Exercices: Équation d'un plan dans l'espace

Un ingénieur conçoit la base d'une pièce à l'aide d'un logiciel de CAO. La base doit être un plan passant par le point $P(2 ; -1 ; 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3 ; 2 ; -4)$. Calculer une équation cartésienne du plan définissant cette base.

La surface d'un panneau solaire sur un satellite peut être représentée par les équations paramétriques suivantes :

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Déterminer une équation cartésienne de ce plan.

Dans un environnement de réalité virtuelle, trois capteurs sont situés aux points $A(1\,;\,0\,;\,0)$, $B(0\,;\,2\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,3)$. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ces trois capteurs.

Étant donnée l'équation du plan représentant l'un des murs d'une pièce, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indiquer en justifiant si les points suivants appartiennent à ce mur :

1. a) $Q(3 ; 0 ; 0)$
2. b) $R(1 ; 1 ; 1)$

Déterminer une équation du plan passant par le point $A(5 ; -2 ; 4)$ et parallèle au plan d'équation $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Rappel : deux plans parallèles ont le même vecteur normal.

Un architecte utilise l'« équation segmentaire » pour définir un toit incliné qui coupe les axes de coordonnées aux points $(4 ; 0 ; 0)$, $(0 ; 3 ; 0)$ et $(0 ; 0 ; 2)$. Écrire directement son équation puis la transformer sous la forme cartésienne $Ax + By + Cz + D = 0$.

On souhaite installer un projecteur dont la trajectoire de la lumière soit perpendiculaire à une plaque métallique. Si la trajectoire du rayon lumineux est donnée par la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, déterminer une équation du plan contenant la plaque métallique, sachant qu'il passe par le point $M(0 \,;\, 4 \,;\, -2)$.

Déterminer une équation du plan contenant la droite $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ et passant en outre par le point extérieur $P(1 ; 1 ; 1)$.

Un architecte conçoit une toiture plane pour un petit pavillon. La toiture doit reposer sur trois piliers dont les extrémités supérieures sont situées aux points $A(2 ; 0 ; 3)$, $B(0 ; 4 ; 3)$ et $C(1 ; 1 ; 5)$, les unités étant en mètres.

1. a) Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la toiture.
2. b) Calculer les points d'intersection de ce plan avec les axes de coordonnées afin de déterminer où se situeraient les ancrages si la toiture se prolongeait jusqu'à toucher les murs principaux (les axes).

Déterminer une équation du plan $\pi$ contenant la droite $r$ donnée par :

et parallèle à la droite $s$ passant par les points $P(0 ; 2 ; 1)$ et $Q(1 ; 2 ; 4)$. Justifier pourquoi le vecteur directeur de $s$ ne peut pas être colinéaire à celui de $r$ pour que le plan soit déterminé de manière unique.

On considère le faisceau de plans d'arête la droite d'intersection des plans $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ et $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Déterminer le plan de ce faisceau passant par le milieu du segment d'extrémités $A(1 ; 2 ; -1)$ et $B(3 ; 0 ; 5)$.

Un plan $\pi$ coupe les axes de coordonnées aux points $X(a ; 0 ; 0)$, $Y(0 ; b ; 0)$ et $Z(0 ; 0 ; c)$. On sait que le plan passe par le point $P(1 ; 2 ; 2)$ et que les distances à l'origine des points d'intersection sont égales ($a = b = c$).

1. a) Écrire une équation cartésienne du plan.
2. b) Calculer le volume du tétraèdre formé par l'origine du repère et les trois points d'intersection avec les axes.

Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que les points $A(1 ; 0 ; 1)$, $B(0 ; 2 ; 1)$, $C(2 ; 1 ; 0)$ et $D(k ; k ; 2)$ soient coplanaires. Une fois $k$ déterminé, écrire une représentation paramétrique du plan qui les contient.

Lors d'une mission de sauvetage, un drone se déplace en ligne droite selon la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. Le drone doit émettre un signal radio qui n'est efficace que s'il rencontre perpendiculairement un écran plan de sécurité.

1. a) Déterminer une équation du plan représentant cet écran, sachant qu'il doit passer par le point $P(2\,;\,2\,;\,2)$ et être perpendiculaire à la trajectoire du drone.
2. b) Calculer le point exact où la trajectoire du drone rencontrerait l'écran.

Soit les plans $\pi_1 \equiv (a-2)x + 2y + z = 0$ et $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$ :

1. a) Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les plans soient confondus.
2. b) Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que les plans soient strictement parallèles.
3. c) Quelle relation doit exister entre $a$ et $b$ pour que l'origine du repère appartienne à l'intersection des deux plans ?

Déterminer une équation du plan contenant les droites suivantes, après avoir vérifié qu'elles se coupent en un point :

Si un troisième rayon laser suit la direction du vecteur normal à ce plan et part du point d'intersection de $r$ et $s$, quelle serait sa représentation paramétrique ?

Un architecte conçoit la toiture d'un gymnase. La structure principale est définie par deux poutres métalliques situées sur les droites :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Déterminer une équation cartésienne du plan $\pi$ parallèle à ces deux poutres et situé à une distance de $\sqrt{14}$ unités de l'origine du repère. La solution est-elle unique ? Justifier la réponse.

On considère le faisceau de plans d'arête la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Déterminer une équation du plan $\pi$ appartenant à ce faisceau et vérifiant simultanément les deux conditions suivantes :

1. Il est perpendiculaire au plan $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. Le point $P(0 ; a ; 1)$ appartient au plan $\pi$ pour une certaine valeur réelle de $a$.

Déterminer la valeur de $a$ et une équation cartésienne de $\pi$.

Un rayon laser part du point $A(1 ; 2 ; -2)$ et suit la direction du vecteur $\vec{u} = (1 ; -1 ; 1)$ jusqu'à frapper un miroir plan contenant la droite $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ et le point $B(0 ; 0 ; 4)$.

1. a) Déterminer une équation du plan $\pi$ contenant le miroir.
2. b) Déterminer les coordonnées du point d'impact $P$ du laser sur le miroir.

Déterminer une équation du plan $\pi$ contenant la droite d'intersection des plans $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ et $\beta: x + 2y - z = 0$, et coupant les demi-axes de coordonnées positifs $OX$, $OY$ et $OZ$ aux points $P$, $Q$ et $R$ de sorte que le volume du tétraèdre formé par l'origine et ces points soit minimal.

On considère les droites sécantes $r$ et $s$ qui définissent un plan $\alpha$. La droite $r$ passe par $P(1 ; 0 ; 1)$ et a pour direction $\vec{d_r} = (2 ; 1 ; -1)$, et la droite $s$ passe par $Q(1 ; 0 ; 1)$ et a pour direction $\vec{d_s} = (0 ; 1 ; 1)$.

Déterminer une équation d'un plan $\pi$ parallèle à $\alpha$ et tel que la sphère de centre $C(3 ; 2 ; 1)$ et de rayon $R=2$ soit tangente à ce plan $\pi$. Donner les deux solutions possibles.

Soit les points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(3 ; 0 ; 2)$ et $C(4 ; k ; 0)$. Étudier la position relative des plans $\pi_1$, $\pi_2$ et $\pi_3$ en fonction du paramètre réel $k$, sachant que :

• $\pi_1$ est le plan passant par $A$, $B$ et l'origine.

• $\pi_2$ est le plan contenant $C$ et perpendiculaire à la droite passant par $A$ et $B$.

• $\pi_3$ est le plan d'équation $x + y + z = k + 2$.

Un drone se déplace en ligne droite selon la trajectoire de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. On souhaite installer un écran de protection plan $\pi$ contenant la droite $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.

Déterminer une équation du plan $\pi$ de sorte qu'il soit parallèle à la trajectoire du drone. Calculer la distance minimale à laquelle le drone passera de cet écran.

Soit $P(1 ; 2 ; -1)$ un point de l'espace et $r$ la droite d'intersection des plans $x - y = 0$ et $z = 2$.

1. a) Déterminer une équation du plan $\pi_1$ contenant $r$ et passant par $P$.
2. b) Déterminer une équation du plan $\pi_2$ contenant $r$ et perpendiculaire à $\pi_1$.
3. c) Calculer l'angle formé par le plan $\pi_2$ et le plan de coordonnées $XY$.