Ejercicios: Energía cinética y energía potencial

La energía cinética se calcula como $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$. Un portero de balonmano lanza la pelota, de $0.4\ \text{kg}$, a $25\ \text{m/s}$. Calcule su energía cinética.

La energía potencial gravitatoria se calcula como $E_p = m \times g \times h$. Una maceta de $6\ \text{kg}$ está en el alféizar de una ventana, a $4\ \text{m}$ del suelo (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcule su energía potencial respecto al suelo.

La energía potencial elástica de un muelle se calcula como $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$, donde $k$ es la constante elástica y $x$ la deformación. Un muelle de $k = 300\ \text{N/m}$ se estira $0.1\ \text{m}$. El esquema se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía potencial elástica que almacena.
2. b) Si en vez de estirarlo se comprime $0.1\ \text{m}$, ¿la energía almacenada es mayor, menor o igual? Justifícalo fijándote en cómo aparece $x$ en la fórmula.

Indique qué energías mecánicas tiene cada cuerpo (cinética, potencial gravitatoria o potencial elástica; puede tener más de una):

1. a) Un arco tensado con la flecha preparada, antes de soltarla.
2. b) Un avión en vuelo de crucero.
3. c) Un carro estacionado en lo alto de un paso de montaña.
4. d) El resorte de un reloj de cuerda recién armado.

Un dron de reparto de $2\ \text{kg}$ vuela a $3\ \text{m/s}$ a $30\ \text{m}$ de altura (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcule su energía cinética.
2. b) Calcule su energía potencial.
3. c) ¿Cuál es su energía mecánica, $E_m = E_c + E_p$?

Una bombilla colgada del techo, a $2.5\ \text{m}$ del suelo, tiene una energía potencial de $98\ \text{J}$ (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). Despeje la masa de la fórmula $E_p = m \times g \times h$ y calcúlela.

Dos resortes idénticos se estiran en el laboratorio: el primero $5\ \text{cm}$ y el segundo $10\ \text{cm}$. Sin hacer cálculos numéricos, razone con la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ cuál almacena más energía elástica y cuántas veces más.

Una motocicleta con su piloto suma $250\ \text{kg}$ y circula a $72\ \text{km/h}$.

1. a) Exprese la velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcule su energía cinética.

Una pelota de golf de $0.045\ \text{kg}$ sale del tee con una energía cinética de $81\ \text{J}$. Despeje la velocidad de la fórmula $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$ y calcule con qué velocidad sale.

Una persona en scooter eléctrico circula a $10\ \text{m/s}$ y su energía cinética es de $3600\ \text{J}$. Despeje la masa de la fórmula de la energía cinética y calcule la masa total del conjunto persona-scooter.

Un depósito de riego contiene $200\ \text{kg}$ de agua y su energía potencial respecto al suelo es de $5880\ \text{J}$ (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Despeje la altura de la fórmula $E_p = m \times g \times h$ y calcule a qué altura está el agua.
2. b) Si se vacía la mitad del depósito, ¿cuánto valdrá la energía potencial del agua restante?

El resorte de un amortiguador de juguete se comprime $0.15\ \text{m}$ y almacena una energía potencial elástica de $2.25\ \text{J}$.

1. a) Despeje la constante elástica de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ y calcúlela.
2. b) ¿Qué energía almacenaría si se comprimiera $0.3\ \text{m}$?

Calcule la energía cinética de cada vehículo:

1. a) Un carro de $1200\ \text{kg}$ que circula a $30\ \text{m/s}$.
2. b) Un camión de $9000\ \text{kg}$ que circula a $12\ \text{m/s}$.

¿Cuál tiene más energía cinética? Comente qué pesa más en el resultado: la masa o la velocidad.

Un dron de reparto de $3\ \text{kg}$ desciende desde $50\ \text{m}$ hasta $20\ \text{m}$ de altura manteniendo una velocidad constante de $8\ \text{m/s}$ (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$). La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcule su energía cinética: ¿cambia durante el descenso?
2. b) Calcule la energía potencial que pierde.
3. c) ¿Cómo cambia su energía mecánica? Explique qué pasó con esa energía.

Un resorte de constante $k = 300\ \text{N/m}$ se va estirando por etapas en el laboratorio.

1. a) Calcule la energía potencial elástica cuando $x = 0.1\ \text{m}$.
2. b) Calcule la energía cuando $x = 0.2\ \text{m}$.
3. c) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Explique el resultado a partir de la fórmula y prediga, sin calcularlo con la calculadora, la energía para $x = 0.4\ \text{m}$.

Un tren de alta velocidad de $400\ \text{t}$ circula a $180\ \text{km/h}$.

1. a) Exprese su masa en kilogramos, con notación científica, y su velocidad en $\text{m/s}$.
2. b) Calcule su energía cinética y exprésela en notación científica.
3. c) Calcule la energía cinética que tendría circulando a $90\ \text{km/h}$ y determine qué relación guarda con la anterior.

Un carro de $900\ \text{kg}$ circula primero a $10\ \text{m/s}$ y después a $30\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule su energía cinética en cada caso.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es la segunda que la primera? Relacione ese factor con el factor por el que se multiplicó la velocidad.
3. c) Prediga, usando la proporcionalidad, la energía cinética a $40\ \text{m/s}$ y compruébelo con la fórmula.
4. d) Extraiga una consecuencia para la seguridad vial del hecho de que la energía cinética crezca con el cuadrado de la velocidad.

Un ciclista y su bicicleta suman $80\ \text{kg}$ y descienden una cuesta a $15\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule su energía cinética.
2. b) Una patinadora de $45\ \text{kg}$ lleva exactamente la misma energía cinética: despeje la velocidad y calcule a cuánto circula.
3. c) La relación de masas es $80/45 = 16/9$. Explique, usando la fórmula de la energía cinética, por qué la relación de velocidades es la raíz cuadrada de la relación de masas invertida, es decir, $4/3$.

Usted quiere comprobar en el laboratorio que la energía potencial elástica es proporcional al cuadrado de la deformación, usando un resorte de $k = 200\ \text{N/m}$, una regla y un juego de pesas.

1. a) Explique qué mediría y cómo obtendría la energía almacenada en cada medida.
2. b) Prediga los resultados: calcule la energía potencial para deformaciones de $0.05\ \text{m}$, $0.10\ \text{m}$ y $0.15\ \text{m}$.
3. c) Si representara la energía frente a la deformación $x$, ¿qué forma tendría la gráfica? ¿Y si la representara frente a $x^2$? Justifíquelo.

Su compañero calcula la energía potencial elástica de un resorte de $k = 500\ \text{N/m}$ comprimido $0.2\ \text{m}$ y obtiene $20\ \text{J}$, porque ha usado la expresión $E_p = k \times x^2$. La figura muestra cómo crece la fuerza necesaria al comprimir el resorte.

1. a) ¿Qué error ha cometido?
2. b) Calcule usted correctamente la energía potencial elástica.
3. c) El factor $\frac{1}{2}$ aparece porque, al estirar o comprimir el resorte, la fuerza necesaria crece desde $0$ hasta $k \times x$, y el trabajo realizado se calcula con la fuerza media. Calcule la fuerza media en este caso y compruebe que fuerza media por deformación da el resultado correcto.

Un libro de $0.5\ \text{kg}$ está sobre una mesa de $80\ \text{cm}$ de altura, en un aula de un segundo piso situada $8\ \text{m}$ por encima de la calle (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los tres niveles.

1. a) Calcule su energía potencial tomando como origen la superficie de la mesa.
2. b) Calcúlela tomando como origen el suelo del aula.
3. c) Calcúlela tomando como origen la calle.
4. d) Explique qué significa elegir un nivel de referencia y razone por qué, en los problemas de conservación de la energía, el resultado no depende del origen elegido (piense en qué magnitud aparece realmente: la altura o la diferencia de alturas).

Un resorte de $k = 800\ \text{N/m}$ almacena $16\ \text{J}$ de energía potencial elástica.

1. a) Despeje la deformación de la fórmula $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ y calcúlela.
2. b) ¿Qué fuerza ejerce el resorte en esa situación? Use la ley de Hooke, $F = k \times x$.
3. c) ¿Qué fuerza media ha sido necesario aplicar para llevarlo desde la posición natural hasta esa deformación? Compruebe que el trabajo de esa fuerza media coincide con la energía almacenada.

Calcule las energías mecánicas de estos dos vehículos y compárelas (tome $g = 9.8\ \text{m/s}^2$):

1. a) Un avión comercial de $80000\ \text{kg}$ que vuela a $10000\ \text{m}$ de altura a $250\ \text{m/s}$: calcule su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica, en notación científica.
2. b) Un monoplaza de Fórmula 1 de $800\ \text{kg}$ que corre a $80\ \text{m/s}$ en un circuito al nivel del mar: calcule su energía cinética y explique por qué su energía potencial puede tomarse como nula.
3. c) Comente qué término de la energía mecánica domina en cada caso y a qué se debe.

Un cohete sonda de $500\ \text{kg}$ asciende acelerando. Cuando está a $1000\ \text{m}$ de altura lleva una velocidad de $100\ \text{m/s}$, y unos segundos después pasa por $3000\ \text{m}$ de altura a $200\ \text{m/s}$ (tome $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra los dos puntos del ascenso.

1. a) Calcule su energía mecánica en el primer punto.
2. b) Calcule su energía mecánica en el segundo punto.
3. c) ¿Cuánto ha aumentado su energía mecánica? ¿De dónde ha salido esa energía?
4. d) ¿Se conserva la energía mecánica durante el ascenso del cohete? Justifíquelo.