Ejercicios: Variables cinemáticas: posición, velocidad y aceleración vectoriales

Un dron de reparto se encuentra en el punto de coordenadas $(4, 3)$ de un mapa, con las distancias en metros. La figura muestra el punto y su vector de posición.

1. a) Escriba su vector de posición $\vec{r}$ en función de los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$.
2. b) Calcule el módulo de $\vec{r}$ y explique qué representa físicamente.

Un robot de un almacén automatizado pasa de la posición $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posición $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, con las posiciones en metros. La figura representa ambas posiciones y el desplazamiento entre ellas.

1. a) Calcule el vector desplazamiento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcule su módulo.

Un atleta da exactamente una vuelta a una pista y regresa al punto de salida tras recorrer $400\ \text{m}$.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento?
2. b) ¿Cuánto vale la distancia que ha recorrido?
3. c) Explique con sus palabras la diferencia entre la distancia recorrida y el desplazamiento.

Una patinadora se mueve en línea recta y se desplaza $20\ \text{m}$ en la dirección del eje $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escriba su vector desplazamiento en función del vector unitario $\vec{i}$.
2. b) Calcule su velocidad media $\vec{v}_m$ como vector, recordando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplazamiento de un corredor de orientación entre dos balizas es $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metros, y lo completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calcule su velocidad media vectorial.
2. b) Calcule el módulo de esa velocidad media.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa y vuelve al local por el mismo camino.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento total?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad media en todo el trayecto?
3. c) ¿Es cero también su rapidez media? Razone la respuesta y explique la diferencia entre velocidad media y rapidez media.

La posición de un carrito de laboratorio viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Calcule su posición cuando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Razone por qué la trayectoria es una recta horizontal: fíjese en qué ocurre con la coordenada $y$.

Una motocicleta en línea recta pasa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Los vectores velocidad inicial y final se muestran en la figura.

1. a) Calcule el incremento de velocidad $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcule su aceleración media $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explique qué significa el resultado: ¿cuánto varía su velocidad cada segundo?

Un robot de limpieza de un centro comercial está en la posición $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ cuando $t = 0$ y en la posición $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ cuando $t = 2\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calcule el vector desplazamiento y su módulo.
2. b) Calcule la velocidad media vectorial y su módulo.

Una estación meteorológica mide la velocidad del viento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, donde el eje $x$ apunta al este y el eje $y$ al norte. La figura muestra el vector velocidad del viento y sus componentes.

1. a) Calcule el módulo de la velocidad del viento.
2. b) Calcule el ángulo que forma con el semieje $x$ positivo y describa con palabras hacia dónde sopla el viento.

La posición de una lancha teledirigida en un estanque es, en unidades del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trayectoria y ambas posiciones se muestran en la figura.

1. a) Calcule las posiciones en los instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ y $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcule el desplazamiento entre esos instantes y su módulo.
3. c) Calcule la velocidad media en ese intervalo y su módulo.

Un ferry sale del puerto A, situado en el punto $(2, 3)$, y llega al puerto B, en el punto $(14, 15)$, con las coordenadas en kilómetros. La travesía dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calcule el vector desplazamiento.
2. b) Calcule la velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y su módulo.
3. c) Exprese el módulo de la velocidad media en $\text{m/s}$, con un decimal.

Un avión en maniobras pasa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambos vectores velocidad.

1. a) Calcule el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcule la aceleración media vectorial y su módulo.

Un scooter eléctrico de alquiler sale del origen y su posición, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcule su posición cuando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) ¿En qué instante pasa por un punto con coordenada $x = 90\ \text{m}$? ¿Cuál es su posición completa en ese momento?
3. c) Obtenga la ecuación de la trayectoria $y(x)$ eliminando el tiempo y razone qué tipo de curva es.

Un senderista sale del refugio y se desplaza $1.2\ \text{km}$ hacia el este y después $1.6\ \text{km}$ hacia el norte, en un tiempo total de $0.5\ \text{h}$. El esquema muestra el recorrido del senderista.

1. a) Calcule el módulo de su desplazamiento total.
2. b) Escriba su velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y calcule su módulo.
3. c) Calcule el ángulo que forma su desplazamiento con la dirección este.

Un sensor de un laboratorio registra que un carrito está en el punto $(2, 5)$ cuando $t_1 = 1\ \text{s}$ y en el punto $(14, 17)$ cuando $t_2 = 5\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calcule el desplazamiento del carrito y el intervalo de tiempo transcurrido.
2. b) Calcule la velocidad media vectorial y su módulo.
3. c) ¿Qué ángulo forma la velocidad media con el eje $x$? Justifíquelo a partir de las componentes.

La posición de una partícula, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcule las posiciones en $t = 0$ y en $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcule el desplazamiento en ese intervalo y su módulo.
3. c) Calcule la velocidad media vectorial en ese intervalo y su módulo.
4. d) La trayectoria entre ambos puntos es curva: razone si la rapidez media en ese intervalo puede coincidir con el módulo de la velocidad media.

Una partícula se mueve según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Escriba las ecuaciones paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimine el tiempo y obtenga la ecuación de la trayectoria $y(x)$. ¿Qué tipo de curva es?
3. c) Compruebe si la partícula pasa por el punto $(6, 9)$, en metros, y, en caso afirmativo, indique en qué instante lo hace.

La posición de un barco, en unidades del Sistema Internacional, es $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Obtenga la ecuación de la trayectoria $y(x)$ y clasifíquela.
3. c) Compruebe si pasa por el punto $(8, 8)$, en metros, e indique en qué instante.
4. d) Calcule la distancia del barco al origen en ese instante.

Un carro entra en una rotonda con velocidad $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ y sale de ella con $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ tras $3\ \text{s}$. La figura muestra la trayectoria en la rotonda y ambos vectores velocidad.

1. a) Compruebe que el módulo de la velocidad no ha cambiado.
2. b) Calcule el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$ y su módulo.
3. c) Calcule la aceleración media vectorial y su módulo.
4. d) Explique por qué existe aceleración si la rapidez se ha mantenido constante.

Una persona camina $30\ \text{m}$ hacia el este en $10\ \text{s}$ y después $40\ \text{m}$ hacia el norte en otros $10\ \text{s}$.

1. a) Calcule la distancia total recorrida y la rapidez media.
2. b) Calcule el desplazamiento total, su módulo y el módulo de la velocidad media.
3. c) Compare los resultados de los dos apartados y enuncie la relación general que guardan la rapidez media y el módulo de la velocidad media, indicando cuándo coinciden.

Un robot cortacésped se mueve por un jardín según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcule su posición inicial.
2. b) Determine el instante en que cruza la bisectriz del primer cuadrante, es decir, cuando sus coordenadas $x$ e $y$ coinciden, y la posición en ese momento.
3. c) Calcule su distancia al origen en ese instante.
4. d) Calcule la velocidad media entre $t = 0$ y ese instante.

Dos drones de vigilancia se mueven, en unidades del Sistema Internacional, según $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ y $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Las trayectorias de ambos drones se muestran en la figura.

1. a) Escriba las ecuaciones $x(t)$ e $y(t)$ de cada dron.
2. b) Determine el instante y la posición en que se encuentran.
3. c) Calcule la distancia del punto de encuentro al origen.
4. d) Razone si las trayectorias de ambos drones podrían cruzarse en algún otro punto distinto.