Ejercicios: Medidas de dispersión

Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante una semana de invierno han sido: $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ y $13$ grados Celsius. Calcula el rango de estas temperaturas.

Las notas de un alumno en cinco exámenes de matemáticas son $5$, $6$, $7$, $8$ y $9$. Sabiendo que la media aritmética es $7$, calcula la varianza y la desviación típica de sus calificaciones.

El peso medio de un modelo de tornillos fabricado industrialmente es de $15$ gramos, con una desviación típica de $0.45$ gramos. Calcula el coeficiente de variación y exprésalo en porcentaje.

En un bosque de pinos, la altura media es de $12$ metros con una desviación típica de $1.5$ metros. En un bosque de robles, la altura media es de $8$ metros con una desviación típica de $1.2$ metros. ¿Qué especie de árbol presenta una mayor dispersión relativa en su altura?

En un estudio estadístico sobre los salarios mensuales de una empresa, se ha determinado que el primer cuartil es $30\,000$ lempiras y el tercer cuartil es $45\,000$ lempiras. ¿Cuál es el rango intercuartílico de los salarios?

En un estudio estadístico compuesto por $20$ datos, se sabe que la suma de todos los valores es $\sum x_i = 100$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 580$. Calcula la varianza de la distribución.

La desviación típica de las edades de un grupo de amigos es actualmente de $2.5$ años. Si dentro de $4$ años volvemos a calcular la desviación típica de sus edades, ¿cuál será el nuevo valor? Justifica tu respuesta de forma razonada.

Una tabla de frecuencias agrupa el tiempo de uso diario del teléfono celular en los siguientes intervalos: $[0, 1)$, $[1, 2)$, $[2, 3)$ y $[3, 4)$ horas. Determine el rango máximo posible de los datos originales que han sido agrupados en esta tabla.

Lucía y Marcos analizan los resultados de un examen de Matemáticas en su clase de 4.º de ESO. La media de las notas ha sido de $6.5$ y la desviación típica, de $1.2$. Para premiar la entrega de un proyecto voluntario, el profesor decide sumar $0.8$ puntos a la calificación final de cada alumno de la clase.

Marcos afirma: «Como a todos nos suman $0.8$, la nueva media será $7.3$ y la nueva desviación típica será $1.2 + 0.8 = 2.0$, porque todas las notas son ahora mayores».

1. a) Identifica el error cometido por Marcos y explica razonadamente por qué la dispersión no varía al sumar una constante a todos los datos.
2. b) ¿Qué ocurriría con la desviación típica si el profesor, en lugar de sumar puntos, decidiera multiplicar todas las notas originales por $1.1$ (un aumento del $10\,\%$)? Justifica tu respuesta calculando el nuevo valor de $\sigma$.

Considera dos grupos de cinco estudiantes, $A$ y $B$, que han obtenido las siguientes notas en un examen de $0$ a $10$ puntos:

• Grupo $A$: $0$, $5$, $5$, $5$, $10$

• Grupo $B$: $0$, $1$, $5$, $9$, $10$

Observa que ambos grupos tienen la misma media ($\bar{x} = 5$) y el mismo rango ($10 - 0 = 10$).

1. a) Antes de calcular ninguna varianza, estima de forma justificada cuál de los dos grupos tendrá una desviación típica mayor. Apoya tu predicción en el significado de la desviación típica como promedio de las distancias de los datos a la media.
2. b) Calcula la varianza y la desviación típica de cada grupo utilizando la fórmula de las desviaciones $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}}$ y comprueba si tu estimación inicial era acertada.

En un equipo de fútbol, el número de goles marcados por partido a lo largo de una temporada se resume en la siguiente distribución:

• $0$ goles: $5$ partidos

• $1$ gol: $8$ partidos

• $2$ goles: $4$ partidos

• $3$ goles: $3$ partidos

Calcula la varianza y la desviación típica del número de goles por partido.

El tiempo, en minutos, que tardan varios clientes en ser atendidos en la caja de un supermercado se agrupa en los siguientes intervalos:

• $[0, 5)$: $4$ clientes

• $[5, 10)$: $10$ clientes

• $[10, 15)$: $6$ clientes

Halla la varianza y la desviación típica del tiempo de espera.

Dos ciclistas, Ana y Carlos, han registrado sus tiempos (en minutos) en cinco etapas idénticas de entrenamiento:

• Tiempos de Ana: $45$, $48$, $50$, $46$, $47$

• Tiempos de Carlos: $40$, $55$, $42$, $58$, $41$

Calcula el coeficiente de variación de cada uno de ellos y determina quién es más regular en sus tiempos.

Determina el rango y el rango intercuartílico de la distribución de puntuaciones representada en el siguiente diagrama de caja y bigotes.

Los precios de un producto tecnológico en varias tiendas de Estados Unidos tienen una desviación estándar de $15$ dólares. Si para un estudio económico convertimos todos los precios a euros aplicando un tipo de cambio fijo de $0.90$ euros por dólar, ¿cuál será la varianza y la desviación estándar de los precios expresados en euros?

En una muestra formada por tres datos, se sabe que dos de ellos son $4$ y $8$. Sabiendo que la media aritmética de los tres datos es $6$, averigua el valor del tercer dato y calcula la varianza de la muestra.

Calcula la varianza y la desviación típica de los datos representados en el siguiente histograma, sabiendo que el eje horizontal representa la edad en años y el eje vertical el número de personas. Utiliza las marcas de clase para tus cálculos.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una máquina envasadora A produce paquetes de arroz con un peso medio de $500$ gramos y una desviación típica de $5$ gramos. Otra máquina B produce paquetes de lentejas con un peso medio de $1000$ gramos y una desviación típica de $8$ gramos. Utilizando el coeficiente de variación, determina qué máquina es comparativamente más precisa en su proceso de envasado.

A partir de los datos publicados por el Instituto Nacional de Estadística (INE) en su Encuesta Anual de Estructura Salarial, se estudian los salarios mensuales netos de dos sectores profesionales en España:

• Sector de la Hostelería: salario medio de $1250$ lempiras con una desviación típica de $200$ lempiras.

• Sector de la Programación y Consultoría TIC: salario medio de $2600$ lempiras con una desviación típica de $390$ lempiras.

1. a) Indique en cuál de los dos sectores los salarios presentan una mayor dispersión absoluta y qué parámetro estadístico permite afirmarlo directamente.
2. b) Una analista laboral afirma: «Los salarios en el sector TIC son mucho más desiguales que en la hostelería porque su desviación típica es casi el doble». Utilice el coeficiente de variación ($CV$) para determinar si esta afirmación es correcta y explique en cuál de los dos sectores existe mayor dispersión relativa en relación con su nivel salarial medio.

Se desea diseñar una muestra de cuatro notas enteras (valores de $1$ a $10$) correspondientes a cuatro estudiantes de un grupo de trabajo, de tal forma que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La media aritmética debe ser exactamente $6$.

2. El rango debe ser exactamente $4$.

3. La varianza debe ser la menor posible entre todas las combinaciones que cumplen las dos condiciones anteriores.

1. a) Encuentra de forma razonada las cuatro calificaciones que forman dicha muestra, explicando por qué los valores centrales deben situarse lo más próximos posible a la media.
2. b) Calcula la varianza y la desviación típica de la muestra que has propuesto.
3. c) Propón otra muestra distinta de cuatro notas enteras que siga teniendo media $6$ y rango $4$, pero cuya varianza sea estrictamente mayor que la obtenida en el apartado anterior, calculando su nuevo valor para justificarlo.

Un conjunto estadístico formado por $10$ datos tiene una media aritmética de $5$ y una varianza de $2$. Si se añade a este conjunto un nuevo dato con valor $16$, calcula la nueva media aritmética y la nueva varianza de los $11$ datos resultantes.

En un colegio, la sección 4.° A tiene $20$ estudiantes con una nota promedio en estadística de $6$ y una varianza de $1.5$. La sección 4.° B tiene $30$ estudiantes con una nota promedio también de $6$ y una varianza de $2$. Si se agrupan los estudiantes de ambas secciones en un solo conjunto, ¿cuál será la varianza global de los $50$ estudiantes?

La temperatura en una ciudad se ha medido diariamente en grados Celsius ($C$), obteniéndose una desviación típica de $5^\circ C$. Sabiendo que la relación matemática para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit ($F$) es $F = \frac{9}{5}C + 32$, demuestra algebraicamente cuál será la varianza de las temperaturas si todas las mediciones se expresan en grados Fahrenheit y calcula su valor final.

Una variable estadística discreta toma los valores $0$, $1$ y $2$ con frecuencias absolutas $2$, $k$ y $2$, respectivamente. Sabiendo que la media aritmética de la distribución es $1$, plantea una ecuación para determinar el valor de la frecuencia $k$ de modo que la varianza de la distribución sea exactamente $0.5$.

Se ha realizado un estudio estadístico sobre una variable y se sabe que el tamaño de la muestra es $N$. Además, se han obtenido los siguientes valores agregados: $\sum x_i f_i = 40$ y $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la varianza de la distribución es $4$, determina el tamaño de la muestra $N$.

Observa los polígonos de frecuencias de las distribuciones A y B representadas en el siguiente gráfico. Ambas distribuciones tienen la misma media aritmética. ¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor desviación típica? Justifica tu respuesta analizando la concentración de los datos respecto a la media, sin necesidad de realizar cálculos numéricos.

Al calcular la varianza de un conjunto de $10$ datos se obtuvo un valor de $4$, siendo la media aritmética igual a $5$. Posteriormente, al revisar los registros, se descubrió que un dato cuyo valor real era $3$ se había anotado por error como $8$. Calcula la varianza correcta de la distribución tras subsanar el error.

Un inversor está analizando el riesgo de dos fondos de inversión. El fondo Alpha ha obtenido unas rentabilidades anuales del $2\%$, $4\%$, $6\%$ y $8\%$, todas con la misma frecuencia absoluta. El fondo Beta ha obtenido rentabilidades del $4\%$, $5\%$, $5\%$ y $6\%$. Calcula la desviación típica de cada fondo y explica, utilizando el coeficiente de variación, cuál de los dos asume un mayor riesgo relativo por cada unidad de rentabilidad obtenida.

Para calcular la varianza de una distribución estadística existen dos expresiones algebraicamente equivalentes:

• Método 1 (definición conceptual): $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{N}$

• Método 2 (fórmula desarrollada): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$

Imagina que debes resolver a mano y sin calculadora los siguientes dos casos:

• Caso $A$: Cinco mediciones de altísima precisión tomadas en un laboratorio: $1002$, $1003$, $1005$, $1006$ y $1009$ mm.

• Caso $B$: Una distribución de frecuencias donde la media es fraccionaria, $\bar{x} = \frac{10}{3} = 3.333\dots$, con $N = 12$ observaciones y donde ya se dispone del cálculo acumulado $\sum x_i^2 f_i = 150$.

1. a) Razona qué método resulta mucho más eficiente y seguro para el Caso $A$. Explica qué dificultades numéricas provocaría utilizar el otro método a mano.
2. b) Justifica qué método es el idóneo para el Caso $B$ y qué inconveniente de redondeo evitarías.
3. c) Aplica el método que has seleccionado en el apartado a) para calcular la media, la varianza y la desviación típica del Caso $A$.

En un instituto de Educación Secundaria, los dos grupos de 4.º de ESO realizan la misma prueba común de Matemáticas:

• Grupo $4.º\text{ A}$ ($N_A = 20$ alumnos): media $\bar{x}_A = 6.0$ y desviación típica $\sigma_A = 1.0$.

• Grupo $4.º\text{ B}$ ($N_B = 30$ alumnos): media $\bar{x}_B = 8.0$ y desviación típica $\sigma_B = 1.0$.

El equipo docente quiere determinar la media y la desviación típica globales del conjunto de los $50$ alumnos.

1. a) Una estudiante sostiene: «Como ambos grupos tienen idéntica desviación típica ($\sigma = 1.0$), la desviación típica del total de los $50$ alumnos tiene que seguir siendo $1.0$». Explica razonadamente por qué esta conclusión es incorrecta, identificando qué factor de dispersión surge al fusionar dos grupos con medias distintas que la estudiante no ha tenido en cuenta.
2. b) Reconstruye, a partir de las fórmulas de la media y la varianza, la suma de las notas $\sum x_i$ y la suma de los cuadrados de las notas $\sum x_i^2$ de cada clase.
3. c) Calcula la media y la desviación típica de la totalidad de los $50$ estudiantes. Compara el resultado obtenido con la predicción de la estudiante del apartado a).