Ejercicios: Media y varianza

Dada la siguiente lista de datos numéricos: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución.

Las notas obtenidas por cinco alumnos en un examen de matemáticas son $5, 7, 6, 8$ y $9$. Calcula la nota media y la desviación típica.

En una semana, las temperaturas máximas registradas de lunes a jueves fueron $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC y $24$ ºC. Sabiendo que la temperatura media de esos cuatro días fue de $22$ ºC, halla el valor desconocido de $x$.

El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, calcula la media de hermanos por alumno.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un estudio estadístico con $N = 10$ datos, se sabe que la suma de todos los datos es $\sum x_i = 50$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la varianza de la distribución.

Un grupo de atletas tiene un peso medio de $70$ kg con una desviación típica de $7$ kg. Otro grupo de gimnastas tiene un peso medio de $50$ kg con una desviación típica de $6$ kg. Calcula el coeficiente de variación de ambos grupos e indica cuál de los dos tiene un peso más disperso en términos relativos.

Se ha preguntado a un grupo de personas por el número de veces que van al cine al mes. Los resultados muestran que $3$ personas van $1$ vez, $5$ personas van $2$ veces y $2$ personas van $3$ veces. Calcula la media de esta distribución.

La media de las edades de un grupo de $15$ amigos es actualmente de $16$ años. ¿Cuál será la media de sus edades dentro de $4$ años? Justifica tu respuesta aplicando las propiedades de la media aritmética.

En un examen de 4.º de ESO calificado sobre $10$ puntos, la media del grupo ha sido $\bar{x} = 5.4$ y la desviación típica $\sigma = 1.6$. El profesor decide transformar las notas a una escala sobre $100$ y sumar a todos $5$ puntos adicionales por trabajo cooperativo, aplicando la fórmula $y_i = 10 \times x_i + 5$ a la nota $x_i$ de cada estudiante. Al enterarse, Lucía calcula: «Entonces la nueva media será $\bar{y} = 10 \times 5.4 + 5 = 59$ puntos, y la nueva desviación típica será $\sigma_y = 10 \times 1.6 + 5 = 21$ puntos». Identifica el error conceptual que ha cometido Lucía en el cálculo de la dispersión, explica de forma razonada por qué el término $+5$ no altera la separación de los datos respecto a su media, y calcula los valores correctos de la nueva media $\bar{y}$, la nueva desviación típica $\sigma_y$ y la nueva varianza $\sigma_y^2$.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) ha registrado las siguientes temperaturas mínimas (en $^{\circ}\text{C}$) durante cinco días consecutivos de invierno en Soria: $-3$, $-1$, $0$, $2$ y $7$.

1. a) Antes de realizar cálculos por escrito, haz una estimación razonada: indica entre qué dos valores enteros intuyes que estará la media aritmética y razona si consideras que la desviación típica será menor que $1^{\circ}\text{C}$, estará entre $2^{\circ}\text{C}$ y $5^{\circ}\text{C}$, o será mayor que $8^{\circ}\text{C}$, fijándote en el rango y dispersión aparente de los datos.
2. b) Calcula ahora el valor exacto de la media $\bar{x}$ y de la varianza $\sigma^2$, y obtén la desviación típica $\sigma$ redondeada a las décimas.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial era acertada y explica qué información práctica aporta el valor de $\sigma$ sobre la variabilidad térmica de esos días en comparación con conocer únicamente la media.

Se ha realizado una encuesta a $40$ familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, obteniendo los siguientes resultados: $10$ familias no tienen mascotas, $15$ familias tienen $1$ mascota, $10$ familias tienen $2$ mascotas, y $5$ familias tienen $3$ mascotas. Organiza los datos en una tabla y calcula la media, la varianza y la desviación típica.

El tiempo (en minutos) que tardan $50$ estudiantes en llegar al colegio desde sus casas se agrupa en la siguiente tabla de frecuencias:

• $[0, 10)$: $10$ estudiantes

• $[10, 20)$: $25$ estudiantes

• $[20, 30)$: $15$ estudiantes

Calcule el tiempo promedio que tardan en llegar al colegio y la desviación típica de la distribución.

Para comparar la dispersión de dos variables distintas en un mismo grupo de personas, se midió el peso y la altura. El peso medio es de $65$ kg con una desviación típica de $5$ kg. La altura media es de $170$ cm con una desviación típica de $10$ cm. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa? Justifica tu respuesta.

Los salarios mensuales de los trabajadores de una pequeña empresa tienen una media de $30\,000$ lempiras y una desviación típica de $3\,750$ lempiras. Para el próximo año, la dirección decide aplicar un aumento del $10\%$ a todos los sueldos y, además, añadir un plus fijo de $1\,250$ lempiras. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica de los salarios.

En un colegio, la sección 4.° A tiene $20$ alumnos con una nota promedio en Matemáticas de $6$. La sección 4.° B tiene $30$ alumnos con una nota promedio de $7$. Si se calcula la nota de todos los alumnos de ambas secciones en conjunto, ¿cuál será la nota promedio global?

El siguiente histograma muestra el tiempo en minutos que dedican al día varios jóvenes a leer. A partir del gráfico, extrae la tabla de frecuencias (utilizando las marcas de clase) y calcula el tiempo medio de lectura.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un test rápido de $3$ preguntas, se ha registrado el número de aciertos de un grupo de personas. Se sabe que $4$ personas tuvieron $0$ aciertos, $x$ personas tuvieron $1$ acierto, $5$ personas tuvieron $2$ aciertos y $1$ persona tuvo $3$ aciertos. Si la media de aciertos del grupo es de $1.2$, determina cuántas personas tuvieron exactamente $1$ acierto.

Un profesor calculó que la nota media de sus $20$ alumnos en un examen era de $6.5$. Sin embargo, al revisar las correcciones, se dio cuenta de que anotó por error un $3$ a un alumno que en realidad había sacado un $8$. Calcula cuál es la nota media correcta sin necesidad de volver a sumar todas las notas individualmente.

En una fábrica de componentes de precisión en Navarra, un operario mide la longitud (en milímetros) de cinco piezas metálicas extraídas de la cadena de montaje y obtiene: $501$, $498$, $500$, $503$ y $498$.

Para calcular la varianza de la muestra, dispone de dos estrategias:

• Método A: Aplicar directamente la fórmula abreviada con los datos brutos: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.

• Método B: Definir una variable trasladada $y_i = x_i - 500$, calcular la varianza de $y_i$ y aplicar las propiedades de la traslación de datos.

Compara ambos métodos argumentando cuál resulta más ventajoso si se desea calcular a mano sin calculadora, evitando operar con números elevados y reduciendo el riesgo de errores de redondeo. A continuación, aplica el método que has defendido para calcular razonadamente la media $\bar{x}$, la varianza $\sigma^2$ y la desviación típica $\sigma$ de la longitud de las piezas.

En una encuesta del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre hábitos deportivos, se analiza el número de horas semanales dedicadas a entrenar por cuatro personas de un mismo grupo. Dos de ellas indican haber entrenado exactamente $8$ y $12$ horas. Se desconoce el tiempo de las otras dos personas ($a$ y $b$), pero el informe publica que la media del grupo es $\bar{x} = 10\text{ horas}$ y su varianza es $\sigma^2 = 10\text{ horas}^2$.

1. a) A partir de la propiedad de la media aritmética, escriba una ecuación que relacione $a$ y $b$, y despeje una de las incógnitas en función de la otra.
2. b) Utilizando la fórmula de la varianza a partir de las desviaciones al cuadrado, $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{N}$, plantee una ecuación y determine los valores exactos de $a$ y $b$ (asumiendo $a \ge b$). Justifique razonadamente por qué no habría sido posible determinar estos valores disponiendo únicamente del dato de la media.

En un estudio sobre el consumo de agua diario (en litros) de cierta población, los datos se agrupan en tres intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$ y $[20, 30)$. Se sabe que las frecuencias absolutas de los dos primeros intervalos son $5$ y $f$ respectivamente, y la del tercer intervalo es $3$. Si el consumo medio aproximado es de $13.75$ litros, plantea una ecuación y halla la frecuencia $f$ desconocida.

Dados los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, demuestra algebraicamente que la suma de sus desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Es decir, demuestra paso a paso que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Un grupo de $10$ chicos tiene una altura media de $160$ cm y una varianza de $20$ cm$^2$. Un grupo de $10$ chicas tiene una altura media de $150$ cm y una varianza de $15$ cm$^2$. Calcula la varianza conjunta de los $20$ estudiantes. (Pista: calcula primero la media global y luego la suma de los cuadrados total empleando las fórmulas de la varianza de cada grupo).

La media aritmética de dos números positivos desconocidos es $5$ y su varianza es $4$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las fórmulas de la media y la varianza, y determina cuáles son esos dos números.

Las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en un trabajo son proporcionales a su esfuerzo y vienen dadas por las expresiones $a$, $2a$ y $3a$ (donde $a > 0$). Sabiendo que la desviación típica de estas tres notas es exactamente $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calcula el valor del parámetro $a$ y la media de las calificaciones.

La temperatura máxima diaria en una ciudad durante un mes tiene una media de $25$ ºC y una desviación típica de $2$ ºC. Si convertimos estas temperaturas a grados Fahrenheit mediante la fórmula $F = 1.8 \times C + 32$, calcula el coeficiente de variación en grados Fahrenheit y compáralo numéricamente con el coeficiente de variación original en grados Celsius. ¿Cambia la dispersión relativa al cambiar de escala?

En una pequeña empresa de $5$ trabajadores, $4$ de ellos cobran exactamente $25\,000$ lempiras al mes, mientras que el gerente cobra $150\,000$ lempiras. Calcula la media y la desviación típica de los $5$ sueldos. A la vista de los resultados numéricos obtenidos, explica razonadamente si la media aritmética es una medida representativa para este conjunto de datos.

El siguiente gráfico circular representa los resultados de una encuesta realizada a $40$ personas sobre el número de veces que hacen deporte a la semana (variable $x_i$). Sabiendo que el círculo completo son $360^\circ$ y observando la amplitud de cada sector, deduzca las frecuencias absolutas de cada valor y calcule la varianza de la distribución.

En las pruebas de diagnóstico de 4.º de ESO participan dos aulas de un instituto. El grupo 4.º A cuenta con $N_A = 20$ alumnos, una nota media de $\bar{x}_A = 7$ y una varianza de $\sigma_A^2 = 2$. El grupo 4.º B cuenta con $N_B = 30$ alumnos, una nota media de $\bar{x}_B = 5$ y una varianza de $\sigma_B^2 = 3$.

1. a) Calcula la media conjunta ponderada $\bar{x}$ de los $50$ alumnos.
2. b) Un docente plantea que la varianza total de los $50$ alumnos es simplemente el promedio ponderado de las dos varianzas: $\frac{20 \times 2 + 30 \times 3}{50} = 2.6$. Razona por qué este planteamiento es falso conceptualmente, explicando qué fuente adicional de dispersión aparece cuando las medias de ambos grupos no coinciden.
3. c) Reconstruye la suma de los cuadrados de las notas ($\sum x_i^2$) de cada grupo mediante la relación $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$, calcula la varianza conjunta real $\sigma^2$ del instituto y su desviación típica (con dos decimales), y comprueba analíticamente si el valor obtenido es mayor o menor que los $2.6$ propuestos por el docente.

Un informe del INE sobre el número anual de viajes de ocio realizados por $10$ familias de una comarca arroja una media de $\bar{x} = 4\text{ viajes}$ y una desviación típica de $\sigma = 2\text{ viajes}$. Con posterioridad a la publicación, se incorpora al registro una undécima familia que no había sido contabilizada.

1. a) Supón primero que esa 11.ª familia realizó exactamente $4$ viajes (coincidiendo con la media del grupo). Sin realizar cálculos numéricos completos, argumenta si la nueva desviación típica aumentará, disminuirá o se mantendrá igual a $2$. A continuación, demuéstralo numéricamente recuperando la suma de cuadrados original $\sum x_i^2$ y calculando la nueva varianza.
2. b) Considera ahora un caso alternativo en el que esa 11.ª familia hubiese realizado $10$ viajes. Reconstruye analíticamente la nueva media $\bar{x}_{nuevo}$ y la nueva varianza $\sigma_{nuevo}^2$ para el conjunto de las $11$ familias.
3. c) Compara el incremento relativo que experimenta la media frente al que sufre la varianza en este segundo caso y razona matemáticamente por qué la presencia de un dato atípico alejado del centro desestabiliza mucho más a las medidas de dispersión cuadrática que a la media.