Ejercicios: Polinomios

Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.

Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:

$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$

Utilice la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indique el cociente y el residuo.

Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.

Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.

Extraiga el factor común y utilice los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.

Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:

$\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Marcos tiene que calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x + 3$ entre $x + 2$. En su examen escribe la siguiente tabla de Ruffini: coloca en la fila superior los coeficientes $2$, $-5$ y $3$, y en la casilla lateral izquierda sitúa el número $2$. Tras realizar las operaciones, concluye que el resto de la división es $9$ y que el cociente es $C(x) = 2x + 1$.

1. a) Identifique y explique razonadamente los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos al plantear la regla de Ruffini.
2. b) Corrija el planteamiento realizando la división de forma adecuada y escriba con claridad el polinomio cociente $C(x)$ y el resto $R$.
3. c) Compruebe que el resto obtenido es correcto evaluando el polinomio mediante el teorema del resto.

Para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = 3x^{50} - 4x^{25} + 2x - 1$ entre el binomio $x - 1$, tres alumnos de la clase proponen estrategias distintas:

• Alba propone aplicar la división euclidiana tradicional en caja.

• Bruno sugiere emplear la regla de Ruffini completando con ceros los términos de grado intermedio.

• Carla afirma que es mucho más inmediato aplicar el teorema del residuo.

1. a) Compare razonadamente los tres métodos y explique por qué dos de ellos resultan totalmente inviables o ineficientes en este caso concreto.
2. b) Siguiendo el método más adecuado, calcule el resto de la división.
3. c) A partir del valor del resto obtenido, deduzca de forma justificada si el binomio $(x - 1)$ es o no un factor del polinomio $P(x)$.

Los beneficios diarios de una empresa, en miles de lempiras, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 el beneficio es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residuo es $2$. Calcule los parámetros $a$ y $b$, y factorice el polinomio para determinar en qué otro día de la semana el beneficio vuelve a ser exactamente cero.

Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.

En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:

$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$

Realiza las operaciones indicadas, calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la fracción resultante al máximo. ¿Cuál es el valor de la resistencia si $x = 3 \ \Omega$?

Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.

En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.

Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.

En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?

El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando previamente el numerador (diferencia de cubos) y el denominador. Luego, evalúa el área cuando $x = 3$ metros.

Diseña un polinomio mónico $P(x)$ del menor grado posible que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Admite a $x = -2$ como raíz con multiplicidad 2 (raíz doble).

2. Su término independiente es $-12$.

3. Al dividirlo entre $(x - 1)$, el resto obtenido es exactamente $-18$.

4. No tiene más raíces reales que las estrictamente necesarias para verificar las condiciones anteriores.

1. a) Justifica por qué el polinomio buscado no puede ser de grado 2 y deduce cuál debe ser su grado mínimo.
2. b) Determina la expresión algebraica de $P(x)$ tanto en su forma factorizada como en su forma desarrollada y ordenada de mayor a menor grado.
3. c) Comprueba de manera explícita que el polinomio hallado satisface todas y cada una de las condiciones del enunciado.

Considere el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 5x - 40$ y el divisor $d(x) = x - 4$.

1. a) Antes de calcular el resultado exacto, realice una estimación razonada del valor del residuo analizando el orden de magnitud de los dos términos de mayor grado cuando $x = 4$. ¿Espera que el residuo sea positivo o negativo? ¿Del orden de las decenas o de las centenas?
2. b) Calcule el residuo exacto de la división aplicando el teorema del residuo y valore críticamente si su estimación inicial ha sido acertada.
3. c) Aplique la regla de Ruffini para obtener el polinomio cociente $C(x)$ y compruebe la igualdad fundamental de la división, $P(x) = (x - 4)\times C(x) + R$, evaluando ambos miembros para el valor numérico $x = 1$.

La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.

La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.

En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:

$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$

Simplifica $T(x)$ al máximo factorizando previamente todos los numeradores y denominadores. ¿Qué problema matemático (y por tanto físico) ocurre con la relación de transmisión si $x = 2$?

En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.

Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formule la ecuación polinomial $P(x) = 0$, encuentre su raíz entera utilizando la regla de Ruffini y factorice el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.

Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.

Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones:

$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$

Factorice completamente el numerador y el denominador utilizando la regla de Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Simplifique la fracción al máximo y determine, si existe, para qué valor real de $x$ la fracción simplificada es igual a $3$.

En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.

El volumen de agua embalsada en una represa de la cuenca del río Lempa a lo largo de un año hidrológico de 12 meses ($t \in [0, 12]$, donde $t = 0$ representa el 1 de octubre) se modeliza mediante el polinomio cúbico $V(t) = -t^3 + b t^2 + c t + d$, expresado en hectómetros cúbicos ($\text{hm}^3$). Los datos oficiales de la confederación hidrográfica registran lo siguiente:

• Al inicio del año hidrológico ($t = 0$), el embalse contenía $180\text{ hm}^3$.

• Al finalizar el mes de diciembre ($t = 3$), el volumen volvió a ser exactamente de $180\text{ hm}^3$.

• Al concluir el mes de marzo ($t = 6$), tras las lluvias de final de invierno, el volumen embalsado alcanzó los $288\text{ hm}^3$.

1. a) Traduzca la información a un sistema de ecuaciones y calcule razonadamente los coeficientes $b$, $c$ y $d$.
2. b) Mediante la regla de Ruffini, descomponga el polinomio $V(t) - 180$ en producto de tres factores lineales y determine en qué otro mes del año hidrológico las reservas vuelven a situarse exactamente en el nivel inicial de $180\text{ hm}^3$.
3. c) Interprete el signo del polinomio factorizado $V(t) - 180$ en el intervalo $[0, 12]$ para indicar en qué periodo del año las reservas se sitúan por encima de los $180\text{ hm}^3$, y razone si el modelo predice en algún momento el vaciado total del embalse ($V(t) \le 0$).

Un polinomio $P(x)$, cuyo grado no se especifica a priori, produce un resto igual a $-4$ cuando se divide entre $(x - 2)$, y un resto igual a $8$ cuando se divide entre $(x + 1)$.

1. a) Si se divide $P(x)$ entre el polinomio cuadrático $Q(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$, justifica formalmente, a partir de la identidad fundamental de la división euclídea $D(x) = d(x)\times C(x) + R(x)$, cuál es el grado máximo que puede tener el resto $R(x)$.
2. b) Plantea la expresión algebraica general de dicho resto $R(x)$ y calcula sus coeficientes exactos aplicando el teorema del resto, demostrando por qué no es necesario conocer la fórmula global de $P(x)$ para determinarlo.
3. c) Si se añade el dato de que $P(x)$ es mónico, de grado 3 y su término independiente es $6$ (es decir, el resto al dividirlo entre $x$ es $6$), reconstruye la expresión completa de $P(x)$ y factorízala en $\mathbb{R}$ hallando todas sus raíces.