Ejercicios: Determinante de una matriz. Regla de Sarrus

En un software de diseño gráfico, una transformación de escala viene definida por una matriz de orden 2. Para que la imagen no se deforme completamente, es necesario calcular el determinante de dicha matriz. Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Para que un sistema de control de temperatura sea estable, el determinante de su matriz de coeficientes debe ser distinto de cero. Dada la matriz $B$, determina para qué valor del parámetro $x$ el determinante de la matriz es igual a $10$:

$$B = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & x-1 \end{pmatrix}$$

Calcula, aplicando la Regla de Sarrus, el valor del determinante de la matriz $M$. Utiliza el esquema visual de las diagonales para organizar tus productos:

$$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Una matriz cuadrada se dice que es singular si su determinante es nulo (lo que implica que no tiene inversa). Comprueba si la siguiente matriz $C$ es singular o regular (no singular) calculando su determinante:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$

Halla el valor de $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad, resolviendo el determinante de la izquierda mediante la Regla de Sarrus:

$$\begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = 0$$

En física de partículas, a veces aparecen matrices con funciones trigonométricas. Demuestra que el valor del determinante de la siguiente matriz $T$ es independiente del valor del ángulo $\alpha$:

$$T = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

El área de un triángulo en el plano, cuyos vértices son $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ y $P_3(x_3, y_3)$, se puede calcular mediante la fórmula:

$$Área = \frac{1}{2} \times | \det(A) |$$

donde $A$ es la matriz formada por las coordenadas de los puntos y una columna de unos. Calcula el área del triángulo de la figura cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(0, 5)$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula el determinante de la matriz $D$. Observa atentamente sus filas antes de empezar; ¿podrías predecir el resultado basándote en la relación entre sus líneas?

$$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$$

Resuelve la siguiente ecuación igualando a cero el determinante de la matriz $A$, aplicando la regla de Sarrus para obtener el polinomio resultante:

$$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Busca todas las soluciones reales de la ecuación $|A| = 0$.

En un videojuego de estrategia, el área de una región triangular es fundamental para calcular el alcance de una torre de defensa. Si los vértices del triángulo en el mapa de coordenadas son $P(2, 1)$, $Q(6, 2)$ y $R(3, 5)$, calcula el área de dicha región utilizando el valor del determinante de la matriz formada por sus coordenadas:

$$Área = \frac{1}{2} \times \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|$$

Dada la matriz $M$ que depende del parámetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Determina, mediante la regla de Sarrus, para qué valores de $k$ el determinante de la matriz es nulo. Justifica si para $k = 0$ la matriz posee inversa basándote en el resultado obtenido.

Sin desarrollar el determinante por completo, utiliza las propiedades y la regla de Sarrus para comprobar si la siguiente igualdad es cierta:

$$\begin{vmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ c & c+1 & c+2 \end{vmatrix} = 0$$

Explica qué relación lineal existe entre sus columnas que justifique el resultado de forma inmediata.

Considera una matriz de rotación en el plano $R$ definida por:

$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula su determinante utilizando la regla de Sarrus y simplifica la expresión utilizando la identidad fundamental de la trigonometría. ¿Depende el valor del determinante del ángulo de rotación $\alpha$?

Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -4$. Calcula, razonando cada paso y mencionando las propiedades de los determinantes empleadas, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $\det(2A)$
2. b) $\det(A^3)$
3. c) $\det(A \times A^t)$

Un sistema de encriptación utiliza una matriz $3 \times 3$ como clave. Para que el mensaje sea recuperable, el determinante de la matriz clave debe ser exactamente $1$. Determina el valor de $x$ para que la siguiente matriz sea una clave válida:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ x & 2 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, calcula el determinante de la matriz producto $C = A \times B$ de dos formas distintas:

1. Realizando primero el producto de las matrices y aplicando Sarrus al resultado.

2. Utilizando la propiedad del determinante del producto de matrices.

Comprueba que ambos resultados coinciden.

En el estudio de las oscilaciones armónicas de un sistema físico, surge la necesidad de calcular el determinante de la siguiente matriz de coeficientes trigonométricos. Utiliza la Regla de Sarrus para simplificar la expresión y demuestra que el valor del determinante es independiente del valor de la variable $\alpha$:

$A = \begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \cos^2 \alpha & 1 \\ \cos^2 \alpha & \sin^2 \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determina todos los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz $M$ es igual a cero. Para resolver la ecuación resultante, recuerda las propiedades de las funciones exponenciales:

$M = \begin{pmatrix} 2^x & 4^x & 1 \\ 1 & 2^x & 8^x \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Se sabe que el volumen de un paralelepípedo definido por tres vectores $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ que parten de un mismo vértice viene dado por el valor absoluto del determinante de la matriz formada por sus componentes.

Si los vectores son $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, k)$, calcula mediante Sarrus el valor de $k$ para que el paralelepípedo se "aplane" (su volumen sea cero) y justifica la relación de este resultado con la dependencia lineal de los vectores.

Dada la matriz $B$ cuyos elementos involucran logaritmos decimales, utiliza la Regla de Sarrus y las propiedades de los logaritmos para hallar el valor exacto de su determinante sin utilizar la calculadora:

$B = \begin{pmatrix} \log 2 & \log 5 & 1 \\ \log 4 & \log 25 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

En el campo de los números complejos, las operaciones matriciales siguen las mismas reglas. Calcula el valor del determinante de la matriz $Z$ y expresa el resultado en forma binómica ($a + bi$):

$Z = \begin{pmatrix} i & 1-i & 0 \\ 2 & i & 1 \\ 1+i & 0 & -i \end{pmatrix}$

(Nota: $i$ es la unidad imaginaria tal que $i^2 = -1$)

Considera la matriz $A$ de orden 3 cuyos elementos siguen la ley de formación $a_{ij} = x^{i+j}$ (donde $i$ es la fila y $j$ la columna, empezando por 1).

$A = \begin{pmatrix} x^2 & x^3 & x^4 \\ x^3 & x^4 & x^5 \\ x^4 & x^5 & x^6 \end{pmatrix}$

Calcula su determinante mediante la Regla de Sarrus y justifica, basándote en las propiedades de las líneas de un determinante, por qué el resultado es el que obtienes para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$.

Un sistema de seguridad informática utiliza una matriz $K$ para encriptar datos. Para que el código sea reversible, el determinante de la matriz no puede ser nulo. Analiza mediante Sarrus para qué valores del parámetro $m$ el sistema de encriptación fallaría:

$K = \begin{pmatrix} m & m+1 & m-1 \\ 1 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}$