Ejercicios: Factorización de polinomios

Extraiga factor común y utilice los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:

$P(x) = 3x^5 - 12x^3$

Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:

$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$

Encuentre las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y expréselo en su forma factorizada.

Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.

Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.

Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.

Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.

Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

Carlos debe descomponer en factores el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x^2 + 12x$. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

1) Extrae factor común: $P(x) = x(3x^2 - 12x + 12)$.

2) Resuelve la ecuación $3x^2 - 12x + 12 = 0$ aplicando la fórmula general y obtiene una única solución doble: $x = 2$.

3) Concluye que la factorización final es: $P(x) = x(x - 2)^2$.

1. a) Sin necesidad de desarrollar todo el polinomio, señala qué propiedad inmediata falla en el resultado de Carlos (pista: compara el coeficiente principal de su respuesta con el del polinomio original).
2. b) Explica razonadamente el error conceptual que ha cometido al traducir las soluciones de la ecuación de segundo grado a factores del polinomio.
3. c) Corrige el procedimiento y escribe la factorización completa y correcta de $P(x)$.

Para descomponer en factores irreducibles en $\mathbb{R}$ el polinomio $P(x) = 2x^4 - 32$, dos alumnas sugieren estrategias distintas:

• Alba propone aplicar la regla de Ruffini de manera sucesiva probando con los divisores enteros de $32$ hasta reducir el grado.

• Bea propone extraer factor común numérico en primer lugar y, a continuación, aplicar identidades notables (diferencias de cuadrados) de forma encadenada.

1. a) Compare ambos métodos y justifique cuál de los dos es más eficiente, rápido y menos propenso a despistes de cálculo en este caso.
2. b) Aplique la estrategia elegida paso a paso hasta obtener la factorización completa de $P(x)$ en $\mathbb{R}$.
3. c) Justifique razonadamente por qué el factor cuadrático $(x^2 + 4)$ no se puede seguir descomponiendo en los números reales.

Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.

El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.

Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.

Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.

Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:

$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$

Factorice el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factor común, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.

La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros y $h(x)$ la altura en metros. Factoriza $h(x)$ para encontrar los puntos exactos donde el dron toca el suelo ($h(x) = 0$).

Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.

Considere el polinomio con coeficientes enteros $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$.

1. a) Antes de aplicar cualquier algoritmo de división, realice una estimación razonada previa:

• Enumere todos los posibles candidatos a raíz racional $\frac{p}{q}$ según el teorema de la raíz racional.

• Calcule mentalmente o con tanteo rápido el valor numérico en los valores enteros más simples ($x = 1$, $x = -1$, $x = 0$) y estime cuántas raíces racionales no enteras espera encontrar como máximo.

1. b) Factorice completamente $P(x)$ en $\mathbb{R}$ utilizando la regla de Ruffini y la ecuación de segundo grado asociada.
2. c) Compruebe si las raíces obtenidas coinciden con su lista de candidatos racionales y verifique si el producto de las tres raíces obtenidas $r_1 \times r_2 \times r_3$ es coherente con el valor del cociente $-\frac{a_0}{a_n} = -1.5$.

Encuentra un polinomio $P(x)$ de tercer grado con coeficientes enteros que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1) Posee una raíz doble en $x = -2$.

2) Su término independiente es $-12$ (es decir, la gráfica de la función polinómica asociada corta al eje de ordenadas en el punto $(0, -12)$).

3) Al dividir $P(x)$ entre el binomio $(x - 1)$, el resto obtenido es $-9$.

1. a) Plantea la estructura del polinomio en función de sus raíces y halla razonadamente sus coeficientes.
2. b) Escribe la expresión factorizada de $P(x)$ indicando cada una de sus raíces y sus respectivas multiplicidades.
3. c) Desarrolla el polinomio obtenido para comprobar que todos sus coeficientes son números enteros y que satisface la condición del resto al dividirlo entre $(x - 1)$ mediante el teorema del resto.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.

El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de anclaje de la pieza en el eje horizontal.

Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.

Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$

En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de lempiras. Factorice el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su término independiente es $4$. Halla la expresión factorizada de $P(x)$.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.

El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el polinomio diferencia $D(x) = f(x) - g(x)$ para determinar las coordenadas $x$ de los pilares donde ambas estructuras se unen.

Una cooperativa agrícola de Olancho encarga la fabricación de un depósito de acero con forma de ortoedro para almacenar aceite de palma africana. Por limitaciones de espacio en la planta procesadora, las dimensiones del depósito (en metros) deben guardar las siguientes relaciones:

• El ancho mide $x$ metros.

• El largo debe superar al ancho en $2\text{ m}$.

• La altura debe ser igual a la suma del largo y el ancho, disminuida en $1\text{ m}$.

• La capacidad total requerida es de exactamente $40\text{ m}^3$ ($40,000\text{ litros}$).

1. a) Deduzca la expresión polinómica del volumen $V(x)$ y plantee la ecuación $V(x) - 40 = 0$ que permite determinar el ancho $x$.
2. b) Antes de factorizar, delimite el dominio físico del problema: ¿por qué descartamos de antemano cualquier raíz menor o igual a cero?
3. c) Factorice completamente el polinomio $V(x) - 40$ en $\mathbb{R}$ argumentando qué candidatos racionales prueba mediante la regla de Ruffini.
4. d) Determine las dimensiones reales del depósito (ancho, largo y alto) e interprete el papel del factor cuadrático restante: ¿por qué su discriminante garantiza que la solución encontrada es geométrica y físicamente única?

Se desea descomponer en factores irreducibles en $\mathbb{R}$ el polinomio de grado seis $P(x) = x^6 - 9x^3 + 8$.

En el aula se plantean dos caminos de resolución:

• Método A (Marcos): Tratarlo como un polinomio general de grado 6 y aplicar de forma sucesiva la regla de Ruffini buscando raíces enteras entre los divisores de $8$.

• Método B (Sara): Tratarlo como un polinomio reducible a segundo grado mediante el cambio de variable $t = x^3$, descomponer la ecuación cuadrática en $t$ y finalmente factorizar cada factor cúbico resultante usando productos notables (en concreto, la diferencia de cubos: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$).

1. a) Analice la propuesta de Marcos: demuestre en qué punto exacto quedaría bloqueado este método si Marcos solo busca raíces enteras mediante Ruffini y por qué este algoritmo es incapaz por sí solo de descomponer factores cuadráticos irreducibles sobre $\mathbb{R}$.
2. b) Desarrolle de forma completa el Método B de Sara hasta obtener la factorización de $P(x)$ como producto de factores de grado 1 y grado 2.
3. c) Demuestre formalmente, analizando el discriminante de cada factor de segundo grado obtenido, que dichos factores son irreducibles en $\mathbb{R}$ y que, por tanto, la factorización no puede avanzar más.