Ejercicios: Ecuaciones con valor absoluto

Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto:

$|3x - 5| = 7$

Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación:

$2|x + 4| - 10 = 0$

Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto:

$|x^2 - 9| = 0$

Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos:

$|2x - 1| = |x + 3|$

Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta:

$|5x + 2| = -4$

Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.

Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios:

$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación:

$|x^2 - 5x| = 6$

En la recta real, la distancia entre dos números $x$ y $a$ se expresa mediante $|x - a|$. A partir de esta interpretación geométrica:

1. a) Escribe una ecuación con valor absoluto de la forma $|x - c| = d$ (con $d > 0$) cuyo conjunto de soluciones sea exactamente $\{-3, 7\}$. Justifica la elección de los valores numéricos de $c$ (centro o punto medio) y de $d$ (distancia a los extremos).
2. b) Resuelve formalmente la ecuación que has planteado en el apartado anterior para comprobar de forma analítica que produce exactamente esas dos soluciones.

Para resolver la ecuación $|2x - 8| = -4$, Marcos escribe el siguiente procedimiento en su cuaderno:

Marcos concluye que la ecuación tiene dos soluciones: $x = 2$ y $x = 6$.

1. a) Explica razonadamente el error conceptual que comete Marcos en el punto de partida, antes de realizar cualquier despeje, recurriendo a la definición geométrica del valor absoluto.
2. b) Sustituye los valores $x = 2$ y $x = 6$ en la ecuación original para mostrar la contradicción aritmética a la que conduce su planteamiento.
3. c) Determina cuál es el verdadero conjunto de soluciones de la ecuación.

Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido:

$|x - 5| = 2x - 1$

Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$:

$x^2 - 4|x| - 5 = 0$

Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en metros) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia $|2L - 150| = 1.5$. Calcula las longitudes máxima y mínima aceptables para el cable.

Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones exactas $x$ donde esto ocurre, asegurándote de descartar las soluciones no válidas.

Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto:

$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$

En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $3\,000$ lempiras es proporcional al propio precio, modelado por la ecuación $|P - 3\,000| = \frac{P}{5}$. Calcule los precios exactos que cumplen esta condición.

Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original:

$|x^2 - 4x| = 3x - 6$

Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución tampón viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del pH. Calcula los posibles valores de $p$ y descarta aquellos que carezcan de sentido físico o matemático en esta ecuación.

En una cooperativa olivarera de Jaén se envasa aceite de oliva virgen extra en botellas con un volumen nominal de $1\text{ litro}$. Durante una auditoría de control de calidad, el sensor de llenado detecta que el volumen real de líquido $V$ (en litros) de las partidas anómalas cumple la siguiente igualdad:

1. a) Deduce la condición matemática que debe cumplir la expresión del miembro derecho ($0.5 \times V + 0.15 \ge 0$) para que la ecuación pueda tener solución e interpreta qué significa respecto al volumen admisible de las botellas.
2. b) Resuelve la ecuación separando los dos casos correspondientes y valida si las soluciones candidatas obtenidas satisfacen la condición del apartado anterior.
3. c) Calcula el error absoluto de cada volumen válido respecto al litro nominal ($|V - 1|$) y determina cuál de los dos envases defectuosos presenta una mayor desviación volumétrica.

Considera la ecuación con dos valores absolutos sumados:

1. a) Estima: Interpreta geométricamente $|x - 3|$ y $|x - 7|$ como las distancias de un punto $x$ de la recta real a los puntos $3$ y $7$. ¿Cuánto vale la suma de ambas distancias si $x$ se encuentra situado en el interior del segmento $[3, 7]$? A partir de esa observación, razona por qué las soluciones no pueden estar en dicho intervalo, estima cuántas soluciones debe tener la ecuación y deduce simétricamente a qué distancia de los extremos $3$ y $7$ deben encontrarse.
2. b) Comprueba: Resuelve la ecuación de forma rigurosa dividiendo la recta real en tres intervalos delimitados por los valores críticos $x = 3$ y $x = 7$, eliminando las barras según el signo de cada argumento en cada tramo.
3. c) Compara los valores exactos hallados en el apartado (b) con las deducciones que hiciste en la estimación del apartado (a).

Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados:

$||2x - 1| - 4| = 5$

Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos:

$|x - 2| + |x + 3| = 7$

Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas.

En la figura tienes la gráfica de $f(x)=|x^2-4x+3|$. Úsala para razonar cuántas soluciones tiene la ecuación según la altura de la recta horizontal $y=k$, y justifica el valor de $k$ con cálculos.

Resuelve la siguiente ecuación racional que involucra un valor absoluto. Presta especial atención a los valores que anulan el denominador:

$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$

El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en metros. Para colocar una viga de soporte horizontal a una altura de $y = 6$ metros, resuelve la ecuación $|x - 4| + |x - 8| = 6$ para encontrar las coordenadas $x$ de los extremos del soporte.

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada:

$x^2 - 2|x - 1| = 2$

Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la ecuación $2|x| - |x - 10| = 5$. Encuentra las coordenadas exactas $x$ donde el robot puede detenerse.

Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal:

$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$

Se plantea resolver en $\mathbb{R}$ la ecuación con dos valores absolutos igualados:

Para resolverla, tres alumnos proponen caminos distintos:

• Método 1 (por intervalos): Determinar los signos de $2x - 3$ y de $x + 4$ dividiendo la recta real en tres regiones mediante los puntos críticos $x = -4$ y $x = 1.5$, retirando las barras de forma fija en cada tramo.

• Método 2 (propiedad de simetría): Aplicar directamente la equivalencia $|A| = |B| \iff A = B \text{ o } A = -B$.

• Método 3 (elevación al cuadrado): Elevar ambos miembros al cuadrado para obtener $(2x - 3)^2 = (x + 4)^2$ y resolver la ecuación cuadrática resultante.

1. a) Resuelve la ecuación aplicando el Método 2 y comprueba la validez de las soluciones obtenidas.
2. b) Resuelve la ecuación aplicando el Método 3, expresándolo como diferencia de cuadrados $(2x - 3)^2 - (x + 4)^2 = 0$ y factorizando sin llegar a desarrollar los polinomios completos.
3. c) Compara críticamente los tres métodos: justifica por qué el Método 2 es el más eficiente en este caso y argumenta qué desventajas o riesgos de cálculo algebraico innecesario presentan los Métodos 1 y 3.

Se desea construir una ecuación con valores absolutos anidados de la forma:

donde $a$, $b$ y $c$ son números reales con $b > 0$ y $c > 0$, de tal manera que se cumplan simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. La ecuación tiene exactamente tres soluciones reales distintas.

2. La menor de las soluciones es $x = -2$.

3. La mayor de las soluciones es $x = 8$.

1. a) Despeja la ecuación 'de fuera hacia dentro' separándola en las dos ramas que genera el valor absoluto exterior. A partir de esas dos ramas, deduce razonadamente qué relación obligatoria debe existir entre los parámetros $b$ y $c$ para que la ecuación genere exactamente tres soluciones (y no dos ni cuatro).
2. b) A partir de la deducción anterior y de las soluciones extremas dadas ($x = -2$ y $x = 8$), calcula los valores numéricos exactos de las constantes $a$, $b$ y $c$.
3. c) Escribe la ecuación final con los parámetros obtenidos y resuélvela paso a paso para comprobar que las tres soluciones encontradas verifican todas las condiciones impuestas.