Ejercicios: Ecuación punto-pendiente de la recta

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.

Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.

Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.

Un plomero cobra $750$ lempiras por el traslado a domicilio y $500$ lempiras por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $1\,750$ lempiras, escriba la ecuación punto-pendiente que relaciona el costo total con las horas trabajadas, tomando como referencia este punto conocido.

En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia el punto $P$.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, utilizando en ambos casos el origen de coordenadas.

Alejandro tiene que hallar la ecuación general de la recta perpendicular a $r: 3x - 6y + 2 = 0$ que pasa por el punto $A(1, -2)$. En su examen escribe lo siguiente:

«Paso 1: La pendiente de la recta $r$ es $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Paso 2: Como las rectas perpendiculares tienen pendientes contrarias, la pendiente de la recta buscada debe ser $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Paso 3: Aplico la forma punto-pendiente: $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, que al operar da $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, y en forma general queda $x + 2y + 3 = 0$».

1. a) Identifica de forma precisa en qué paso comete el error y explica el fallo conceptual que comete Alejandro sobre la condición de perpendicularidad.
2. b) Corrige el ejercicio a partir de dicho paso y escribe la ecuación general ($Ax + By + C = 0$) correcta de la recta perpendicular.

Construye las ecuaciones generales ($Ax + By + C = 0$) de dos rectas distintas, $r$ y $s$, que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Ambas deben ser perpendiculares a la recta dada $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. La recta $r$ debe cortar al eje de ordenadas ($Y$) en un punto con coordenada $y$ negativa (elige tú dicho valor y justifícalo).

3. La recta $s$ debe pasar exactamente por el punto $P(4, 1)$.

Muestra razonadamente cómo deduces la pendiente común de $r$ y $s$ a partir de la recta $t$, y obtén la ecuación general de cada una.

Una compañía de alquiler de bicicletas cobra una cantidad fija por el servicio más un precio constante por hora de uso. Se sabe que por un alquiler de $3$ horas se pagan $350$ lempiras y por un alquiler de $5$ horas se pagan $500$ lempiras. Determine la pendiente de la función lineal de costo y escriba su ecuación punto-pendiente tomando los datos del primer cliente.

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.

Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, y luego verifica si las coordenadas de $C$ satisfacen dicha ecuación.

Un carro circula por una carretera recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$. Escriba la ecuación punto-pendiente que modela la posición del carro en función del tiempo transcurrido desde las $10:00$ horas, expresando el tiempo en horas.

A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación correspondiente en forma punto-pendiente.

La siguiente gráfica muestra el perfil de descenso a velocidad constante de un submarino. A partir de los puntos indicados, determina la ecuación punto-pendiente de su trayectoria.

El valor de un equipo informático se deprecia linealmente con el tiempo. Si se compró por $30\,000$ lempiras y al cabo de $4$ años su valor contable es de $10\,000$ lempiras, escribe la ecuación punto-pendiente que relaciona el valor del equipo con los años transcurridos, utilizando el punto correspondiente al cuarto año.

Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.

En una comarca de Castilla-La Mancha, dos localidades se sitúan sobre un mapa cartográfico en las coordenadas $A(1, 2)$ y $B(7, 4)$ (medidas en kilómetros). Una compañía de telecomunicaciones debe instalar una antena repetidora que equidiste de ambos municipios, lo que exige ubicarla sobre la recta mediatriz del segmento $AB$.

1. a) Modela analíticamente la situación calculando paso a paso la ecuación general de dicha recta mediatriz.
2. b) Una carretera autonómica sigue el trazado rectilíneo de la recta $r: x - y + 1 = 0$. Si la empresa decide instalar la antena justo al margen de esta carretera para facilitar su acceso, calcula las coordenadas exactas del punto donde debe colocarse.
3. c) Analiza las pendientes de la carretera $r$ y del segmento $AB$ para justificar matemáticamente si la carretera cruza perpendicularmente, de forma oblicua o si discurre paralela a la línea recta que une directamente ambos pueblos.

Se consideran los tres puntos del plano $P(-3, 8)$, $Q(1, 0)$ y $R(4, -6)$. Para averiguar si los tres puntos están alineados, se proponen dos procedimientos distintos:

• Método 1: Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por $P$ y $Q$, y comprobar después si las coordenadas de $R$ verifican dicha ecuación.

• Método 2: Calcular directamente la pendiente del segmento $PQ$ ($m_{PQ}$) y la del segmento $QR$ ($m_{QR}$), comparando si ambos valores coinciden.

1. a) Razona cuál de los dos métodos es más directo y eficiente, indicando qué ventajas presenta respecto al número de operaciones y al riesgo de error algebraico.
2. b) Aplica el método elegido para justificar si $P$, $Q$ y $R$ están o no alineados.
3. c) Utiliza el planteamiento de pendientes para determinar el valor de la coordenada desconocida $k$ de modo que el punto $S(k, -10)$ también esté alineado con ellos.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y $s: x - 3y + 3 = 0$.

Halla la ecuación punto-pendiente de la mediatriz del segmento de extremos $A(-4, 2)$ y $B(2, 6)$. Recuerda que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.

La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y hierve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduce la ecuación punto-pendiente que permite convertir grados Celsius a Fahrenheit utilizando el punto de congelación. A continuación, úsala para calcular la temperatura en Fahrenheit equivalente a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.

Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de corte de la recta con los ejes.

En un modelo económico simple, la cantidad demandada de un producto disminuye linealmente a medida que aumenta su precio. A un precio de $500$ lempiras, se demandan $500$ unidades, y se ha observado que por cada incremento de $50$ lempiras en el precio, la demanda cae en $50$ unidades. Escribe la ecuación punto-pendiente de la demanda tomando el primer dato como referencia, y calcula a qué precio la demanda será nula.

Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano perfecto), el rayo se refleja. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla la ecuación punto-pendiente del rayo reflejado tomando como referencia el punto de impacto en el espejo.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(2, -1)$ y que, al cortarse con los semiejes de coordenadas (eje de abscisas positivo y eje de ordenadas negativo), forma un triángulo rectángulo de área $4$ unidades cuadradas.

En un operativo en el mar Caribe, la Fuerza Naval de Honduras detecta dos embarcaciones a la deriva en las posiciones $A(-6, -2)$ y $B(2, 4)$ (en millas náuticas respecto al centro de control en $(0,0)$). Un helicóptero de rescate debe patrullar a lo largo de la recta mediatriz del segmento $AB$ para mantenerse siempre a la misma distancia de ambas señales.

1. a) Antes de realizar cálculos analíticos, realice una estimación razonada: deduzca cuál debe ser el signo de la pendiente de la mediatriz y si su ordenada en el origen será positiva o negativa, justificando su predicción a partir de las posiciones de $A$, $B$ y de su punto medio en el plano cartesiano.
2. b) Calcule la ecuación explícita ($y = mx + n$) de la mediatriz y compruebe si los valores obtenidos de $m$ y $n$ confirman con precisión sus deducciones del apartado anterior.
3. c) La base costera del helicóptero se sitúa en $C(6, -8)$. Si la aeronave despega siguiendo la trayectoria rectilínea dada por $4x + 3y = 0$, justifique mediante el análisis de pendientes qué relación geométrica guarda dicha trayectoria de salida con la recta que une directamente a las dos embarcaciones ($AB$) y con la línea de patrulla (la mediatriz).

Se considera la recta fija $s: 4x - 6y + 5 = 0$ y una familia de rectas dependientes de un parámetro real $k$, definidas por $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Determina de forma razonada el valor de $k$ para el cual la recta $r_k$ es paralela a $s$.
2. b) Determina el valor de $k$ para el cual la recta $r_k$ es perpendicular a $s$.
3. c) Un compañero de clase afirma: «Si una tercera recta $t$ cualquiera es perpendicular a $s$, entonces obligatoriamente $t$ será secante a $r_k$ sin importar el valor que tome el parámetro $k$». Razona geométrica y algebraicamente si la afirmación de tu compañero es verdadera o falsa, analizando qué ocurre con la pendiente de $t$ en comparación con los casos calculados en los apartados a) y b).