de ellos aporta una demostración matemática rigurosa frente a una intuición y cuál resultaría más eficiente si un ingeniero tuviera que programar el cálculo de la velocidad instantánea para muchos instantes distintos.

La potencia generada (en megavatios, MW) durante las primeras horas de un temporal por un parque eólico sigue el modelo lineal $P_1(t) = 2t + 4$, mientras que una central hidroeléctrica modulable que arranca durante el mismo temporal sigue el modelo cuadrático $P_2(t) = t^2 - 2t + 4$, donde $t$ se mide en horas ($0 \le t \le 6$).

1. a) Comprueba que en el intervalo global $[0, 4]$ ambas instalaciones presentan exactamente la misma tasa de variación media ($\text{TVM}[0, 4] = 2\text{ MW/h}$). Razona si esto significa que ambas aumentaron su producción al mismo ritmo en todo momento; para ello, analiza el comportamiento real de $P_2(t)$ entre $t = 0$ y $t = 1$ y compáralo con el de la recta secante.
2. b) Determina algebraicamente para qué instante $b > 2$ la tasa de crecimiento de la central hidroeléctrica en el intervalo $[0, b]$ es exactamente del $200\,\%$ ($\text{TC}_2[0, b] = 2$). Calcula la TVM en ese tramo y explica cómo se relacionan la TVM, la TC y el valor inicial $P_2(0)$.
3. c) Se quiere averiguar a partir de qué momento el incremento horario de la hidroeléctrica supera con claridad al eólico. Plantea y resuelve una inecuación con las tasas de variación media en un intervalo genérico de una hora $[a, a+1]$ para determinar a partir de qué hora $a$ se cumple que $\text{TVM}_2[a, a+1] - \text{TVM}_1[a, a+1] > 3\text{ MW/h}$.