Ejercicios: Optimización de funciones

Calcula dos números reales no negativos cuya suma sea exactamente $20$, de tal manera que el producto de ambos sea el mayor posible.

Una empresa de accesorios para celulares ha determinado que el beneficio mensual $B(x)$, expresado en quetzales, al vender $x$ fundas personalizadas viene dado por la función:

$B(x) = -x^2 + 960x - 4\,000$

¿Cuántas fundas deben venderse para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

Un grupo de estudiantes quiere cercar una zona rectangular en el patio del colegio para una feria solidaria. Si disponen de $40$ metros de cerca en total, determina las dimensiones del rectángulo (largo y ancho) que encierran el área máxima posible.

Se desea descomponer el número $12$ en dos sumandos positivos tales que la suma de sus cuadrados sea mínima. Utiliza las derivadas para encontrar dichos sumandos.

La visibilidad de una publicación en una red social (medida en número de "likes") durante las primeras $10$ horas después de subirla sigue la función:

$V(t) = 20t^2 - 2t^3$

donde $t$ es el tiempo en horas ($0 \le t \le 10$). ¿En qué momento alcanza la publicación su pico máximo de visibilidad?

Se quiere construir un marco de madera rectangular para un cartel publicitario que debe tener un área de $16$ $m^2$. Calcula las dimensiones del cartel para que el costo de la madera del marco sea mínimo (es decir, para que el perímetro sea mínimo).

El costo de fabricación de una serie de audífonos inalámbricos viene dado por la función $C(x) = 2x^2 - 80x + 2000$, donde $x$ es el número de unidades producidas. ¿Cuántas unidades deben fabricarse para minimizar el costo total de producción?

Un agricultor sabe que si planta $100$ naranjos en su parcela, la producción media por árbol es de $400$ kg de fruta al año. Por cada árbol adicional que plante, la producción media por árbol disminuye en $2$ kg debido a la falta de espacio. La producción total viene dada por:

$P(x) = (100 + x)(400 - 2x)$

donde $x$ es el número de árboles adicionales plantados. Halla el valor de $x$ que maximiza la producción total anual.

Un joven programador está diseñando una aplicación de gestión de tiempo. Ha determinado que la productividad de un usuario, medida en "puntos de enfoque", sigue la función $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral ($0 \le t \le 8$). Calcula en qué momento del día el usuario alcanza su productividad máxima y cuántos puntos obtiene en ese instante.

Un taller de cocina profesional diseña un recipiente de acero con base cuadrada y sin tapa para conservar alimentos. El recipiente debe tener un volumen de $13.5$ litros ($13.5\ \text{dm}^3$). Determina las dimensiones del lado de la base ($x$) y de la altura ($h$) que minimizan la cantidad de acero utilizado (es decir, la superficie total del recipiente) y calcula dicha superficie mínima.

El costo total de fabricación de $x$ unidades de un modelo de audífonos inalámbricos está dado por la función $C(x) = 1.60x^2 + 80x + 4\,000$ quetzales. El precio de venta unitario depende de la demanda y se ajusta a la fórmula $p(x) = 560 - 0.80x$. Determina cuántas unidades deben fabricarse y venderse para que la ganancia total de la empresa sea máxima.

Un estudio de marketing para una plataforma de streaming indica que el número de suscriptores mensuales, en miles, varía según el precio de la suscripción mensual $x$ (en quetzales) siguiendo la función $S(x) = \frac{48}{x} + x - 10$ para precios entre $4$ y $15$ quetzales. Calcula el precio de la suscripción que minimiza el número de suscriptores. Justifica si este resultado es útil para la empresa desde el punto de vista de los ingresos.

Se desea diseñar un envase de cartón con forma de prisma rectangular de base cuadrada y sin tapa superior para un nuevo modelo de tablet. El volumen del envase debe ser de exactamente $2000 \text{ cm}^3$. Halla las dimensiones del envase (lado de la base y altura) que minimizan la cantidad de cartón empleada en su fabricación.

Un "booktuber" ha comprobado que el impacto de sus videos (medido en miles de visualizaciones diarias) depende del tiempo $t$ (en días) transcurrido desde su publicación, según la función $V(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Determina en qué día el video alcanza su impacto máximo y cuál es ese número máximo de visualizaciones.

Se quiere imprimir un cartel publicitario para un festival de música que ocupe una superficie total de $2 \text{ m}^2$. El cartel debe dejar unos márgenes de $10 \text{ cm}$ en las partes superior e inferior, y de $5 \text{ cm}$ a los lados izquierdo y derecho. Calcula las dimensiones totales del cartel para que el área de la zona de impresión sea la mayor posible.

Una tienda en línea de ropa urbana ha estimado que sus ingresos diarios en quetzales siguen la función $I(p) = -2p^2 + 120p$, donde $p$ es el precio promedio en quetzales de sus prendas. Por otro lado, sus gastos diarios están modelados por $G(p) = 40p + 100$. Obtén el precio $p$ que deben fijar para que la ganancia diaria (Ingresos $-$ Gastos) sea máxima. Determina también el monto de dicha ganancia máxima.

Una empresa de tecnología ha lanzado una nueva red social. El número de usuarios activos, medido en millones, sigue la función $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0.5t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento ($t \geq 0$). Simultáneamente, los costos de mantenimiento mensuales en miles de quetzales vienen dados por la función $C(t) = 10t + 5$.

Determina en qué mes el número de usuarios activos alcanza su máximo nivel. ¿En qué momento es máxima la diferencia entre el número de usuarios (en millones) y el costo de mantenimiento (dividido entre 100 para equiparar escalas)? Justifica si ese máximo es absoluto analizando el comportamiento de la función a largo plazo.

Se desea diseñar un envase para una edición limitada de un perfume premium. El envase debe tener la forma de un cilindro coronado por una semiesfera de cristal. El volumen total del envase debe ser exactamente de $250 \text{ cm}^3$. El costo del material de la base y el lateral cilíndrico es de $16 \text{ \text{Q}\ /cm}^2$, mientras que el cristal de la semiesfera superior, al ser decorado, cuesta $40 \text{ \text{Q}\ /cm}^2$.

Calcula las dimensiones (radio $r$ y altura del cilindro $h$) que debe tener el envase para que el costo de fabricación sea mínimo. (Recuerda que el volumen de la esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y su superficie $S = 4\pi r^2$).

Un estudio de mercado para una nueva aplicación de entrenamiento personalizado determina que el beneficio mensual $B(x)$, en cientos de quetzales, depende del precio de la suscripción $x$ (en quetzales), según la función:

$B(x) = (x - 5)^2 \times \ln(x - 4)$ para $x > 4$.

Calcula el precio de suscripción que maximiza el beneficio en el intervalo $[6, 15]$. Comprueba si en dicho intervalo existe algún punto de inflexión que indique un cambio en la tendencia del crecimiento de los beneficios.

Un dron de reparto debe desplazarse desde un punto de carga $A(0, 4)$ hasta un almacén $B(10, 2)$. Para optimizar su batería, el dron debe aterrizar en un punto $P(x, 0)$ sobre una plataforma de carga inalámbrica situada en el eje de abscisas, y desde allí continuar hacia $B$.

Sin embargo, el consumo de energía por kilómetro volando sobre la plataforma es un $25\%$ menor que volando en trayectoria directa hacia ella. La función de costo energético total es $E(x) = \sqrt{x^2 + 16} + 0.75\sqrt{(10-x)^2 + 4}$. Encuentra la posición exacta del punto $P$ que minimiza el consumo total de energía.

Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno dividido en tres parcelas rectangulares iguales y contiguas, como se muestra en la figura. El granjero quiere maximizar el área total encerrada. Además, el costo de la valla exterior es de $80 \text{ \text{Q}\ /m}$, pero la valla utilizada para las divisiones internas es más ligera y cuesta solo $32 \text{ \text{Q}\ /m}$.

Si el presupuesto total para la valla es de $\text{Q}\ 8\,000$, calcula las dimensiones de cada parcela para que el área total sea la mayor posible. Ten en cuenta que aquí la restricción no es la longitud total de la valla, sino el costo total disponible.

Se considera la función de costos totales de fabricación de un componente electrónico $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - 6x^2 + 40x + 100$, donde $x$ representa el número de unidades producidas en miles. La función de ingresos por ventas es $I(x) = 28x - x^2$.

1. a) Determina el intervalo de producción en el que la empresa obtiene beneficios (donde $I(x) > C(x)$).
2. b) Calcula el número de unidades que maximiza el beneficio mensual y el valor de dicho beneficio máximo.
3. c) ¿Para qué valor de $x$ el costo medio por unidad, definido como $Q(x) = \frac{C(x)}{x}$, es mínimo?

Un centro logístico está situado en un punto estratégico cuya evolución de tráfico diario de camiones se modeliza mediante la función $T(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 50$, donde $t$ es la hora del día ($0 \leq t \leq 24$).

Calcula a qué horas se producen los máximos y mínimos (relativos y absolutos) del flujo de camiones durante la jornada laboral. Si la dirección del centro decide realizar labores de mantenimiento cuando el tráfico está disminuyendo más rápidamente (pendiente mínima), ¿a qué hora debería programar dichas tareas? (Pista: busca el punto de inflexión de $T(t)$).

Una ventana tiene forma de rectángulo superado por un triángulo equilátero. El perímetro total de la ventana (incluyendo la base del triángulo que separa ambas partes) es de $12 \text{ metros}$.

Calcula las dimensiones del rectángulo (base $x$ y altura $y$) para que la superficie total de la ventana sea máxima y el paso de luz sea el mayor posible. (Recuerda que el área de un triángulo equilátero de lado $x$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$).