Exercices: Vecteurs et espaces vectoriels

Charles doit calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment d'extrémités $A(1\;;\;-2\;;\;4)$ et $B(5\;;\;2\;;\;-2)$. Pour le résoudre, il écrit dans sa copie :

Il conclut donc que le milieu est $M(2\;;\;2\;;\;-3)$.

1. a) Expliquer en détail quelle est l'erreur conceptuelle de Charles. Que représente géométriquement le vecteur $\frac{1}{2}\vec{AB}$ et pourquoi ses composantes ne coïncident-elles pas avec les coordonnées du milieu par rapport à l'origine du repère ?
2. b) Montrer comment Charles aurait pu aboutir au bon milieu en utilisant son vecteur $\frac{1}{2}\vec{AB}$ et en l'ajoutant au vecteur position adéquat.
3. c) Corriger le calcul en appliquant la formule directe du milieu $M = \frac{A+B}{2}$ et vérifier que les deux chemins conduisent au même résultat.

On considère le vecteur de l'espace $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Sans calculer de racines carrées, justifier pourquoi la norme de tout vecteur non nul $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de n'importe laquelle de ses composantes ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, avec inégalité stricte s'il a au moins deux composantes non nulles) et inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de toutes ses composantes ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Utiliser le raisonnement précédent pour encadrer la valeur de $|\vec{v}|$ entre deux nombres entiers, en estimant un intervalle dans lequel sa longueur doit nécessairement se trouver.
3. c) Calculer la norme exacte de $\vec{v}$ en appliquant la formule en dimension trois et vérifier si votre estimation initiale était correcte.

Un drone de livraison se déplace dans l'espace à trois dimensions selon des trajectoires données par des vecteurs. Ses propulseurs de base lui permettent d'effectuer trois mouvements fondamentaux définis par les vecteurs $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ et $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Si le drone doit effectuer un transport urgent depuis le centre de contrôle jusqu'à un client en suivant le vecteur déplacement résultant $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calculer les coefficients $a, b$ et $c$ tels que le mouvement puisse s'exprimer comme combinaison linéaire des propulseurs : $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Dans la conception d'un jeu vidéo, l'éclairage d'une salle dépend de trois projecteurs dont les directions de faisceau sont définies par les vecteurs $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ et $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Déterminer, en justifiant, les valeurs du paramètre réel $k$ pour lesquelles les trois faisceaux lumineux sont linéairement dépendants (situés dans un même plan). Que se passe-t-il pour la base de l'espace si $k$ prend l'une de ces valeurs ?

On considère les vecteurs de l'espace $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ et $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Démontrer que l'ensemble $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forme une base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Déterminer les coordonnées du vecteur canonique $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ dans la base $B$.

Un système de sécurité laser utilise trois capteurs situés aux points $A(1 ; 2 ; 3)$, $B(3 ; 0 ; 1)$ et $C(k ; -2 ; -1)$. Pour que le système fonctionne correctement, les trois capteurs doivent être parfaitement alignés.

1. a) Calculer la valeur de $k$ pour que les capteurs $A, B$ et $C$ soient alignés.
2. b) En utilisant la valeur de $k$ trouvée, déterminer les coordonnées du milieu du segment $AC$.

On installe des panneaux solaires sur une structure métallique. Les points de fixation d'un panneau sont $P(1\,;\,0\,;\,1)$, $Q(2\,;\,1\,;\,3)$, $R(0\,;\,2\,;\,2)$ et $S(1\,;\,3\,;\,a)$. Pour que le panneau ne subisse pas de contraintes mécaniques, les quatre points doivent être coplanaires (appartenir au même plan).

1. a) Déterminer la valeur de $a$ pour que les points $P, Q, R$ et $S$ soient coplanaires.
2. b) Pour la valeur de $a$ obtenue, les vecteurs $\vec{PQ}$ et $\vec{PR}$ sont-ils linéairement indépendants ? Justifier la réponse.

Étant donnés les points $A(2\,;\,-1\,;\,4)$ et $B(8\,;\,5\,;\,-2)$, déterminer les coordonnées des points $C$ et $D$ qui divisent le segment $AB$ en trois parties égales. Expliquer la relation vectorielle utilisée pour le résoudre.

Étudier le rang de la famille de vecteurs suivante selon les valeurs du paramètre $m$ :

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ et $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Déterminer pour quelles valeurs de $m$ le système de vecteurs est linéairement dépendant et, le cas échéant, indiquer si les vecteurs sont colinéaires ou coplanaires.

Dans un logiciel de simulation physique, on définit un repère local à l'aide des vecteurs $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ et d'un troisième vecteur $\vec{c}$ de sorte que l'ensemble soit linéairement indépendant.

Si le vecteur $\vec{c}$ est de la forme $(0, 1, \lambda)$, déterminer l'intervalle de valeurs de $\lambda$ pour lesquelles $\vec{c}$ ne peut pas s'exprimer comme combinaison linéaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$. Justifier si cela signifie que l'ensemble $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formerait une base de $\mathbb{R}^3$.

Un drone de surveillance décolle d'une plateforme située au point $A(1 ; -2 ; 5)$ et se déplace en ligne droite jusqu'à atteindre un objectif au point $B(4 ; 3 ; -1)$. Calculer les composantes du vecteur déplacement $\vec{AB}$ et en déduire sa norme afin de connaître la distance parcourue par le drone.

Étant donnés les vecteurs $\vec{u} = (2, -1, 3)$ et $\vec{v} = (0, 4, 1)$, effectuer les opérations suivantes :

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calculer la valeur du réel $k$ sachant que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

Dans la conception d'une structure métallique, deux poutres sont reliées à leurs extrémités représentées par les points $P(2\,;\,5\,;\,-3)$ et $Q(8\,;\,-1\,;\,7)$. Pour renforcer la structure, on doit placer un support exactement au milieu du segment $PQ$. Déterminer les coordonnées de ce milieu $M$.

Déterminer si les vecteurs $\vec{a} = (1, -2, 4)$ et $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ sont linéairement dépendants. Justifier la réponse en vérifiant si leurs coordonnées sont proportionnelles et expliquer quelle relation géométrique existe entre eux (sont-ils colinéaires ?).

Exprimer le vecteur $\vec{w} = (7, 11, 2)$ comme combinaison linéaire des vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$, c'est-à-dire en fonction de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ et $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Trois stations de radio sont situées aux points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(3 ; 2 ; 0)$ et $C(5 ; 3 ; -1)$. Vérifier si les trois stations sont alignées (appartiennent à une même droite) en étudiant la proportionnalité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$.

Calculer la valeur du paramètre $m$ pour que le vecteur $\vec{u} = (m, 2, 4)$ soit combinaison linéaire des vecteurs $\vec{v} = (1, 0, 2)$ et $\vec{w} = (0, 1, -1)$ par l'expression $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

On considère un parallélogramme dont trois sommets consécutifs sont $A(1 ; 1 ; 0)$, $B(4 ; 2 ; 1)$ et $C(5 ; 5 ; 3)$. En utilisant l'égalité de vecteurs (par exemple $\vec{AB} = \vec{DC}$), calculer les coordonnées du quatrième sommet $D$.

On connaît les points de l'espace $A(1\,;\, -1\,;\, 2)$ et $B(3\,;\, 1\,;\, 0)$. On cherche à déterminer la position d'un troisième point $P(x\,;\, y\,;\, z)$ vérifiant simultanément trois conditions :

1. Les points $A$, $B$ et $P$ sont alignés sur une même droite.

2. La distance entre $A$ et $P$ est exactement le triple de la distance entre $A$ et $B$ (c'est-à-dire $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. La troisième coordonnée de $P$ est strictement négative ($z < 0$).

1. a) Déterminer les composantes du vecteur $\vec{AB}$ et calculer sa norme exacte.
2. b) Écrire la relation vectorielle entre $\vec{AP}$ et $\vec{AB}$, et en déduire les deux vecteurs déplacement possibles $\vec{AP}$ vérifiant la condition de distance.
3. c) Déterminer, en justifiant, les coordonnées du point $P$ en écartant la solution qui ne vérifie pas la contrainte sur la coordonnée $z$.

Météo-France suit un ballon-sonde météorologique lancé à proximité de Paris. On fixe un repère cartésien d'origine $O(0\,;\; 0\,;\; 0)$ à la station de lancement, où l'axe $X$ pointe vers l'est, l'axe $Y$ vers le nord (les deux avec des distances en kilomètres) et l'axe $Z$ mesure l'altitude (en centaines de mètres, de sorte que $z = 10$ représente $1000\text{ m}$ d'altitude).

Lors d'une première phase d'ascension, le ballon atteint la position $A(0\,;\; 0\,;\; 12)$. Ensuite, un vent soutenu le déplace selon le vecteur déplacement $\vec{u} = (4\,;\; 3\,;\; 8)$ jusqu'à une position $B$.

1. a) Déterminer les coordonnées de la position $B$ et indiquer à quelle altitude en mètres se trouve le ballon en ce point.
2. b) Une équipe de suivi souhaite placer un point d'observation $M$ au milieu exact du trajet entre le point de décollage $O$ et la position $B$. Déterminer les coordonnées de $M$ et calculer la distance en ligne droite de l'origine $O$ à $M$ en exprimant le résultat en kilomètres (attention à la conversion d'unités : $1\text{ unité de } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) Depuis la position $B$, une rafale pousse le ballon selon le vecteur $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$, le plaçant en un nouveau point $C$. Démontrer vectoriellement que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Soient les vecteurs de l'espace $\mathbb{V}^3$ définis par $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ et $\vec{w} = (1, 1, k)$.

• a) Déterminer, en justifiant, pour quelles valeurs du paramètre réel $k$ les vecteurs $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ ne forment pas une base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Pour les valeurs de $k$ trouvées à la question précédente, étudier la dépendance ou l'indépendance linéaire des vecteurs pris deux à deux.

• c) Dans le cas où $k = 0$, exprimer le vecteur $\vec{a} = (2, 3, 5)$ comme combinaison linéaire de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.

Soit $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ une base d'un espace vectoriel euclidien. On définit trois nouveaux vecteurs à partir des éléments de la base :

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Démontrer que les vecteurs $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ sont linéairement dépendants si et seulement si le produit des coefficients $abc = -1$. Dans le cas où $a=1, b=1, c=-1$, déterminer la relation de dépendance linéaire qui existe entre eux.

Une équipe d'ingénieurs calibre le système de navigation d'un satellite. Deux bases distinctes ont été définies dans l'espace de travail : la base de contrôle $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ et la base de manœuvre $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. On sait que :

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un objet détecté a pour coordonnées $(1, -2, 3)$ par rapport à la base de manœuvre $B'$. Calculer ses coordonnées par rapport à la base de contrôle $B$. Un vecteur peut-il avoir les mêmes coordonnées dans les deux bases ? Justifier la réponse.

Dans un tétraèdre de sommets $O(0 ; 0 ; 0)$, $A(2 ; 2 ; 0)$, $B(0 ; 2 ; 1)$ et $C(k ; 0 ; 3)$, déterminer la valeur de $k$ pour que le vecteur joignant l'origine $O$ à l'isobarycentre $G$ de la face opposée $ABC$ soit orthogonal au plan contenant cette face. Remarque : l'isobarycentre d'un triangle est la moyenne arithmétique de ses sommets.

Soient les vecteurs $\vec{u} = (1, -1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Déterminer tous les vecteurs $\vec{w}$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

2. La norme de $\vec{w}$ est égale à $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forme un angle de $60^\circ$ avec le vecteur $\vec{u}$.

Étudier la dépendance linéaire des points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(0 ; 2 ; 2)$, $C(2 ; 0 ; 0)$ et $D(m ; m ; m)$.

• a) Déterminer pour quelles valeurs de $m$ les quatre points sont coplanaires.

• b) Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle le vecteur $\vec{AB}$ soit orthogonal au vecteur $\vec{CD}$ ?

• c) Expliquer géométriquement ce qui se passe pour les points lorsque $m=1$.

On considère l'ensemble de vecteurs $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ formant une base orthonormée. On construit un nouveau système de vecteurs $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ par les relations :

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Démontrer que $S'$ est une base orthogonale mais non orthonormée.

• b) Déterminer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs de $S'$.

• c) Si un vecteur $\vec{x}$ a pour coordonnées $(3, 1, 4)$ dans la base $S$, calculer ses coordonnées dans la base $S'$.

Deux particules se déplacent dans l'espace selon des trajectoires rectilignes. À l'instant $t=0$, la première particule se trouve au point $P(1 ; 0 ; 0)$ et se déplace avec une vitesse constante donnée par le vecteur $\vec{v_1} = (1 ; 1 ; 1)$. La seconde particule part de $Q(0 ; 2 ; 1)$ avec la vitesse $\vec{v_2} = (2 ; m ; 0)$.

Déterminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs position des deux particules à tout instant $t > 0$ et le vecteur joignant leurs positions initiales $\vec{PQ}$ soient toujours coplanaires. Les particules entrent-elles en collision à un moment donné pour cette valeur de $m$ ?

Pour déterminer si trois points de l'espace $A(1\,;\,2\,;\,-1)$, $B(3\,;\,-2\,;\,3)$ et $C(6\,;\,-8\,;\,9)$ sont alignés sur une même droite, on envisage deux stratégies de résolution distinctes :

• Méthode 1 (métrique) : Calculer les distances euclidiennes $d(A, B)$, $d(B, C)$ et $d(A, C)$ à l'aide de la norme des vecteurs correspondants et vérifier si la somme des deux plus petites distances est exactement égale à la plus grande.

• Méthode 2 (vectorielle) : Construire les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ et analyser s'ils sont linéairement dépendants en vérifiant la proportionnalité de leurs composantes : $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Appliquer la méthode 2 pour décider, en justifiant, si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés ou non.
2. b) Appliquer la méthode 1 en calculant les normes $|\vec{AB}|$ et $|\vec{AC}|$ en simplifiant les radicaux obtenus, et vérifier que l'on aboutit à la même conclusion.
3. c) Comparer de façon critique les deux méthodes et rédiger une justification argumentée sur celle qui est la plus adaptée. Considérer dans votre analyse deux aspects : le coût algébrique (présence de racines carrées face à des rapports directs) et la facilité d'application dans le cas où la troisième coordonnée de $C$ contiendrait un paramètre littéral inconnu $k$.

On considère les vecteurs de l'espace $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ et $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$, ainsi que le vecteur dépendant d'un paramètre réel $k$ : $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Écrire le système de trois équations à deux inconnues ($a, b$) traduisant la condition « $\vec{w}_k$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ », c'est-à-dire $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Résoudre les équations indépendantes de $k$ pour déterminer les seuls coefficients possibles $a$ et $b$. En déduire s'il existe une valeur du paramètre $k$ pour laquelle $\vec{w}_k$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
3. c) On suppose maintenant que l'on définit le vecteur $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$. Sans résoudre aucun système d'équations, justifier si $\vec{t}$ est linéairement dépendant de $\vec{u}$ et décrire la position relative des droites contenant ces deux vecteurs dans l'espace.
4. d) Justifier de façon formelle et rigoureuse pourquoi aucun couple de réels non nuls $\alpha, \beta \neq 0$ ne peut vérifier $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$, en reliant votre argument à l'indépendance linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.