Ejercicios: Crecimiento, máximos y mínimos

A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina los intervalos donde la función es estrictamente creciente y donde es estrictamente decreciente.

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y escribe las coordenadas exactas de los puntos marcados como A, B y C. Indica para cada uno de ellos si se trata de un máximo o un mínimo relativo. ¿Hay algún extremo que sea también absoluto en el dominio representado?

Calcule la Tasa de Variación Media (TVM) de la función lineal $f(x) = 4x - 7$ en el intervalo $[-2, 3]$. A partir del resultado obtenido, ¿qué puede afirmar sobre el crecimiento de la función en dicho intervalo?

La siguiente tabla de valores muestra la altitud $h$ (en metros) de un globo sonda meteorológica en función del tiempo $t$ (en segundos) desde su lanzamiento.

Calcula la TVM en los intervalos $[0, 2]$ y $[4, 6]$. Basándote en estos resultados, ¿la función altitud es creciente o decreciente en esos tramos?

Dada la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, sin necesidad de representarla gráficamente ni calcular sus coordenadas, si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. Justifica tu respuesta fijándote en el signo de los coeficientes de la función.

Considera la función $f(x) = x^2 - 9$. Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[-4, -1]$ y en el intervalo $[1, 4]$. Relaciona el signo de cada resultado con el comportamiento (creciente o decreciente) de la función en esos dos tramos.

Dibuja en tu cuaderno una gráfica continua cuyo dominio sea todo $\mathbb{R}$, que sea estrictamente creciente en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(3, +\infty)$, y estrictamente decreciente en el intervalo $(-2, 3)$. Según tu dibujo, ¿qué tipo de extremos relativos (máximo o mínimo) habrá en las abscisas $x = -2$ y $x = 3$?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La temperatura de un horno industrial arranca a $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante los primeros $15$ minutos sube uniformemente hasta alcanzar los $220 \ ^\circ\text{C}$. Se mantiene a esa temperatura constante durante $45$ minutos para hornear unas piezas, y luego se apaga, descendiendo la temperatura uniformemente hasta los $20 \ ^\circ\text{C}$ a lo largo de $30$ minutos. Indica los intervalos de tiempo de crecimiento, decrecimiento y constancia de la temperatura, así como el valor máximo absoluto alcanzado por la función.

Marcos está analizando la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, que describe la altura en metros de un patinador en una pista cóncava según su posición horizontal $x$. Tras realizar sus cálculos, Marcos halla las coordenadas del vértice, que son $(3, -4)$, y escribe la siguiente conclusión en su libreta: «Como las ramas van hacia arriba, la función tiene un mínimo relativo de valor $x = 3$. Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo $(-\infty, -4)$ y creciente en $(-4, +\infty)$». Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Marcos al interpretar las coordenadas del vértice, explica detalladamente por qué se producen estas confusiones habituales y redacta la respuesta correcta indicando el valor del mínimo y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Según los registros de una estación meteorológica de AEMET en la sierra, la temperatura $T$ (en grados Celsius) durante una mañana viene dada por el modelo $T(t) = -0.2t^2 + 2.4t + 3$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde las 6:00 ($t = 0$) hasta las 12:00 ($t = 6$). a) Sin calcular valores concretos todavía, observa la forma de la parábola y su vértice: ¿esperas que la tasa de variación media $\text{TVM}[0, 2]$ (de 6:00 a 8:00) sea mayor, igual o menor que la $\text{TVM}[4, 6]$ (de 10:00 a 12:00)? Justifica cualitativamente tu predicción física y gráfica. b) Calcula con exactitud ambas tasas de variación media, interpretando sus unidades ($^\circ\text{C}/\text{h}$), y comprueba si tu estimación inicial era correcta.

La altura $h$ (en metros) que alcanza un cohete de feria en función del tiempo $t$ (en segundos) desde su lanzamiento viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcula en qué instante de tiempo el cohete alcanza su altura máxima y cuál es el valor exacto de dicha altura.

La siguiente gráfica muestra los suscriptores mensuales $S(t)$ (en miles) de una revista digital durante su primer año de existencia ($t$ en meses, desde $t=0$ hasta $t=12$). Identifica los intervalos en los que el número de suscriptores crece y decrece. ¿En qué meses se alcanzan los máximos y mínimos relativos?

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 6]$. Comprueba que, aunque los valores numéricos de la TVM son diferentes en cada intervalo, ambos resultados justifican el comportamiento decreciente de la función en el intervalo $(0, +\infty)$.

Considera la función $f(x)$ definida a trozos de la siguiente manera:

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Halla las coordenadas del vértice del tramo parabólico y determina si la función presenta algún mínimo relativo o absoluto en todo su dominio.

El número de individuos $N$ de una población de insectos en un experimento de laboratorio varía en función de los días $t$ transcurridos según el modelo cuadrático $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, válido para $t \ge 0$. Determina en qué día la población de insectos alcanza su valor mínimo y cuántos individuos conforman la población en ese momento exacto.

La gráfica adjunta representa la velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo a lo largo de un trayecto en función del tiempo $t$ (en minutos). Indica los intervalos de tiempo en los que el vehículo acelera (velocidad creciente), frena (velocidad decreciente) o mantiene una velocidad constante. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada en el trayecto y durante cuánto tiempo se mantiene?

Representa en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es el intervalo $[-5, 6]$.

• Su recorrido es el intervalo $[-2, 5]$.

• Es estrictamente creciente en $[-5, -1] \cup [3, 6]$ y estrictamente decreciente en $[-1, 3]$.

• Pasa por los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$.

¿Qué representan matemáticamente los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$ en la gráfica de esta función?

Un excursionista registra la altitud $h$ a la que se encuentra en diferentes momentos $t$ de su ruta por la montaña:

Calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$, $[2, 4]$ y $[4, 5]$. A partir de los signos de estos resultados, deduce en qué momento aproximado el excursionista alcanzó la cima de la primera montaña que subió y cuándo terminó de descender al valle antes de volver a subir.

Determina razonadamente la expresión algebraica de una función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ que cumpla simultáneamente tres condiciones: 1) presenta un extremo absoluto en el punto $V(2, 5)$; 2) es estrictamente creciente en el intervalo $(-\infty, 2)$ y estrictamente decreciente en $(2, +\infty)$; 3) corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 1)$. Justifica cómo deduces el signo del coeficiente principal $a$, cómo utilizas la fórmula del vértice o la forma canónica de la parábola para plantear las ecuaciones necesarias y halla los valores exactos de los coeficientes $a$, $b$ y $c$.

El consumo de combustible $C(v)$ (en litros a los $100\text{ km}$) de un carro al circular por carretera a una velocidad constante $v$ (en $\text{km}/\text{h}$, para $60 \le v \le 140$) se modela mediante la función cuadrática $C(v) = 0.001v^2 - 0.18v + 12.6$. a) Modele la conducción más económica: calcule a qué velocidad de crucero el consumo de combustible es mínimo y cuál es el valor exacto de dicho consumo mínimo. b) A partir de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, justifique por qué circular a $120\text{ km}/\text{h}$ consume más que circular a $90\text{ km}/\text{h}$. Calcule la tasa de variación media $\text{TVM}[90, 120]$ e interprete su significado práctico explicando cuántos litros extra consume el carro por cada $\text{km}/\text{h}$ que se supera la velocidad óptima en ese tramo.

Se dispone de $60$ metros de valla metálica para cercar un huerto rectangular aprovechando la pared recta de un granero, por lo que solo es necesario vallar tres de sus lados. Si llamamos $x$ a la longitud de los dos lados perpendiculares a la pared del granero, encuentra la función cuadrática $A(x)$ que expresa el área del huerto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones exactas del huerto para que su área sea la máxima posible?

El beneficio $B(x)$, en lempiras, que obtiene una fábrica por la venta de $x$ unidades de un producto exclusivo viene dado por la función cuadrática con parámetros $B(x) = -ax^2 + bx - 12\,500$. Se sabe mediante un estudio de mercado que el beneficio máximo se alcanza al vender exactamente $40$ unidades y que dicho beneficio máximo es de $27\,500$ lempiras. Plantee un sistema de ecuaciones y calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$.

La siguiente gráfica corresponde a una función polinómica de grado 4, $f(x)$, que presenta una forma de "W". A partir de la observación de la gráfica, estima las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos). A continuación, sabiendo que la función es perfectamente simétrica respecto al eje Y (es una función par), razona y demuestra si la Tasa de Variación Media en el intervalo simétrico $[-3, 3]$ será positiva, negativa o nula.

Dada la función racional con un parámetro desconocido $f(x) = \frac{k}{x+2}$, halla el valor exacto de $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[0, 2]$ es igual a $-1$. Una vez hallado el valor de $k$, justifica algebraicamente si la función es creciente o decreciente en todo el intervalo $(-2, +\infty)$.

El consumo de energía $C(v)$ (en kWh por cada 100 km) de un nuevo vehículo eléctrico en función de su velocidad constante $v$ (en km/h) se puede modelizar de forma aproximada mediante la expresión cuadrática $C(v) = 0.02v^2 - 1.6v + 45$, válida para velocidades en el rango de $20$ a $100$ km/h. ¿A qué velocidad exacta debe circular el vehículo para que el consumo de energía sea el mínimo posible? ¿Cuál es ese consumo mínimo?

Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabiendo que la parábola interior $y = x^2 - 6x + 5$ corta al eje de abscisas en $x=1$ y $x=5$, expresa $f(x)$ como una función definida a trozos sin usar el símbolo de valor absoluto. A continuación, halla las coordenadas de los tres extremos relativos de $f(x)$ e indica sus intervalos de monotonía.

Dos barcos de rescate parten del mismo punto en alta mar al mismo tiempo. El barco A viaja en línea recta hacia el Norte a una velocidad constante de $20$ km/h, y el barco B viaja hacia el Este a una velocidad constante de $15$ km/h. La distancia al cuadrado entre ambos barcos en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la función $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Demuestra algebraicamente que la distancia real entre ellos es una función estrictamente creciente para cualquier tiempo $t > 0$ calculando la Tasa de Variación Media genérica en un intervalo $[t_1, t_2]$ (con $0 < t_1 < t_2$).

La gráfica adjunta no representa una función $f(x)$ normal, sino que representa el valor de su Tasa de Variación Instantánea (o ritmo de crecimiento) en cada punto $x$. Es decir, si la gráfica mostrada está por encima del eje X, la función original $f(x)$ crece; si está por debajo, decrece. A partir de esta gráfica, deduce en qué intervalos la función original $f(x)$ es creciente y decreciente. ¿En qué valor exacto de $x$ alcanzará $f(x)$ un extremo relativo? Justifica si se trata de un máximo o de un mínimo.

Considera la función definida a trozos: $f(x) = 3 - x^2$ si $x \le 1$, y $f(x) = 4x - 2$ si $x > 1$. Dos estudiantes discuten sobre si existe un extremo relativo en el punto de empalme $x = 1$: Sergio calcula los vértices de cada tramo por separado; como el primer tramo tiene el vértice en $x = 0$ y el segundo es una recta sin vértice, afirma que en $x = 1$ no puede haber ningún extremo. Nuria propone comprobar primero si la función es continua en $x = 1$ y después analizar el signo del crecimiento a la izquierda y a la derecha inmediata de $x = 1$. a) ¿Cuál de los dos métodos es el matemáticamente riguroso? Explica con precisión el fallo del método de Sergio a partir de la definición de extremo relativo en un entorno. b) Aplica el método válido para clasificar razonadamente qué ocurre en $x = 1$ (máximo relativo, mínimo relativo o ninguno).

Diseñe la expresión analítica completa de una función a trozos $g(x)$, continua en todo $\mathbb{R}$, formada exclusivamente por dos rectas (funciones afines) de la forma: $g(x) = m_1 x + n_1$ si $x < 3$, y $g(x) = m_2 x + n_2$ si $x \ge 3$, que satisfaga a la vez las siguientes tres condiciones: 1) En $x = 3$ la función alcanza un máximo relativo de valor $g(3) = 4$. 2) La tasa de variación media en el intervalo $[-1, 3]$ es exactamente $2$. 3) A la derecha de $x = 3$, la función decrece el doble de rápido de lo que crece a su izquierda. Calcule de manera justificada los coeficientes $m_1$, $n_1$, $m_2$ y $n_2$. Por último, explique por qué en $x = 3$ aparece un máximo relativo a pesar de que ninguna función lineal o afín posee extremos relativos por sí misma.