Ejercicios: Función trigonomérica: seno, coseno y tangente.

Determina la amplitud y el periodo de la función trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Evalúa la función $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en los valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.

Observa la siguiente gráfica y determina si corresponde a la función seno o a la función coseno. Justifica tu respuesta indicando el punto de corte con el eje Y y el tipo de simetría que presenta.

Indica el dominio y el recorrido de la función trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Clasifica las funciones elementales $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ y $h(x) = \tan(x)$ según el tipo de simetría que presentan (par o impar).

Calcula el periodo exacto de la función $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Encuentra todos los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $y = \sin(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$.

Describe qué transformación geométrica sufre la gráfica de la función $f(x) = \cos(x)$ para convertirse en la gráfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. ¿Cuál es el nuevo recorrido de la función $g(x)$?

Marcos está analizando en clase la función trigonométrica $f(x) = -3\cos(2x)$ y anota en su cuaderno las siguientes conclusiones:

1) «La amplitud de la función es $-3$, porque es el coeficiente que multiplica al coseno».

2) «El periodo es $4\pi$, porque al estar la $x$ multiplicada por $2$, la onda tarda el doble en completarse: $2 \times 2\pi = 4\pi$».

3) «La función es impar, porque tiene un signo menos delante y las funciones impares llevan signo negativo».

Identifica de manera razonada el error conceptual que comete Marcos en cada una de las tres afirmaciones, explica qué ocurre geométricamente en la gráfica en cada caso y escribe los valores correctos de la amplitud, el periodo y el tipo de simetría (par o impar) de la función.

Encuentra la expresión algebraica de una función de la forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$, con parámetros positivos $A > 0$ y $B > 0$, que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. a) Su eje central de oscilación es la recta horizontal $y = 5$.
2. b) El valor mínimo que alcanza la gráfica es $y = 1$.
3. c) Su periodo fundamental de repetición es $T = \pi\text{ rad}$.

Deduce paso a paso el valor de cada uno de los parámetros $A$, $B$ y $D$ razonando su significado a partir de las transformaciones de la función elemental $\cos x$, indica cuál es el recorrido completo de la función y calcula su valor máximo.

La altura en metros a la que se encuentra una de las cabinas de una noria en función del tiempo en minutos viene dada por la expresión $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula la altura máxima y mínima que alcanza la noria, y determina el tiempo exacto que tarda en dar una vuelta completa.

El nivel del agua en un puerto varía periódicamente debido a las mareas. La siguiente gráfica muestra la altura del agua en metros a lo largo de $24\text{ horas}$. Determina la amplitud, el periodo y la altura media del agua. A partir de estos datos, propón una expresión trigonométrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que se ajuste a la gráfica mostrada.

Una onda sonora pura emitida por un diapasón se modela mediante la función $P(t) = 0.02 \sin(880\pi t)$, donde $P$ representa la variación de presión en pascales y $t$ el tiempo transcurrido en segundos. Determina la amplitud de la onda y su frecuencia (el número de ciclos completos que realiza por segundo).

El voltaje de una corriente alterna en una instalación doméstica europea se puede expresar mediante la función $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, donde $V$ es el voltaje en voltios y $t$ el tiempo en segundos. Calcula el voltaje máximo alcanzado y averigua cuántas veces por segundo el voltaje toma exactamente el valor de $0\text{ voltios}$.

Un peso colgado del extremo de un muelle oscila verticalmente. Su posición respecto al techo viene dada por la ecuación $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida en centímetros. Indica a qué distancia del techo se encuentra el peso en el instante inicial ($t=0$), cuál es su posición más baja (mayor distancia al techo) y cuál es el periodo de oscilación del muelle.

El número de horas de luz solar en una determinada ciudad a lo largo del año se puede aproximar mediante la función $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, donde $d$ representa el día del año ($d=1$ es el 1 de enero). ¿Cuántas horas de luz hay exactamente el día $d=80$? ¿Y el día $d=262$ (medio año después)? Interpreta el significado de ambos resultados.

Dibuja un boceto de la función $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica paso a paso cómo se obtiene esta gráfica aplicando traslaciones y dilataciones a la gráfica original de la función $f(x) = \sin(x)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Determina el dominio de la función $f(x) = \tan(2x)$ y escribe las ecuaciones de sus tres primeras asíntotas verticales positivas.

Una boya oceanográfica instalada frente al puerto de Puerto Cortés registra el paso del oleaje. Su altura $h(t)$ en metros respecto al fondo marino viene dada por la expresión $h(t) = 3 + 1.2\sin(4\pi t)$, donde $t$ es el tiempo medido en segundos.

1. a) Antes de realizar cálculos algebraicos detallados, realice una estimación razonada:

• ¿Entre qué dos valores extremos de altura oscilará la boya?

• ¿Cuántas oscilaciones completas (olas) estima que completará la boya en un solo segundo?

• ¿En qué fracción aproximada de segundo alcanzará por primera vez su altura máxima tras empezar a contar el tiempo en $t = 0$?

1. b) Calcule ahora con precisión matemática la amplitud, el periodo fundamental $T$, el recorrido de la función y el instante exacto $t_1 > 0$ en el que se produce el primer máximo.
2. c) Compruebe si sus estimaciones iniciales coinciden con los resultados analíticos y explique por qué el primer máximo se alcanza en $t = T/4$ y no en $t = T/2$.

Se desea modelizar la variación del nivel del agua $h(t)$ (en metros) por efecto de las mareas en la ría de Bilbao en función de las horas transcurridas $t$ desde la medianoche ($t = 0$). Los registros oceanográficos indican que el nivel medio del agua es de $3\text{ metros}$, la oscilación máxima por encima y por debajo de ese nivel medio es de $1.5\text{ metros}$, el ciclo completo de marea dura $12\text{ horas}$ y, precisamente a las $00:00$ ($t = 0$), se registra la bajamar absoluta (nivel mínimo de $1.5\text{ metros}$).

Para escribir la fórmula de $h(t)$, dos estudiantes sugieren planteamientos distintos:

• Método 1 (Lucía): Utilizar un coseno invertido sin desfase horizontal: $h(t) = -A\cos(Bt) + D$.

• Método 2 (David): Utilizar un seno con desfase horizontal: $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$.

1. a) Determine los parámetros necesarios para escribir la función $h(t)$ siguiendo el método de Lucía y el método de David (con $A > 0$ y $B > 0$).
2. b) Compare ambos caminos: justifique cuál de los dos métodos es más directo y conveniente en este caso, explicando qué relación existe entre el punto de partida del fenómeno en $t = 0$ y la elección de la función base (seno o coseno).
3. c) Compruebe algebraicamente que ambas expresiones dan exactamente el mismo nivel de agua a las $03:00$ de la madrugada ($t = 3$).

El péndulo de un reloj de pared oscila de un lado a otro. Su desplazamiento horizontal en centímetros respecto al centro se modela con la función $x(t) = A \cos(Bt)$. Si se sabe que el péndulo alcanza un desplazamiento máximo de $12\text{ cm}$ y completa un ciclo entero de ida y vuelta cada $2\text{ segundos}$, determina los valores exactos de los parámetros $A$ y $B$. Además, calcula en qué instantes exactos durante los primeros $4\text{ segundos}$ el péndulo pasa justo por la posición central de equilibrio.

La temperatura media mensual de una ciudad se modela con una función trigonométrica. Observa la gráfica que representa la temperatura $T$ en grados Celsius en función del mes $m$ (donde $m=0$ equivale a principios de enero, $m=1$ a principios de febrero, etc.). Determina los valores de los parámetros $A, B, C$ y $D$ para que la función $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ represente fielmente esta curva.

Encuentra analíticamente todos los puntos de intersección (coordenadas $x$ e $y$) de las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$. Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas.

Según la teoría de los biorritmos, la capacidad física de una persona sigue un ciclo sinusoidal de $23\text{ días}$ y la capacidad emocional un ciclo de $28\text{ días}$. Si ambas capacidades se modelan con funciones seno de amplitud $1$ que parten de cero el día del nacimiento ($t=0$), escribe las funciones $F(t)$ y $E(t)$. ¿Cuántos días exactos deben pasar desde el nacimiento para que ambas capacidades vuelvan a cruzar el valor cero simultáneamente, pasando ambas a tener valores positivos?

La población de conejos en una reserva natural fluctúa anualmente según el modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, donde $t$ representa el tiempo en meses ($t=0$ es el 1 de enero). Plantea y resuelve la inecuación trigonométrica correspondiente para determinar exactamente durante qué meses del primer año la población se mantiene estrictamente por encima de los $950\text{ conejos}$.

El haz de luz de un faro giratorio ilumina un acantilado recto y largo. La distancia $d$ (en metros) desde el punto más cercano del acantilado hasta el punto iluminado en el instante $t$ (en segundos) viene dada por la función $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el dominio de esta función en el contexto físico del problema (para el primer giro) e interpreta qué sucede con el haz de luz cuando $t$ se acerca a $2\text{ segundos}$.

Demuestra mediante el análisis de traslaciones horizontales que la función $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ es equivalente a la función $g(x) = \cos(x)$. Utiliza los conceptos de desfase, periodicidad y la forma de sus gráficas para justificar tu respuesta.

El volumen de aire presente en los pulmones de una persona en reposo, medido en litros, se modela mediante la función $V(t) = 2.5 + 0.5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, donde $t$ se mide en segundos. Calcula el volumen máximo y mínimo de aire en los pulmones. A partir del periodo de la función, determina cuántas respiraciones completas (ciclos completos de inhalación y exhalación) realiza esta persona en un minuto exacto.

A partir de los registros históricos de la AEMET para una localidad del interior peninsular, la temperatura media diaria $T(t)$ a lo largo de un año de $365\text{ días}$ se modeliza de forma precisa mediante una función periódica del tipo $T(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, donde $t$ es el día del año ($t = 1$ representa el 1 de enero). El día con la temperatura media más baja del año es el 15 de enero ($t = 15$) con $5^\circ\text{C}$, y el día con la temperatura media más alta ocurre exactamente medio año después, el 16 de julio ($t = 197.5$), alcanzando $27^\circ\text{C}$.

1. a) Deduce y justifica los valores numéricos de $A$, $D$ y el desfase $C$ (con $A > 0$), explicando con claridad el significado físico o meteorológico de cada uno de ellos en el clima de la región.
2. b) Determina en qué dos días del año predice el modelo que la temperatura media diaria es de exactamente $16^\circ\text{C}$ e interpreta por qué estos días resultan próximos a los equinoccios de primavera y otoño.
3. c) Teniendo en cuenta la forma y pendiente de la gráfica de la función coseno, razona en qué épocas del año la variación diaria de la temperatura (la rapidez con la que sube o baja día tras día) es máxima y en qué épocas es prácticamente nula.

Construye la expresión algebraica de una función de la forma $f(x) = A\tan(B(x - C))$, con $A > 0$ y $B > 0$, que cumpla simultáneamente los siguientes requisitos geométricos:

1) Dos de sus asíntotas verticales consecutivas se encuentran exactamente en las rectas $x = -\dfrac{\pi}{4}$ y $x = \dfrac{3\pi}{4}$.

2) La gráfica interseca al eje horizontal $OX$ en un punto situado entre ambas asíntotas.

3) La gráfica pasa por el punto $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$.

1. a) A partir de la distancia entre dos asíntotas verticales consecutivas de la tangente, calcula y justifica el valor del periodo de la función y deduce el parámetro $B$.
2. b) Encuentra el valor del desfase horizontal $C$ razonando la posición del punto medio entre ambas asíntotas, y determina después el valor de la escala vertical $A$ utilizando el punto dado.
3. c) Aunque la función elemental $\tan x$ es una función impar (cumple $\tan(-x) = -\tan x$), demuestra analíticamente que la función $f(x)$ que has obtenido no es ni par ni impar, explicando con precisión qué efecto geométrico ha tenido la traslación horizontal $C$ sobre la simetría original respecto al origen de coordenadas.

Reto del tema. Imagine que va a diseñar una pérgola bioclimática para su colegio o terraza, optimizando sombra y costo eléctrico.

1. Medición geométrica: Mida a mediodía su sombra y la de un poste o poste de alumbrado para deducir su altura real mediante triángulos semejantes. En GeoGebra, esboce la estructura combinando rectas paralelas a los ejes ($x = 2.5$, $y = 0$), vigas paralelas con polinomios de primer grado ($y = 0.4x + 2$) y soportes perpendiculares ($m_1 \times m_2 = -1$).

2. Tarifa y consumo: Ingrese al sitio web de la ENEE (Empresa Nacional de Energía Eléctrica) y consulte la tarifa eléctrica vigente. Modele en una hoja de cálculo el costo eléctrico mediante una función definida a trozos que distinga los tramos de consumo bajo, medio y alto con funciones lineales y constantes.

3. Modelización ambiental: Investigue la radiación solar o la amortización de un panel solar de $1.2\text{ m}^2$. Ajuste los datos con GeoGebra usando funciones elementales: proporcionalidad inversa ($k/x$) para el rendimiento según nubosidad, o bien modelos exponenciales, logarítmicos, potenciales o radicales para estimar el ahorro a largo plazo.

4. Propuesta razonada: Redacte un informe breve con las gráficas obtenidas, las fórmulas algebraicas y su propuesta de orientación y ahorro.

Se valorará:

• Precisión en el cálculo con triángulos semejantes y el trazado de rectas (paralelas, perpendiculares y a los ejes).

• Corrección algebraica de la función a trozos y ajuste de las funciones elementales (inversa, radical, exponencial o logarítmica) con datos reales.

• Calidad técnica del informe y justificación matemática apoyada en GeoGebra u hoja de cálculo.