Ejercicios: Otras ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto:

$|2x - 5| = 7$

Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

Carlos debe resolver en un examen la ecuación logarítmica $\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (donde el logaritmo está en base 10). En su hoja escribe el siguiente desarrollo:

1. Aplico la propiedad de la suma de logaritmos: $\log[x(x - 3)] = 1$.

2. Por definición de logaritmo: $x(x - 3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

3. Resuelvo la ecuación cuadrática: $(x - 5)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 5$ y $x_2 = -2$.

4. Comprobación: al sustituir $x = -2$, tenemos $(-2)\times(-2 - 3) = (-2)\times(-5) = 10 > 0$; como el argumento resultante es positivo, ambas soluciones son válidas.

1. a) Identifica el error conceptual cometido por Carlos y explica por qué su argumento del paso 4 es incorrecto al aplicarse a la ecuación original.
2. b) Determina el dominio de validez de la ecuación de partida y escribe el conjunto final de soluciones reales válidas.

Diseña una ecuación bicuadrada de la forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ (con coeficientes enteros $b, c \in \mathbb{Z}$) que cumpla simultáneamente dos condiciones:

1. Sus únicas soluciones reales deben ser $x = 2$ y $x = -2$.

2. La ecuación cuadrática auxiliar en $t$ ($t = x^2$) debe tener dos soluciones reales distintas (es decir, discriminante estrictamente positivo, $\Delta > 0$).

Muestra paso a paso cómo deduces los valores de $b$ y $c$, justificando qué signo debe tener cada raíz de la variable auxiliar $t$ y por qué esa elección garantiza que la ecuación original no tenga cuatro soluciones reales.

La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.

Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.

Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \times 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.

Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.

Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \times e^{-0.05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ gramos de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos neperianos.

Considera la ecuación exponencial $4^x + 2^{x+1} = 80$.

1. a) Antes de resolverla algebraicamente, acota razonadamente entre qué dos números enteros se encuentra la solución real. Para ello, evalúa mentalmente el miembro izquierdo para $x = 2$ y para $x = 4$, y justifica dicha acotación a partir del crecimiento estricto de las funciones exponenciales.
2. b) Resuelve formalmente la ecuación realizando el cambio de variable $u = 2^x$. Justifica con precisión qué raíz de la ecuación de segundo grado auxiliar se descarta y por qué motivo teórico.
3. c) Comprueba si el valor exacto obtenido coincide con tu estimación previa y verifica la igualdad numérica en la ecuación original.

Para resolver la ecuación polinómica $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$, dos compañeros de clase proponen caminos distintos:

• Lucía propone buscar una raíz entera tanteando entre los divisores de 12 y factorizar aplicando la regla de Ruffini.

• Marcos sugiere agrupar términos por parejas: $(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$, y extraer factores comunes consecutivos sin necesidad de tantear divisores.

1. a) Resuelva la ecuación siguiendo el método de Lucía, mostrando la tabla de Ruffini y la ecuación de segundo grado resultante.
2. b) Resuelva la ecuación siguiendo el método de Marcos, detallando cada extracción de factor común.
3. c) Compare ambos procedimientos: razone cuál resulta más eficiente en este caso concreto y explique si el método de Marcos sería aplicable a cualquier ecuación de tercer grado o si exige una relación particular entre los coeficientes (apoye su respuesta con un contraejemplo).

Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.

Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ km/h, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.

Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ km río abajo de la torre y a $1$ km tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ km, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4.2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado:

$||x - 2| - 3| = 1$

Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esas cuatro cifras, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro cifras.

Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte algebraicamente.

En una finca agrícola del Valle de Comayagua (Honduras), se proyecta construir una poza de riego rectangular a cielo abierto para optimizar el almacenamiento de agua ante periodos de sequía.

El diseño técnico establece que la base tendrá una longitud que supere en $8\text{ metros}$ a su anchura $x$. Por motivos geotécnicos de estabilidad de los taludes, la profundidad (altura) de la poza debe ser exactamente igual a la mitad de su anchura.

1. a) Sabiendo que el volumen neto requerido es de $96\text{ m}^3$, plantee la ecuación polinómica en su forma general $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ que modela la capacidad de la poza en función de su anchura $x$.
2. b) Resuelva la ecuación factorizando el polinomio mediante el teorema del residuo y la regla de Ruffini. Demuestre, analizando el discriminante del polinomio cociente, que no existen otras dimensiones reales posibles.
3. c) Indique las dimensiones finales de la poza (anchura, longitud y profundidad).
4. d) Si una normativa técnica posterior limitara la profundidad máxima a $1.5\text{ metros}$ manteniendo las mismas relaciones del diseño (longitud $x+8$ y profundidad igual a la mitad de la anchura), razone algebraicamente (sin necesidad de resolver una nueva ecuación completa) por qué sería imposible alcanzar el volumen exigido de $96\text{ m}^3$.

Considera la familia de ecuaciones exponenciales dependientes del parámetro real $k$:

1. a) Aplica el cambio de variable $u = 2^x$ para transformar la ecuación en una de segundo grado y formula explícitamente la restricción algebraica que debe satisfacer cualquier solución de $u$ para generar una solución real de $x$.
2. b) Discute razonadamente el número de soluciones reales de la ecuación original en función de los valores del parámetro $k$. Determina con precisión para qué valores o intervalos de $k$ la ecuación:

1. Tiene exactamente dos soluciones reales distintas.

2. Tiene una única solución real.

3. No tiene ninguna solución real.

(Justifica tu clasificación analizando el discriminante de la ecuación en $u$ y los signos de sus raíces mediante la suma y el producto de Cardano-Viète).

1. c) Para el caso particular $k = 3$, calcula todas las soluciones exactas de la ecuación (empleando logaritmos cuando no sea una potencia entera de la base).

Reto del tema. ¿Cómo influye el clima en el consumo energético de su hogar? Diseñe un modelo matemático para optimizar el uso de la climatización según la temperatura exterior.

Fase 1. Datos reales. Consulte en la web de COPECO o del Servicio Meteorológico Nacional de Honduras las temperaturas máxima y mínima de su municipio en los últimos tres días. Calcule la media ($T_m$) y plantee una ecuación con valor absoluto, $|T - T_m| = k$ con $k = 3$ °C, para hallar los dos umbrales críticos de confort térmico.

Fase 2. Resolución algebraica.

1) Modele el costo medio horario según las horas de uso $t$ mediante una ecuación racional: $\frac{12t + 35}{t} = 14.5$. Despeje y analice su viabilidad.

2) Modele el flujo térmico con una ecuación irracional que conduzca a una de segundo grado: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$. Resuelva analíticamente en su cuaderno, verificando y descartando posibles soluciones falsas.

Fase 3. GeoGebra y conclusiones. Represente en GeoGebra las funciones asociadas (valor absoluto, racional y la parábola derivada del radical) para visualizar los puntos de corte. Redacte un informe breve con sus gráficas y una recomendación razonada de consumo doméstico.

Se valorará:

• Precisión en la resolución analítica de las ecuaciones y discriminación de soluciones no válidas.

• Uso correcto de GeoGebra para contrastar geométricamente los resultados algebraicos.

• Coherencia y rigor del informe al vincular los datos del Servicio Meteorológico con la propuesta final.