Ejercicios: Permutaciones

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \times 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.

Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?

¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?

En una galería de arte se van a exponer $5$ cuadros de un artista local colgándolos en línea recta sobre una pared principal. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar las obras?

Durante una competición de atletismo escolar, $7$ corredores llegan a la meta sin que se produzca ningún empate. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden darse al finalizar la carrera?

Un festival de música tiene programadas las actuaciones de $4$ bandas de rock para la noche del sábado. ¿De cuántas formas se puede organizar el orden en el que subirán al escenario a tocar?

Para configurar una contraseña segura, una aplicación exige usar exactamente los caracteres $A, B, C, 1, 2$, sin repetir ninguno de ellos. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden crear en el sistema?

Simplifica la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \times (n+1)}$.

Marcos quiere calcular cuántas palabras distintas, tengan o no sentido, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra «PATATA». En su examen escribe lo siguiente:

«Como la palabra tiene 6 letras, hay $6! = 720$ ordenaciones. Pero como la letra A se repite 3 veces y la letra T se repite 2 veces, se las resto al total: $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ palabras posibles».

Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos, explica con tus propias palabras por qué la operación de restar factoriales no tiene sentido en este contexto de ordenaciones y calcula la solución correcta aplicando y justificando la fórmula adecuada.

Cuatro amigos van a merendar a una cafetería del centro de la ciudad. Dudan entre sentarse en una barra con 4 taburetes en fila o sentarse en una mesa circular de 4 plazas donde únicamente importa la posición relativa entre ellos (quién queda a la izquierda o a la derecha de quién).

1. a) Antes de aplicar ninguna fórmula, estima de forma razonada cuál de las dos situaciones ofrecerá un mayor número de ordenaciones distintas y aventura qué relación aproximada habrá entre ambos resultados.
2. b) Calcula de forma exacta el número de ordenaciones en la barra ($P_4$) y en la mesa redonda ($PC_4$).
3. c) Comprueba si el cálculo confirma tu estimación inicial y razona por qué el hecho de fijar a una persona como referencia en la mesa reduce el total de ordenaciones exactamente en ese factor.

Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Amina y Josué, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse los cinco amigos cumpliendo siempre esta condición?

Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera amarilla, todas del mismo tamaño, ¿cuántas señales distintas puede enviar usando todas las banderas a la vez?

Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición relativa entre ellos y no la silla exacta que ocupan en el salón?

¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?

En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado en último lugar debido a una lesión, ¿de cuántas formas distintas han podido clasificarse los demás participantes en las posiciones intermedias?

En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. ¿Cuántos caminos diferentes de longitud mínima puede tomar para realizar la entrega?

Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos códigos distintos puede programar el sistema?

Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ butacas para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de forma que los sexos queden estrictamente alternados (chico-chica-chico... o chica-chico-chica...)?

Un camión de reparto de Honduras Correos (HONDUCOR) debe desplazarse por el trazado en cuadrícula del centro de Tegucigalpa. Parte de una bodega y debe llegar a un punto de entrega situado a 4 cuadras hacia el este y 3 cuadras hacia el norte. El camión siempre sigue trayectos de longitud mínima, desplazándose exclusivamente hacia el este ($E$) o hacia el norte ($N$) en cada tramo.

1. a) Modele esta situación mediante permutaciones con repetición justificando por qué cada ruta posible equivale a una secuencia de letras de longitud fija y calcule el número total de caminos mínimos distintos.
2. b) Si la intersección situada a 2 cuadras al este y 1 cuadra al norte del origen está completamente cerrada por obras municipales, calcule cuántos caminos mínimos quedan disponibles que eviten pasar obligatoriamente por dicho cruce. Justifique el procedimiento que ha seguido.

Una baraja de entrenamiento para cálculo mental contiene 8 cartas en total. Dos de ellas son de color rojo, y el resto son cartas azules y cartas verdes. Al disponer todas las cartas en fila sobre la mesa, se comprueba que se pueden formar exactamente 420 ordenaciones distintas atendiendo únicamente a la secuencia de colores.

1. a) Plantea una ecuación combinatoria que relacione el número de cartas azules ($a$) y el número de cartas verdes ($v$) con el total de ordenaciones posibles.
2. b) Deduce cuántas cartas azules y cuántas cartas verdes componen la baraja. Justifica por qué aparecen dos soluciones numéricas simétricas y explica su significado práctico.

Encuentra el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente tu respuesta: $P_x = 30 \times P_{x-2}$.

¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la letra $E$ y terminen por la letra $A$?

Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el protocolo exige que no se sienten uno al lado del otro. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse en la mesa cumpliendo esta restricción?

En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de Química. Si la bibliotecaria exige que los libros de la misma materia deben permanecer siempre juntos formando un bloque, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar en la balda?

Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas reparaciones en el suelo, el nodo $C$ está bloqueado y el robot no puede pasar por él. ¿Cuántas trayectorias válidas existen para completar el recorrido?

Calcula cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.

Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en un diccionario), ¿qué posición ocupará exactamente la palabra "LIBRO" en esa lista?

Simplifica las fracciones algebraicas y resuelve la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

En un simposio científico organizado en el CSIC participan 6 ponentes: 3 especialistas en física y 3 en matemáticas. Van a intervenir de forma consecutiva en una misma sala y el comité organizador exige que no haya dos físicos interviniendo seguidos. Para determinar cuántas programaciones válidas existen, dos estudiantes plantean caminos diferentes:

• Lucía propone el método del complementario: «Calculamos todas las ordenaciones posibles de los 6 ponentes y restamos aquellas en las que los físicos aparecen juntos».

• Sergio propone el método de los huecos: «Colocamos primero a los 3 matemáticos en fila, identificamos los huecos disponibles entre ellos y en los extremos, y ubicamos allí a los físicos».

1. a) Analiza ambas propuestas y explica con precisión por qué la estrategia de Lucía resulta sumamente compleja y propensa al error en este caso concreto (señala qué casos solapados o diferentes tendría que distinguir al intentar restar).
2. b) Desarrolla por completo la estrategia de Sergio descomponiendo los factores mediante permutaciones, calcula el resultado final y concluye justificando por qué este método es más seguro y eficiente.

En una cumbre diplomática celebrada en Comayagua se organiza una cena para 8 mandatarios en una mesa circular de 8 asientos, donde únicamente se tiene en cuenta la posición relativa de los comensales entre sí. El servicio de protocolo impone dos restricciones simultáneas:

1. Los mandatarios de España y Portugal deben sentarse juntos obligatoriamente, uno al lado del otro.

2. Los mandatarios de Francia y Alemania deben sentarse en posiciones diametralmente opuestas (enfrentados directamente a través del centro de la mesa).

Diseñe una estrategia rigurosa para contar las configuraciones posibles fijando un comensal como referencia para romper la simetría circular, analice detalladamente cuántas posiciones compatibles quedan para el bloque hispano-luso y para el resto de delegaciones, y deduzca el número total de formas válidas de sentar a los 8 mandatarios.