Ejercicios: Teorema del resto

Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.

Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.

Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.

Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.

Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.

Lucas intenta averiguar si el binomio $x + 2$ es un factor del polinomio $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + k$. Para resolverlo, escribe en su cuaderno: «Por el teorema del resto, calculo $P(2) = 2 \times 2^3 + 5 \times 2^2 - 2 + k = 16 + 20 - 2 + k = 34 + k$. Para que sea factor, el resto debe ser cero, así que $34 + k = 0 \implies k = -34$». Identifica y explica con rigor el error conceptual cometido por Lucas, aclara qué valor numérico debió calcular en realidad según el teorema del resto y halla el valor correcto del parámetro $k$ para que la división sea exacta.

Dado el polinomio $P(x) = 3x^4 - 20x^3 + 5x - 12$:

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo detallado en papel, estima mentalmente el signo del resto al dividir $P(x)$ entre $x - 4$. Para ello, analiza los dos términos de mayor grado al sustituir $x = 4$ y razona si predominará la contribución positiva o la negativa.
2. b) Aplica el teorema del resto para calcular el valor exacto de dicho resto. Comprueba si tu estimación cualitativa era correcta y justifica por qué el término líder ($3x^4$) no logró que el valor final fuera positivo.

La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utilice el teorema del residuo para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explique la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinómica de $x(t)$ entre $t - 3$.

Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.

El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 12.50q^4 - 75q^3 + 125q^2 + 300$ (en miles de lempiras). Aplique el teorema del residuo para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).

Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.

El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.

Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.

La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.

Para determinar si el polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x - 4$ es divisible por el binomio $x - 1$, tres estudiantes de 1.º de Bachillerato proponen estrategias distintas:

• Lucía propone efectuar la división larga euclídea de polinomios para observar si el resto final es el polinomio nulo.

• Mateo propone aplicar la regla de Ruffini completando la tabla de coeficientes y comprobar si la última casilla es cero.

• Clara propone aplicar el teorema del factor evaluando directamente $P(1)$ mediante cálculo aritmético.

1. a) Compara razonadamente los tres métodos atendiendo al número de operaciones, la probabilidad de cometer errores de signo y el tiempo de resolución.
2. b) Elige el método más eficiente según tu análisis y aplícalo para dictaminar de manera justificada si $x - 1$ es un factor de $P(x)$.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra la evolución de la temperatura $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) en una estación de la Cordillera Cantábrica durante una jornada de invierno mediante la función polinómica $T(t) = -0.05t^3 + 0.6t^2 - 1.1t - 2$, donde $t$ representa el tiempo en horas transcurrido desde las 08:00 ($t = 0$), con $t \in [0, 12]$.

1. a) Interpreta el significado físico que tiene el resto de la división de $T(t)$ entre el binomio $t - 6$ y calcúlalo aplicando el teorema del resto para conocer la temperatura exacta a las 14:00.
2. b) El equipo de vialidad invernal necesita saber a qué hora la temperatura cruzó por primera vez exactamente el punto de congelación ($0\ ^{\circ}\text{C}$). Utiliza el teorema del factor para comprobar si $t - 4$ es un divisor exacto de $T(t)$ e interpreta el resultado obtenido en el contexto del deshielo en la carretera.

Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por $x - 1$ deja un resto de $15$, y que su término independiente es $-12$.

En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.

Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.

La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por $T$, que a $T=1$ su valor es $4$, a $T=-1$ su valor es $0$ y a $T=2$ su valor es $18$. Formula el sistema de ecuaciones correspondiente utilizando el teorema del resto y halla la expresión analítica del polinomio $C(T)$.

Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.

El perfil de un canal de drenaje en un proyecto arquitectónico sigue la ecuación $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, donde $y = 0$ representa el nivel del suelo. Se sabe que el perfil corta el nivel del suelo en los puntos $x = 5$ y $x = -2$. Halla los valores exactos de $k$ y $c$ empleando el teorema del factor y determina la cota del perfil (altura respecto al suelo, negativa si queda por debajo) en el punto $x = 1$.

Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$, plantea el sistema de ecuaciones pertinente y determina los coeficientes $a$ y $b$.

Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.

Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.

Un polinomio $P(x)$ con coeficientes reales, del cual no conocemos su expresión completa ni su grado, cumple simultáneamente dos condiciones: al dividirlo entre $x - 2$ arroja un resto igual a $7$, y al dividirlo entre $x + 3$ arroja un resto igual a $-8$.

1. a) Sin conocer el cociente de la división, deduce razonadamente la expresión algebraica del resto $R(x)$ que se obtiene al dividir $P(x)$ entre el polinomio de segundo grado $D(x) = x^2 + x - 6$, justificando el grado máximo que puede tener dicho resto.
2. b) Diseña y escribe la expresión de un polinomio mónico concreto de grado $3$ que cumpla simultáneamente ambas propiedades y comprueba algebraicamente que al dividirlo entre $x^2 + x - 6$ reproduce el resto $R(x)$ deducido en el apartado anterior.

Considera la familia de polinomios de grado elevado $P(x) = x^{2026} + ax^{2025} + b$, donde $a$ y $b$ son constantes reales desconocidas.

1. a) Utiliza el teorema del resto y del factor para plantear y resolver un sistema lineal que determine los valores exactos de $a$ y $b$ sabiendo que $P(x)$ es divisible entre $x + 1$, y que al dividirlo entre $x - 1$ se obtiene un resto de $4$.
2. b) Con los valores obtenidos en el apartado anterior, justifica formalmente si el polinomio resultante es o no divisible entre el binomio cuadrático $x^2 - 1$.
3. c) Razona analíticamente, sin recurrir a derivadas ni representaciones gráficas, por qué este polinomio específico no puede tener ninguna raíz real estrictamente positiva, analizando la estructura y el signo de sus términos para cualquier $x > 0$.