Ejercicios: Operaciones con complejos en forma binómica

Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de la expresión $z_1 - z_2 + z_3$.

Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente que el resultado es un número real.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones:

$x^2 + 25 = 0$

Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.

Lucas intenta simplificar la fracción de números complejos $\dfrac{5+2i}{2-i}$ para expresarla en forma binómica. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

1. a) Localiza razonadamente el error conceptual cometido por Lucas en el denominador y explica por qué su cálculo de $(2-i)(2+i)$ contradice la regla de multiplicar por el conjugado.
2. b) Resuelve la operación de forma correcta y expresa el resultado final en la forma binómica $a + bi$.

Se busca construir un polinomio de segundo grado $P(x) = x^2 + bx + c$ con coeficientes reales ($b, c \in \mathbb{R}$) tal que una de sus raíces sea el número complejo $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Justifica, sin realizar operaciones algebraicas, cuál debe ser necesariamente la segunda raíz $z_2$ de este polinomio apoyándote en las propiedades explicadas sobre las ecuaciones con coeficientes reales.
2. b) Obtén los valores exactos de los coeficientes $b$ y $c$ desarrollando el producto de factores $(x - z_1)(x - z_2)$ en forma binómica y sustituyendo $i^2 = -1$.

En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente del circuito, expresada en forma binómica, utilizando la fórmula física:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \times Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario respecto al origen y, posteriormente, una traslación definida por el vector $(-1, 3)$, el motor gráfico realiza la operación $z' = z \times i + (-1 + 3i)$. Calcula la nueva posición $z'$ del personaje.

Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de las potencias $( (1-i)^2 )^2$.

En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión $W(z) = V \times z + \frac{m}{z}$. Sabiendo que la velocidad del fluido es $V = 2$ y el parámetro $m = 8$, evalúa el potencial en el punto $z = 2 + 2i$. Expresa el resultado final $W(2+2i)$ en la forma $a + bi$.

Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte real igual a cero).

En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Comprueba si este estado cumple la condición de normalización, la cual requiere que el producto del número complejo por su conjugado sea exactamente la unidad ($\psi \times \bar{\psi} = 1$).

Para calcular en forma binómica el inverso del número complejo $z = \dfrac{1+2i}{3-i}$, dos compañeros de clase proponen vías diferentes:

• Alejandro propone calcular primero la división $\dfrac{1+2i}{3-i}$ multiplicando por el conjugado del denominador y, una vez obtenido el resultado $A + Bi$, calcular su inverso como $\dfrac{1}{A+Bi}$ multiplicando de nuevo por su conjugado.

• Berta propone invertir primero algebraicamente la fracción, escribiendo $z^{-1} = \dfrac{3-i}{1+2i}$, y resolver a continuación una única división multiplicando por el conjugado de este nuevo denominador.

1. a) Compara ambos caminos: justifica si ambos son válidos matemáticamente y cuál de ellos minimiza las operaciones aritméticas y el riesgo de error.
2. b) Aplica el método elegido para calcular $z^{-1}$ y expresa el resultado en la forma $a + bi$.

Considera la multiplicación de los números complejos $z_1 = 5 + 0.2i$ y $z_2 = 4 - 0.1i$.

1. a) Antes de operar de forma exacta, estima razonadamente el valor aproximado de la parte real y de la parte imaginaria de $z_1 \times z_2$. Justifica tu estimación analizando cuáles de los cuatro términos del producto distributivo $(ac - bd) + (ad + bc)i$ tendrán un impacto significativo y cuáles resultarán casi despreciables.
2. b) Realiza la multiplicación completa en forma binómica sustituyendo $i^2 = -1$.
3. c) Compara el valor exacto con tu estimación inicial, calcula la diferencia en la parte real y razona en qué situaciones prácticas (como cálculos con tolerancias de medida) puede ser admisible prescindir del término $-bd$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas $z$ y $w$ son números complejos. Expresa ambas soluciones en forma binómica:

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las partes reales y las partes imaginarias para formar un sistema de ecuaciones no lineal, y resuélvelo en $\mathbb{R}$.

Determina el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z = x + yi$ tales que la expresión $\frac{z - 2}{z + i}$ sea un número imaginario puro (es decir, con parte real nula y parte imaginaria distinta de cero).

1. a) Obtén la ecuación del lugar geométrico en función de $x$ e $y$.

1. b) Identifica la curva: indica su centro y su radio.

1. c) Indica qué puntos de esa curva hay que excluir y por qué.

Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es idéntico al producto de sus conjugados respectivos. Es decir, prueba paso a paso que $\overline{z \times w} = \overline{z} \times \overline{w}$.

En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la ecuación característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:

1. Comprueba sustituyendo algebraicamente si $z_1 = 1 + i$ es una solución de la ecuación.

2. Sabiendo que los polinomios con coeficientes reales tienen raíces complejas conjugadas, halla las otras dos soluciones de la ecuación.

3. Concluye si el sistema descrito es estable o inestable.

Encuentra todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ y resuelve el sistema resultante analizando los diferentes casos posibles para $x$ e $y$.

En un algoritmo de generación de fractales, la posición de cada nuevo nodo en el plano complejo se calcula a partir de la suma de potencias consecutivas. Calcula la posición del nodo que viene dada por la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica:

$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$

Aplica la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica y expresa el resultado final en forma binómica.

En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la condición inicial $z_0 = 0$. Para la constante compleja $c = -1 + i$:

1. Calcula los términos $z_1$, $z_2$ y $z_3$ operando en forma binómica.

2. Determina el módulo $|z_3|$ y comprueba si supera el valor umbral de escape (es decir, si $|z_3| > 2$).

En un proyecto de ingeniería industrial en una planta fotovoltaica de Choluteca, se conectan dos ramas en paralelo cuya impedancia equivalente viene dada por $Z_p = \dfrac{Z_1 \times Z_2}{Z_1 + Z_2}$. La primera rama presenta una impedancia $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, mientras que la segunda rama tiene una impedancia $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, donde $R > 0$ es una resistencia óhmica ajustable en ohmios.

Los técnicos necesitan ajustar $R$ para que el circuito entre en resonancia paralela, lo que significa que la impedancia global $Z_p$ debe ser un número real puro (su parte imaginaria debe ser nula), evitando desfases entre la tensión y la corriente.

1. a) Desarrolle la expresión de $Z_p$ en forma binómica en función del parámetro $R$, multiplicando numerador y denominador por el conjugado adecuado.
2. b) Iguale a cero la parte imaginaria obtenida para calcular el valor exacto de la resistencia $R$ que debe seleccionarse.
3. c) Con dicho valor de $R$, halle el valor final de la resistencia equivalente $Z_p$ del circuito.

Una alumna sostiene en clase la siguiente afirmación: «Como para cualquier ecuación cuadrática con soluciones complejas estas vienen en parejas conjugadas, entonces en la ecuación $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sabiendo que una solución es $x_1 = 1+2i$, la otra solución tiene que ser obligatoriamente su conjugada $x_2 = 1-2i$».

1. a) Comprueba mediante sustitución directa y operaciones en forma binómica si $x_1 = 1+2i$ y su supuesta conjugada $1-2i$ satisfacen la ecuación cuadrática dada.
2. b) Explica el error de razonamiento de la alumna: ¿qué condición indispensable indicada en los apuntes incumple esta ecuación para que no se aplique la propiedad de las raíces conjugadas?
3. c) Utilizando las relaciones entre coeficientes y raíces para la suma ($x_1 + x_2 = 3+i$), calcula la verdadera segunda raíz $x_2$ en forma binómica y comprueba que el producto $x_1 \times x_2$ coincide con el término independiente $4+3i$.