Ejercicios: Pol. de segundo grado: Parábolas

Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina las coordenadas exactas de su vértice y la ecuación de su eje de simetría.

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (tanto con el eje de abscisas como con el eje de ordenadas) de la parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Observa las tres parábolas representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de las expresiones analíticas con su gráfica correspondiente (A, B o C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Sabiendo que la gráfica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 11)$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $a$ y $c$.

Indica hacia dónde se abren las ramas de la parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando tu respuesta, y averigua si el vértice de esta función corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto. Calcula sus coordenadas.

La función $d(t) = 5t^2$ describe la distancia en centímetros que recorre una canica al caer por un riel inclinado en función del tiempo $t$ en segundos. ¿Qué distancia habrá recorrido a los $4$ segundos? ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer exactamente $125$ cm?

Expresa la función $y = (x + 3)^2 - 2$ como el resultado de aplicar una traslación a la parábola elemental $y = x^2$. Indica claramente la dirección y el número de unidades desplazadas tanto en el eje horizontal como en el vertical.

Determina, sustituyendo en la ecuación, si el punto $(-1, 4)$ y el punto $(2, 1)$ pertenecen a la gráfica de la parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

Marcos tiene que hallar el eje de simetría y el recorrido de la parábola $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. En su examen escribe lo siguiente:

«Como $a = -1$ y $b = 6$, la coordenada $x$ del vértice es $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \times (-1)} = 3$. Por tanto, el eje de simetría es la recta horizontal $y = 3$. A continuación, calculo la ordenada del vértice: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = 4$, de modo que el vértice es $V(3, 4)$. Como $a < 0$, las ramas van hacia abajo y la parábola tiene un máximo, por lo que su recorrido es $[4, +\infty)$».

1. a) Identifica los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos en su respuesta.
2. b) Explica razonadamente por qué son incorrectos, acudiendo a la relación entre el eje de simetría y las rectas verticales, y al significado gráfico de recorrido cuando las ramas van hacia abajo.
3. c) Escribe la solución corregida: la ecuación correcta del eje de simetría y el intervalo que define el recorrido de $f(x)$.

El diseño del arco parabólico de una fuente ornamental sigue la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$. El chorro de agua parte del nivel del suelo en el punto $(0, 0)$ y vuelve a tocar el suelo exactamente a $6\text{ metros}$ de distancia horizontal, en el punto $(6, 0)$. Además, se mide que la altura máxima que alcanza el chorro es de $4.5\text{ metros}$.

1. a) Sin calcular previamente los coeficientes algebraicos, deduce de forma razonada la ecuación de la recta vertical que actúa como eje de simetría y las coordenadas exactas de su vértice $V(h, k)$.
2. b) Utiliza la forma canónica $f(x) = a(x-h)^2 + k$ o la forma factorizada $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ para determinar el valor numérico del parámetro $a$.
3. c) Escribe la ecuación desarrollada $f(x) = ax^2 + bx + c$ y comprueba que se verifican tanto los puntos de apoyo en el suelo como la altura máxima alcanzada.

Durante un entrenamiento, una jugadora de voleibol lanza el balón hacia arriba. La altura $h$ (en metros) que alcanza el balón en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón y en qué instante exacto se produce?

La asociación de padres de familia del colegio vende boletos de una rifa para financiar el viaje de graduación. Si cada boleto se vende a $x$ lempiras, los ingresos estimados (en decenas de lempiras) están dados por la función cuadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. ¿A qué precio deben vender los boletos para maximizar los ingresos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos máximos?

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = -x + 3$.

Determina la expresión algebraica desarrollada de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(2, -1)$ y que pasa por el punto $P(4, 3)$.

Observa la gráfica de la parábola. Determina las coordenadas de su vértice y utiliza un punto adicional de la gráfica para deducir su expresión algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalmente, desarróllala a la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Disponemos de $40$ metros de cuerda para delimitar una zona rectangular de juegos en un campamento. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo, escribe la función que determina el área del recinto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que el área encerrada sea la máxima posible?

Un arco de un puente de piedra tiene forma de parábola. La base del arco (al nivel del agua) mide $12$ metros de ancho y la altura máxima en el centro es de $6$ metros. Si situamos el origen de coordenadas en el centro de la base del arco, halla la ecuación de la parábola que describe su perfil.

Calcula los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, -5)$, $(1, -6)$ y $(-1, -2)$.

Para representar la parábola $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, dos compañeros de clase debaten sobre qué estrategia es más rápida y segura para determinar su vértice y sus puntos de corte con los ejes:

• Sergio propone extraer factor común del coeficiente principal para escribir $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, factorizar el polinomio del paréntesis buscando dos enteros de producto $5$ y suma $-6$, y obtener el vértice aprovechando que el eje de simetría dista lo mismo de ambas raíces reales.

• Elena sostiene que es más directo transformar la función a su forma canónica $g(x) = a(x-h)^2 + k$ completando el cuadrado a partir de $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Desarrolla por completo ambos procedimientos paso a paso hasta hallar las coordenadas del vértice $V(h, k)$ y confirma que ambos conducen a la misma solución.
2. b) Compara ambos métodos y justifica cuál resulta más ventajoso en este caso concreto. ¿En qué situación el método propuesto por Sergio resultaría inviable o sumamente engorroso frente al método de Elena o a la fórmula general $x_v = \frac{-b}{2a}$? Apoya tu razonamiento en el papel del discriminante $\Delta$.

La Comisión Permanente de Contingencias (COPECO) modeliza la temperatura ambiental $T(t)$, en grados Celsius ($^\circ\text{C}$), durante las horas centrales de un día de verano en San Pedro Sula en función de la hora del día $t$ (con $t \in [8, 24]$, donde $t=8$ corresponde a las 8:00 h y $t=24$ a las 24:00 h) mediante la función cuadrática:

1. a) Determine razonadamente a qué hora del día se registra la temperatura máxima y cuál es dicho valor extremo.
2. b) Plantee y resuelva la inecuación necesaria para calcular en qué intervalo horario la temperatura fue igual o superior a $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Justifique analíticamente mediante el cálculo del discriminante $\Delta$ de la ecuación $T(t) = 48$ si el modelo prevé que se alcancen o superen los $48\ ^\circ\text{C}$ en algún momento del día.

Un agricultor quiere construir un corral rectangular para sus gallinas aprovechando un largo muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo. Dispone de $100$ metros de valla metálica. Determina las dimensiones del corral para que su área sea la mayor posible y calcula dicha área máxima.

Dibuja un esbozo de la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para ello, halla primero el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola interior sin el valor absoluto, y explica analíticamente cómo afecta el valor absoluto a la representación final.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dadas las parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, halla analíticamente los puntos exactos donde se cortan. Calcula después la distancia en línea recta entre los vértices de ambas parábolas.

Considera la familia de parábolas dadas por la ecuación $y = x^2 - kx + 9$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la parábola es tangente al eje de abscisas (es decir, tiene un único punto de corte con el eje X).

El club de robótica del colegio vende kits de sensores para financiar sus materiales. Tiene unos gastos fijos mensuales de $50\,000$ lempiras y montar cada kit cuesta $375$ lempiras adicionales. Los ingresos mensuales obtenidos por la venta de $x$ kits vienen dados por la función $I(x) = -2.50x^2 + 1\,625x$. Escriba la función que representa el beneficio mensual $B(x)$. ¿Cuántos kits deben montar y vender para obtener el beneficio máximo?

Un jugador de baloncesto lanza a la canasta desde una altura de $2$ metros. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ metros a una distancia horizontal de $2$ metros desde el punto de lanzamiento. Sabiendo que el aro de la canasta se encuentra a $3$ metros de altura y a una distancia horizontal de $4.5$ metros, deduzca la ecuación de la trayectoria y demuestre analíticamente si el balón entrará o no por el aro.

Halla la expresión analítica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que corta al eje de abscisas en los puntos $x = -1$ y $x = 5$, y que el valor máximo que alcanza la función es $18$.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que la función sea continua en el punto de ruptura $x = 3$ y, además, la semirrecta pase por el punto $(5, -1)$.

La empresa municipal de transporte de una ciudad española analiza sus tarifas basándose en datos de movilidad urbana. Con el precio actual del pasaje a $\text{L}\ 1.20$, viajan una media de $6000$ personas diarias. Un estudio técnico estima que por cada subida de $\text{L}\ 0.10$ en la tarifa se perderán $250$ pasajeros al día (y viceversa si se baja). La función de ingresos diarios se expresa como $I(x) = (1.20 + 0.10x)(6000 - 250x)$, donde $x$ es el número de incrementos de $\text{L}\ 0.10$.

1. a) Estime antes de calcular: Si se decide duplicar el precio del pasaje (pasando a costar $\text{L}\ 2.40$, lo que supone $x = 12$), ¿espera que los ingresos diarios sean mayores, menores o iguales a los $\text{L}\ 7200$ iniciales? Justifique cualitativamente su predicción sopesando el aumento de precio frente a la pérdida de usuarios.
2. b) Calcule: Desarrolle la expresión algebraica de $I(x)$ en la forma estándar $I(x) = ax^2 + bx + c$, halle las coordenadas de su vértice y deduzca el número de incrementos $x$ que maximiza la recaudación, el precio óptimo resultante del pasaje y el ingreso diario máximo.
3. c) Compruebe y reflexione: Calcule el valor exacto de $I(12)$ para comprobar cuantitativamente su estimación del apartado a) e interprete el resultado a partir del eje de simetría de la parábola. Por último, reflexione críticamente: desde la perspectiva del servicio público y la sostenibilidad urbana, ¿por qué no siempre es aconsejable fijar la tarifa en el vértice óptimo de la parábola si este implica una subida de precio?

Se considera la familia de funciones cuadráticas dada por $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, donde $m$ es un parámetro real con $m \neq 1$.

1. a) Determina razonadamente para qué valores de $m$ la gráfica de $f_m(x)$ tiene ramas abiertas hacia arriba (alcanzando un mínimo absoluto) y, a la vez, no corta en ningún punto al eje horizontal $X$. Expresa el conjunto de soluciones mediante un intervalo.
2. b) Sabiendo que una de las parábolas de esta familia tiene por eje de simetría la recta vertical $x = 2$, halla el valor concreto de $m$, escribe la ecuación desarrollada de dicha parábola y deduce su recorrido exacto justificando si la función está acotada superior o inferiormente.
3. c) Demuestra algebraicamente si existe algún valor de $m$ para el cual el vértice de la parábola se encuentre situado exactamente sobre el eje $X$. En caso afirmativo, calcula las coordenadas completas de dicho vértice; en caso negativo, razona por qué es imposible.