Ejercicios: Operaciones con complejos en forma polar

Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.

Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.

Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.

Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.

Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario manteniendo la misma distancia. ¿Por qué número complejo en forma polar debe multiplicar $z$ para obtener su nueva trayectoria, y cuál es la posición final?

Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.

Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar:

Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.

Carmen está resolviendo un ejercicio de potencias de números complejos en forma polar y escribe en su cuaderno el siguiente desarrollo: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \times 5)_{30^\circ \times 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Localice y explique de forma razonada el error conceptual cometido por Carmen al calcular el módulo. Justifique geométricamente por qué en la fórmula de Moivre el módulo se eleva a la potencia y no se multiplica por el exponente.
2. b) Corrija el cálculo escribiendo el resultado correcto en forma polar.
3. c) Pase el resultado correcto a forma binómica e indique en qué cuadrante del plano complejo se sitúa su afijo.

Dados los números complejos $z_1 = 4_{45^\circ}$ y $z_2 = 2_{120^\circ}$:

1. a) Antes de calcular, realiza una estimación razonada: ¿en qué cuadrante del plano complejo se encontrará el producto $z_1 \times z_2$? ¿Su distancia al origen será mayor o menor que la de $z_1$? Razona de forma similar para el cociente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Comprueba tus estimaciones calculando de forma exacta el producto $z_1 \times z_2$ y el cociente $\dfrac{z_1}{z_2}$ en forma polar, reduciendo los argumentos al intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) A partir del resultado del cociente, calcula su inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ en forma polar y comprueba si su módulo es $0.5$ y si su argumento coincide con el que obtendrías al calcular directamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje real horizontal y eje imaginario vertical).

En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si las impedancias de los componentes son $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ y $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, halla la impedancia total $Z_T$ en forma polar. Pista: pasa a forma binómica para realizar la suma.

Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en forma binómica.

Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.

Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.

Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en kilómetros). A continuación, el centro de control le envía una instrucción que equivale a multiplicar su posición actual por el complejo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcula las coordenadas polares de su posición final y explica qué transformación geométrica ha sufrido respecto a su vector de posición inicial.

Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.

Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar:

Para calcular la potencia $(-\sqrt{3} + i)^6$, dos estudiantes de 1.º de Bachillerato proponen caminos diferentes:

• Mateo propone desarrollarlo directamente mediante el binomio de Newton: $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• Sofía propone transformar la base a forma polar, aplicar la fórmula de Moivre y expresar el resultado final en forma binómica.

1. a) Compara razonadamente ambos métodos analizando el número de términos a calcular y la probabilidad de cometer errores de cálculo (signos, potencias de $i$, coeficientes combinatorios).
2. b) Justifica cuál es el método óptimo y ejecútalo paso a paso para hallar el resultado final exacto en forma polar y en forma binómica.
3. c) Si el exponente fuera $2$ en vez de $6$, ¿seguiría siendo el método de Sofía claramente superior? Justifica tu respuesta comparando el esfuerzo algebraico en ese caso.

En un parque eólico situado en Albacete, un aerogenerador tiene tres palas de $60\text{ m}$ de longitud dispuestas simétricamente alrededor del buje central con un desfase angular de $120^\circ$ entre sí. Situamos el origen de coordenadas en el centro del rotor y el ángulo $0^\circ$ en la horizontal derecha.

En un instante inicial, el extremo de la pala 1 se localiza en la posición $z_1 = 60_{40^\circ}$ (en metros).

1. a) Modela la posición de los extremos de las palas 2 y 3 ($z_2$ y $z_3$) en forma polar en ese instante, explicando qué operación con complejos en forma polar permite pasar de una pala a la siguiente.
2. b) Una racha de viento constante hace girar el rotor $85^\circ$ en sentido antihorario. Modela este giro mediante la multiplicación por un número complejo unitario y calcula la nueva posición en forma polar de cada una de las tres palas.
3. c) Tras el giro, determina razonadamente cuál de las tres palas se encuentra a mayor altura respecto al suelo (mayor coordenada vertical) y calcula dicha altura respecto al eje del rotor empleando la forma trigonométrica.

Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si uno de los aviones se encuentra en la posición descrita por el número complejo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en kilómetros), determina la posición de los otros dos aviones en forma polar y calcula la distancia en línea recta que separa a dos aviones cualesquiera.

Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra las identidades trigonométricas del ángulo triple:

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.

En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformación equivale a multiplicar $z_0$ por la raíz cúbica del número complejo $W = 27_{150^\circ}$ que tiene su argumento en el primer cuadrante. Determina la posición final del efector en forma polar y el ángulo total de rotación aplicado respecto a la posición inicial.

Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

• Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a $2_{150^\circ}$

• Su producto $z_1 \times z_2$ es igual a $18_{90^\circ}$

Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión geométrica o las propiedades de las raíces) y geométricamente (interpretando los afijos como vectores).

Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma polar y determina el perímetro del polígono regular que forman.

Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.

Las soluciones de una ecuación binomia de la forma $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) determinan en el plano complejo los vértices de un polígono regular centrado en el origen de coordenadas.

Se conocen las siguientes tres condiciones sobre este conjunto de soluciones:

1. Una de las soluciones es el número complejo $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Otra de las soluciones se encuentra exactamente sobre el semieje imaginario positivo (su argumento es $90^\circ$).

3. El polígono regular tiene el menor número de lados posible ($n$) que cumple simultáneamente las dos condiciones anteriores.

1. a) Escribe $z_1$ en forma polar y deduce algebraicamente el menor valor entero de $n$ compatible con que una de las soluciones tenga argumento $90^\circ$.
2. b) Halla el valor exacto del número complejo $w$ tanto en forma polar como en forma binómica.
3. c) Escribe en forma polar todas las soluciones de la ecuación $z^n = w$, calculando el paso angular entre vértices consecutivos y comprobando que $z_1$ y la solución sobre el semieje imaginario forman parte de la lista.

Considera el número complejo $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Antes de operar analíticamente, realiza una estimación razonada:

• Compara los módulos del numerador y del denominador. A partir de esa comparación, deduce si los afijos de las potencias sucesivas $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formarán una espiral que se aleja del origen, una que converge al origen o si se mantendrán sobre una circunferencia fija.

• Analiza los argumentos del numerador y del denominador para estimar si es posible que exista una potencia $w^n$ (con $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) cuyo resultado sea un número real estrictamente positivo. ¿Esperas que el menor $n$ con esa propiedad sea un valor pequeño o un múltiplo notable?

1. b) Comprueba tus estimaciones:

• Pasa el numerador y el denominador a forma polar y obtén la expresión exacta de $w$ en forma polar.

• Aplica la fórmula de Moivre para determinar de forma exacta el menor entero positivo $n$ tal que $w^n$ sea un número real positivo, planteando y resolviendo la condición sobre el argumento.

1. c) Para dicho valor mínimo de $n$, calcula el valor exacto de $w^n$ y de su inverso $(w^n)^{-1}$ en forma polar y binómica, y evalúa si el módulo obtenido confirma tu conjetura inicial sobre el alejamiento respecto al origen.

Reto del tema. Diseñe un informe técnico sobre la respuesta de una instalación eléctrica conectada a la red a partir de datos reales:

1. Consulte en la web de REE (Red Eléctrica de España) la demanda del sistema peninsular en tiempo real (en GW) y tome las dos primeras cifras enteras como valor $k$ (por ejemplo, si marca $27.4$ GW, $k = 27$).

2. Modele la respuesta del circuito con el polinomio de potencia $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Halle la derivada $P'(x)$, calcule la mayor de las frecuencias críticas positivas resolviendo $P'(x) = 0$ y redondee a dos decimales su valor, al que llamará $\omega$.

3. Defina la impedancia del circuito en forma binómica como $Z = 4 + \omega i$ (en $\Omega$) y una corriente de consumo $I = 3 - 2i$ (en A). Opere en binómica para determinar el voltaje complejo $V = Z \times I$.

4. Pase $Z$ e $I$ a forma polar ($r_\alpha$). Realice el producto en polar para recalcular $V$, compruebe que ambos resultados coinciden y represente en GeoGebra los tres afijos vectoriales analizando el desfase angular entre corriente y voltaje.

Entregue un informe breve de una página con los cálculos manuscritos y la captura de GeoGebra.

Se valorará:

• Extracción rigurosa del dato de REE y resolución algebraica correcta de la derivada $P'(x)$.

• Dominio y equivalencia en las operaciones complejas tanto en forma binómica como polar.

• Construcción gráfica en GeoGebra e interpretación física coherente del desfase.