Ejercicios: Tablas de frecuencias

Clasifique las siguientes variables estadísticas indicando si son cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

• Color de los ojos de los alumnos de una clase.

• Número de goles marcados por un equipo de fútbol en una temporada.

• Tiempo que tardan los corredores en completar una maratón.

• Marca de celular de los profesores de un colegio.

En una floristería se ha anotado el número de rosas vendidas en cada uno de los últimos $15$ días, obteniendo los siguientes datos en bruto:

$12, 15, 12, 14, 15, 12, 13, 14, 15, 12, 14, 13, 15, 12, 14$

Construye la tabla de frecuencias absolutas ($f_i$) y relativas ($h_i$) correspondiente a esta variable.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un estudio sobre el tipo de transporte utilizado para ir al trabajo, la frecuencia relativa de los encuestados que usan el metro es $0.35$. Si el estudio se ha realizado a un total de $N = 400$ personas, calcula la frecuencia absoluta de este grupo.

Dada la siguiente tabla de frecuencias absolutas sobre el número de mascotas que tienen $20$ familias, calcula y añade la columna de frecuencias absolutas acumuladas ($F_i$).

• $x_i = 0 \implies f_i = 5$

• $x_i = 1 \implies f_i = 8$

• $x_i = 2 \implies f_i = 4$

• $x_i = 3 \implies f_i = 3$

Una alcaldía quiere conocer la opinión de sus $50\,000$ habitantes sobre la construcción de un nuevo parque urbano. Para ello, realiza una encuesta telefónica a $1\,200$ residentes elegidos al azar. Identifique claramente cuál es la población, cuál es la muestra, quién es el individuo y cuál es el tamaño de la muestra.

La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas ($h_i$) del número de hermanos de los alumnos de un colegio. Calcula las frecuencias relativas acumuladas ($H_i$) y exprésalas también como porcentaje acumulado ($P_i$).

• $x_i = 0 \implies h_i = 0.25$

• $x_i = 1 \implies h_i = 0.45$

• $x_i = 2 \implies h_i = 0.20$

• $x_i = 3 \text{ o más} \implies h_i = 0.10$

Un alumno ha construido una tabla de frecuencias relativas para las notas de un examen y ha obtenido los siguientes valores para las distintas calificaciones: $0.15$; $0.25$; $0.35$; $0.30$. Sin necesidad de conocer el número total de alumnos, explica por qué se puede afirmar con total seguridad que el alumno ha cometido un error en sus cálculos.

Completa la siguiente tabla de frecuencias sabiendo que el total de datos es $N=50$.

• $x_i = 1 \implies f_i = 10$

• $x_i = 2 \implies f_i = x$

• $x_i = 3 \implies f_i = 15$

• $x_i = 4 \implies f_i = 5$

Calcula el valor de la incógnita $x$ y determina la frecuencia relativa del valor $x_i = 2$.

Lucía ha realizado una encuesta a los $40$ estudiantes de su curso sobre el número de libros que han leído en el último trimestre. Al presentar su tabla de frecuencias en clase, comete dos errores notorios en su hoja de cálculo:

• En la fila del valor $x_2 = 1$ libro, cuya frecuencia absoluta es $f_2 = 14$ y cuya frecuencia absoluta acumulada es $F_2 = 22$, escribe como frecuencia relativa acumulada $H_2 = \frac{14}{40} = 0.35$.

• Al final de la columna de frecuencias absolutas acumuladas ($F_i$), suma todos los valores de las filas ($8 + 22 + 33 + 38 + 40 = 141$) y escribe abajo: «Total acumulado $= 141$ personas encuestadas».

Identifica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Lucía, explica por qué su razonamiento es incorrecto y calcula los valores numéricos correctos que deberían sustituir a sus anotaciones.

En un instituto de $200$ alumnos de 4.º de ESO se realiza un estudio sobre el medio de transporte principal que utilizan para acudir a clase. El recuento arroja los siguientes datos: Caminando ($f_1 = 96$), Autobús ($f_2 = 54$), Bicicleta/Patinete ($f_3 = 36$) y Coche particular ($f_4 = 14$).

1. a) Sin hacer divisiones largas ni usar calculadora, realiza una estimación mental rápida del porcentaje ($p_i$) que representa cada modalidad aprovechando que el tamaño total de la muestra es $N = 200$. Explica en una frase qué razonamiento o estrategia mental has seguido para estimarlos.
2. b) Calcula a continuación los valores exactos de las frecuencias relativas ($h_i$) y de los porcentajes ($p_i$) para cada medio de transporte.
3. c) Compara tus estimaciones con los valores calculados y comprueba si la suma de las frecuencias relativas y la de los porcentajes cumplen las propiedades fundamentales que exige toda tabla de frecuencias.

Agrupa los siguientes pesos (en kg) de $20$ paquetes de una empresa de mensajería en $4$ intervalos de igual amplitud, comenzando en $2.0$ kg y terminando en $10.0$ kg. Construye la tabla de frecuencias indicando los intervalos, las marcas de clase ($x_i$) y las frecuencias absolutas ($f_i$).

Datos: $2.5$; $3.1$; $4.8$; $5.2$; $2.9$; $6.5$; $7.4$; $8.8$; $9.1$; $4.5$; $5.5$; $6.2$; $3.8$; $7.1$; $8.2$; $9.5$; $4.2$; $5.9$; $6.8$; $7.7$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Completa la siguiente tabla de frecuencias en la que faltan algunos datos. Se sabe que el tamaño de la muestra es $N = 40$.

• $x_i = 10 \implies f_i = 8$, $F_i = 8$, $h_i = 0.20$

• $x_i = 20 \implies f_i = ?$, $F_i = 20$, $h_i = ?$

• $x_i = 30 \implies f_i = 14$, $F_i = ?$, $h_i = ?$

• $x_i = 40 \implies f_i = ?$, $F_i = 40$, $h_i = 0.15$

El siguiente diagrama de barras muestra el número de libros leídos durante el verano por un grupo de estudiantes. A partir de la información visual del gráfico, construye la tabla completa indicando las frecuencias absolutas ($f_i$), las frecuencias relativas ($h_i$) y los porcentajes ($p_i$).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un estudio bidimensional se ha preguntado a $10$ personas por su número de calzado ($X$) y su número de hermanos ($Y$). Los pares $(X,Y)$ obtenidos son los siguientes:

$(38, 1), (40, 2), (39, 1), (40, 1), (38, 2), (41, 0), (39, 2), (40, 1), (41, 1), (39, 1)$

Construye la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas para estas dos variables.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

A partir de la siguiente tabla de doble entrada, extrae la tabla de distribución marginal de la variable $X$ (número de calzado), indicando sus frecuencias absolutas ($f_i$) y sus frecuencias relativas ($h_i$):

Una empresa clasifica el salario mensual de sus empleados en intervalos. Sabiendo que el $15\%$ cobra entre $25\,000$ y $37\,500$ lempiras, el $45\%$ cobra entre $37\,500$ y $50\,000$ lempiras, el $30\%$ cobra entre $50\,000$ y $62\,500$ lempiras, y los $12$ empleados restantes cobran entre $62\,500$ y $75\,000$ lempiras.

Calcule el número total de empleados de la empresa y construya la tabla completa de frecuencias absolutas para los salarios.

Al analizar las calificaciones de un examen de Matemáticas evaluado sobre $10$, se observa que la frecuencia relativa acumulada hasta la nota $6$ (incluida) es de $H_6 = 0.65$. Si en la clase hay $80$ alumnos en total, ¿cuántos alumnos han sacado una nota estrictamente superior a $6$? ¿Qué porcentaje representan sobre el total de la clase?

Se dispone de un conjunto de $150$ datos continuos sobre la duración (en horas) de ciertas baterías industriales. Utiliza la regla empírica de la raíz cuadrada ($\sqrt{N}$) para determinar el número aproximado de intervalos de clase recomendados. Si el valor mínimo registrado es $12$ horas y el máximo es $87$ horas, calcula la amplitud que debería tener cada intervalo (redondeando al entero superior) y escribe cuáles serían dichos intervalos empezando a contar desde el valor mínimo.

En una encuesta de valoración sobre una aplicación educativa, $50$ usuarios han otorgado una puntuación entera del $1$ al $5$ ($x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$). La persona responsable de elaborar el informe ha extraviado la lista con las respuestas originales, pero conserva las siguientes notas en su cuaderno de trabajo:

• El $10\,\%$ de los usuarios puntuó con $1$ estrella.

• La frecuencia relativa de la puntuación de $2$ estrellas es $h_2 = 0.24$.

• La frecuencia absoluta acumulada hasta $4$ estrellas inclusive es $F_4 = 41$.

• El número de personas que valoraron con $3$ estrellas duplica exactamente al número de personas que valoraron con $4$ estrellas ($f_3 = 2 \times f_4$).

A partir de estas condiciones, reconstruye de forma razonada la tabla de frecuencias completa, deduciendo paso a paso el valor de cada frecuencia absoluta ($f_i$) y de cada frecuencia acumulada ($F_i$).

Una estación meteorológica de la AEMET en una comarca agrícola ha registrado durante $25$ días de primavera el número de horas de insolación diaria (radiación solar directa):

$3.2$; $5.8$; $7.1$; $4.5$; $8.4$; $6.0$; $9.2$; $5.1$; $7.8$; $10.4$; $4.0$; $6.6$; $8.1$; $7.4$; $5.5$; $9.8$; $6.9$; $8.7$; $7.0$; $11.1$; $4.8$; $6.3$; $8.9$; $7.6$; $10.0$.

1. a) Siguiendo el criterio habitual para datos continuos, determina el número de intervalos recomendado ($k \approx \sqrt{N}$) y calcula la amplitud constante $c$ necesaria si se fija como límite inferior inicial $3.0$ horas y una amplitud exacta de $1.7$ horas por intervalo.
2. b) Construye la tabla de frecuencias agrupadas en intervalos semiabiertos $[a, b)$, indicando la marca de clase ($x_i$), la frecuencia absoluta ($f_i$), la frecuencia relativa ($h_i$) y la frecuencia relativa acumulada ($H_i$) de cada clase.
3. c) A partir de la tabla obtenida, determina qué porcentaje de los días analizados la insolación fue estrictamente inferior a $8.1$ horas y explica brevemente la utilidad de las marcas de clase a la hora de sintetizar información continua.

Una tabla de frecuencias absolutas tiene $4$ valores distintos: $x_1, x_2, x_3, x_4$. Se sabe que las frecuencias absolutas dependen de una incógnita $x$ de la siguiente manera:

$f_1 = 2x$, $f_2 = x + 5$, $f_3 = 3x - 2$ y $f_4 = 5x$.

Si la frecuencia relativa acumulada del tercer valor es $H_3 = 0.60$, plantea una ecuación, halla el valor de $x$ y reconstruye la columna completa de frecuencias absolutas.

El siguiente histograma representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana. Observa que los intervalos tienen distinta amplitud y que en el eje vertical se representa la densidad de frecuencia (altura $a_i = \frac{f_i}{c_i}$, donde $c_i$ es la amplitud del intervalo).

Reconstruye la tabla de frecuencias absolutas sabiendo que los intervalos representados son $[0, 10)$, $[10, 30)$, $[30, 40)$ y $[40, 60)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se ha realizado una encuesta sobre dos variables $X$ e $Y$. La tabla de doble entrada está incompleta. Complétala sabiendo que el total de individuos es $N=50$, la distribución marginal de $X$ tiene $f(X=1) = 20$ y $f(X=2) = 30$, y la distribución marginal de $Y$ tiene $f(Y=A) = 15$, $f(Y=B) = 25$ y $f(Y=C) = 10$.

Además, se conocen las siguientes frecuencias conjuntas parciales:

• Hay $5$ individuos con $X=1$ e $Y=A$.

• Hay $10$ individuos con $X=1$ e $Y=B$.

• Hay $5$ individuos con $X=2$ e $Y=C$.

Construye la tabla de doble entrada rellenando las celdas que faltan.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una distribución de frecuencias agrupada en intervalos, se conocen las siguientes frecuencias relativas acumuladas: $H_1 = 0.12$, $H_2 = 0.38$, $H_3 = 0.70$, $H_4 = 0.90$ y $H_5 = 1$.

Si la frecuencia absoluta del tercer intervalo es $f_3 = 48$, determina el tamaño total de la muestra $N$ y calcula las frecuencias absolutas de todos los intervalos.

Un investigador está analizando una muestra estratificada de $300$ personas extraída de una población de $15\,000$ habitantes. La población se divide en tres barrios: Norte ($6\,000$ hab.), Centro ($4\,500$ hab.) y Sur ($4\,500$ hab.).

Para que la muestra sea estrictamente representativa (muestreo proporcional), ¿cuántas personas de cada barrio deben formar parte de la tabla de frecuencias de la muestra? Si en la muestra real utilizada por el investigador se encuestó a $100$ personas de cada barrio, ¿qué error de representación (en porcentaje absoluto) se cometió en el barrio Norte respecto a lo que le correspondía proporcionalmente?

Demuestra matemáticamente, utilizando la notación de sumatorio ($\sum$), que la suma de todas las frecuencias relativas ($h_i$) de una distribución unidimensional de $k$ valores distintos es siempre igual a $1$, independientemente del tamaño de la muestra $N$.

Los salarios de una empresa están agrupados en $3$ intervalos de igual amplitud. Se sabe que la marca de clase del primer intervalo es $30\,000$ lempiras y la marca de clase del tercer intervalo es $50\,000$ lempiras. Determina la amplitud de los intervalos y escribe los límites inferior y superior de cada uno de los tres intervalos.

Se tienen dos grupos de alumnos, A y B. Del grupo A ($30$ alumnos) se sabe que la frecuencia relativa de aprobados es $0.60$. Del grupo B ($20$ alumnos) se sabe que la frecuencia absoluta de suspensos es $5$.

Si se juntan ambos grupos en una sola tabla de frecuencias globales, ¿cuál será la frecuencia relativa acumulada de suspensos respecto al total de $50$ alumnos? (Asume que la variable solo toma dos valores categóricos ordenados: Suspenso y Aprobado, en ese orden).

El departamento de orientación de un instituto ha evaluado las puntuaciones obtenidas por $120$ estudiantes de 4.º de ESO en una prueba estandarizada de razonamiento numérico, en una escala de $0$ a $100$ puntos con valores decimales continuos. Para presentar el informe a la dirección del centro, se proponen tres métodos alternativos:

• Método 1: Construir una tabla con cada nota individual obtenida sin agrupar, asignando a cada puntuación numérica distinta su frecuencia absoluta $f_i$.

• Método 2: Agrupar los datos en intervalos de amplitud uniforme aplicando la regla $k \approx \sqrt{N}$, redondeando $k$ al entero más próximo y calculando la amplitud constante $c$ que cubra el rango completo $[0, 100]$.

• Método 3: Agrupar los datos en $4$ intervalos cualitativo-académicos preestablecidos por los criterios de evaluación: Insuficiente $[0, 50)$, Suficiente/Bien $[50, 70)$, Notable $[70, 90)$ y Sobresaliente $[90, 100]$.

Responde y justifica con rigor estadístico:

1. a) Explica por qué el Método 1 es inadecuado e ineficiente para este conjunto de datos, señalando qué problema práctico presentarán las frecuencias de la mayoría de las filas.
2. b) Si se adopta el Método 2, determina el número entero de clases $k$ y calcula la amplitud uniforme $c$ redondeada hacia arriba al entero más conveniente para abarcar el recorrido $[0, 100]$. ¿Qué ventaja de cálculo aporta trabajar con amplitudes idénticas respecto a intervalos de amplitud variable?
3. c) Justifica en qué contexto comunicativo o de toma de decisiones el Método 3 resulta más conveniente y claro que el Método 2, a pesar de que sus intervalos tengan amplitudes distintas ($50$, $20$, $20$ y $10$ puntos).

A partir de una muestra de $200$ jóvenes de entre 18 y 24 años obtenida en un estudio sociolaboral en España (siguiendo el esquema de la Encuesta de Población Activa del INE), se analizan conjuntamente dos variables:

• Nivel educativo alcanzado ($X$): $A$ (ESO o inferior), $B$ (Bachillerato o FP de Grado Medio) y $C$ (Estudios universitarios o FP de Grado Superior).

• Situación laboral ($Y$): $E$ (Ocupado con empleo), $D$ (En desempleo) e $I$ (Inactivo estudiando).

Se dispone de la siguiente información agregada sobre la muestra:

1. El $30\,\%$ de los jóvenes tiene nivel formativo $A$ y el $40\,\%$ tiene nivel $B$.

2. En el grupo $C$ no hay ninguna persona en desempleo, y el número de jóvenes con empleo duplica al de inactivos.

3. En el conjunto de la muestra hay $40$ personas en desempleo, de las cuales el $60\,\%$ pertenece al nivel formativo $A$.

4. El número total de jóvenes ocupados en la muestra es de $100$.

5. Entre los jóvenes con nivel $B$, exactamente $24$ se encuentran en inactividad académica o formativa.

Realice las siguientes tareas de análisis:

1. a) Modele la distribución conjunta elaborando la tabla de doble entrada completa (frecuencias conjuntas y marginales por filas y columnas). Plantee y resuelva las ecuaciones necesarias para deducir cada casilla desconocida justificando sus pasos.
2. b) Calcule la tasa muestral de desempleo relativa dentro de cada uno de los tres niveles educativos por separado (es decir, el porcentaje que representan los desempleados respecto al total de jóvenes de su propio nivel formativo: $A$, $B$ y $C$).
3. c) Interprete los porcentajes obtenidos en el apartado anterior y redacte una conclusión fundamentada: ¿respaldan los datos la hipótesis de que un mayor nivel de formación se asocia a una menor frecuencia relativa de desempleo en este colectivo?