Ejercicios: Variaciones

En una carrera de $100\text{ m}$ lisos participan $8$ atletas. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las medallas de oro, plata y bronce sabiendo que no puede haber empates?

Lanzamos un dado cúbico tradicional de $6$ caras $4$ veces consecutivas y anotamos el resultado de cada tirada por orden. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener en total?

Cinco amigos van al cine y encuentran una fila con $4$ butacas libres consecutivas. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse para ver la película?

Lanzamos una moneda al aire $6$ veces consecutivas y anotamos la secuencia exacta de caras y cruces obtenidas. ¿Cuántas secuencias distintas se pueden llegar a formar?

En una galería de arte se van a exponer $2$ cuadros seleccionados de una colección privada de $7$ obras. Uno se colocará en la pared izquierda de la sala y el otro en la pared derecha. ¿De cuántas formas diferentes se puede organizar esta exposición?

Queremos pintar $3$ buzones alineados en una calle. Disponemos de $4$ colores distintos (rojo, verde, azul y amarillo). Si podemos repetir colores en distintos buzones, ¿de cuántas formas diferentes podemos pintarlos?

Un club de lectura tiene $9$ miembros. Deben elegir una junta directiva formada por una presidencia, una vicepresidencia y una secretaría. Como los cargos son distintos y cada persona solo puede ocupar uno, ¿de cuántas formas puede formarse la junta?

Un examen tipo test consta de $5$ preguntas. Cada pregunta tiene $3$ opciones de respuesta (A, B y C) de las cuales solo se puede marcar una. Si un alumno responde a todas las preguntas, ¿de cuántas formas distintas se puede rellenar el examen?

Para acceder al casillero del gimnasio del colegio, Lucía debe configurar una clave secreta de $3$ dígitos distintos elegidos exclusivamente entre los números primos menores que $10$, es decir, del conjunto $\{2, 3, 5, 7\}$. Su compañero Marcos afirma: «Como importa el orden de los dígitos y disponemos de $4$ elementos para formar grupos de $3$, el número total de claves posibles es $VR_{4,3} = 4^3 = 64$».

1. a) Encuentre el error conceptual cometido por Marcos y explique claramente qué condición del enunciado ha ignorado.
2. b) Corrija su planteamiento deduciendo la fórmula adecuada y calcule el número real de claves distintas que Lucía puede programar.

En una clase de 4.º de ESO con $25$ estudiantes se va a elegir a la junta de delegados para el curso, formada por tres cargos diferenciados: delegado, subdelegado y secretario. Un mismo estudiante no puede ocupar más de un cargo.

1. a) Sin realizar el cálculo detallado con la fórmula, estima razonadamente si el número total de juntas posibles estará más cerca de $1\,000$, de $15\,000$ o de $100\,000$. Justifica brevemente el redondeo o aproximación mental que has utilizado.
2. b) Modela la situación calculando el valor exacto mediante la fórmula de combinatoria adecuada. Comprueba si el resultado confirma tu estimación y explica por qué el orden de elección resulta determinante en este reparto.

El sistema de matrículas de un país está formado por un bloque de $4$ dígitos (del $0$ al $9$) seguido de un bloque de $2$ letras elegidas de un alfabeto de $20$ consonantes. En ambos bloques se permite la repetición de caracteres. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden emitir en total con este formato?

Utilizando los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, ¿cuántos números pares de $3$ cifras se pueden formar si no está permitido repetir ninguna cifra en el mismo número?

En informática, un byte es una secuencia de $8$ bits (donde cada bit puede ser un $0$ o un $1$). ¿Cuántos bytes diferentes existen que comiencen exactamente por la secuencia $10$?

Una empresa tiene $8$ empleados y debe asignar $5$ tareas diferentes a $5$ empleados distintos (una tarea por persona). Si se sabe que la primera tarea debe ser realizada obligatoriamente por el empleado más veterano, ¿de cuántas formas se pueden repartir las tareas?

¿Cuántos números de $4$ cifras se pueden formar con los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (pudiendo repetir cifras) que sean estrictamente mayores que $3000$?

En una liga de baloncesto participan $14$ equipos. Cada equipo debe jugar contra todos los demás dos veces a lo largo del año (un partido en casa y otro como visitante). ¿Cuántos partidos se jugarán en total durante toda la temporada?

Un candado de seguridad para bicicletas tiene $3$ ruedas independientes, cada una numerada del $0$ al $9$. Calcula la diferencia entre el número total de combinaciones posibles (permitiendo repetición) y el número de combinaciones en las que los tres dígitos deben ser estrictamente distintos.

En el código Morse, las letras se representan mediante secuencias de puntos y rayas. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar utilizando como máximo $3$ símbolos por señal?

El Servicio Meteorológico Nacional (SMN) utiliza códigos identificativos para catalogar sus estaciones automáticas en Honduras. Cada código consta de una letra inicial que identifica la cuenca hidrográfica (se usan $8$ letras posibles: B, C, D, E, M, N, S o V) seguida de un bloque de $4$ dígitos numéricos.

1. a) Si los $4$ dígitos se eligen del $0$ al $9$ y pueden repetirse sin restricción, ¿cuántos códigos de estación diferentes se pueden generar para una misma cuenca hidrográfica? ¿Y en el conjunto de las $8$ cuencas?
2. b) Para una red especial de alta montaña se decide que los $4$ dígitos deben ser todos distintos y ninguno puede ser el cero. Justifique si este nuevo bloque numérico se modeliza con variaciones ordinarias o con repetición, y calcule cuántos códigos distintos quedan disponibles por cuenca hidrográfica bajo este criterio.

El departamento de informática de un centro educativo está creando identificadores temporales de acceso para el alumnado. Los códigos se generan ordenando $k$ cifras distintas tomadas del conjunto de números impares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, sin repetir ninguna cifra dentro del mismo código.

1. a) Si el servidor ha registrado exactamente $60$ identificadores posibles en total, plantea una ecuación utilizando la definición de variación sin repetición donde la incógnita sea la longitud $k$ del código, y halla razonadamente su valor.
2. b) Si las normas de seguridad cambiaran y ahora se permitiese repetir cifras manteniendo la misma longitud $k$ hallada en el apartado anterior, ¿cuántos códigos totales se podrían crear? Compara ambos resultados calculando cuántos identificadores adicionales se ganan y explica por qué la repetición incrementa las opciones.

En un torneo de ajedrez se juega a doble vuelta (cada jugador se enfrenta a todos los demás dos veces, alternando el color de las piezas). Si se sabe que en total se han disputado $90$ partidas, plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula de las variaciones y halla cuántos jugadores participaron en el torneo.

¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Ten en cuenta que, por definición, un número válido no puede empezar por la cifra $0$.

Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, $35853$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos del $1$ al $9$?

Para acceder a una base de datos segura se requiere una contraseña de $5$ caracteres. Por seguridad, el sistema exige que los dos primeros caracteres sean vocales (se permite que se repitan) y los tres últimos caracteres deben ser números del $0$ al $9$ (sin que ninguno se repita). ¿Cuántas contraseñas distintas cumplen este formato?

Una clase está formada por $6$ chicos y $5$ chicas. Se quiere elegir un comité compuesto por presidencia, vicepresidencia y secretaría. La presidencia debe ocuparla obligatoriamente una chica, la vicepresidencia un chico, y la secretaría puede ocuparla cualquiera de los alumnos restantes. ¿De cuántas formas se puede elegir el comité?

Se quiere diseñar una bandera con $4$ franjas verticales. Se dispone de $5$ colores distintos. ¿De cuántas formas se puede colorear la bandera si la única condición es que dos franjas adyacentes (juntas) no pueden tener el mismo color?

Sabiendo que el número de variaciones con repetición de $x$ elementos tomados de $2$ en $2$ excede en $12$ al número de variaciones sin repetición de los mismos $x$ elementos tomados de $2$ en $2$, plantea la ecuación matemática correspondiente y halla el valor de $x$.

Cinco personas suben a un vagón de tren en el que hay $8$ asientos libres. Dos de estas personas son pareja y quieren sentarse obligatoriamente en un par de asientos contiguos específicos que están junto a la ventana. Sabiendo que a la pareja le importa quién se sienta en la ventana y quién en el pasillo, ¿de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos las cinco personas?

Se quieren formar números de $4$ cifras distintas utilizando únicamente los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, con la condición indispensable de que el número resultante sea par. Dos estudiantes debaten sobre la mejor estrategia para contarlos:

• Estrategia de Sergio (método directo): «Primero fijamos la última cifra, que debe ser par ($\{2, 4, 6\}$), y luego completamos las otras $3$ posiciones eligiendo y ordenando cifras entre las $6$ restantes».

• Estrategia de Alba (método complementario): «Calculamos todos los números posibles de $4$ cifras distintas sin restricciones y le restamos aquellos que terminan en cifra impar».

1. a) Desarrolla por completo ambos métodos aplicando las fórmulas de variaciones correspondientes y comprueba que se llega exactamente al mismo número total.
2. b) Si añadiéramos una segunda restricción simultánea: «el número debe ser par y además mayor que $5\,000$», analiza razonadamente cuál de los dos métodos resultaría más conveniente y describe qué dificultades añadidas plantearía el método descartado.

En la Liga de Debate de un departamento, los colegios presentan equipos formados inicialmente por $n$ oradores. La competencia consta de dos fases con distinta asignación de papeles:

• En la fase local, cada colegio debe seleccionar a $2$ de sus $n$ oradores para desempeñar roles específicos y diferenciados: «orador de apertura» y «orador de conclusión».

• En la fase departamental, la organización permite ampliar el equipo del colegio incorporando a $2$ oradores más ($n+2$ oradores en total), y se deben cubrir $3$ roles diferenciados: «apertura», «refutación» y «conclusión», sin que un estudiante pueda asumir más de un papel.

La organización constata que el número de ternas posibles de oradores para la fase departamental es exactamente $12$ veces el número de parejas posibles de la fase local.

1. a) Modele la situación planteando una ecuación algebraica que relacione ambas fases mediante la fórmula de las variaciones sin repetición.
2. b) Resuelva la ecuación simplificando los desarrollos factoriales y obtenga los posibles valores de $n$.
3. c) Sabiendo que el reglamento exige que para la fase local el equipo cuente con al menos $3$ oradores para garantizar suplencias ($n \ge 3$), determine razonadamente cuál es el número $n$ de oradores iniciales y compruebe que la solución satisface la condición teórica $k \le n$ en ambas fases.