Exercices: Informations sur la fonction

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$. Réaliser une étude préalable de ses éléments de base en déterminant :

1. a) L'ensemble de définition de la fonction.

1. b) Les points d'intersection avec les axes du repère.

1. c) L'existence de symétries (indiquer si la fonction est paire, impaire ou n'admet aucune symétrie).

Une équipe d'ingénieurs surveille la température d'un composant électronique. L'évolution de la température $T$ (en degrés Celsius) en fonction du temps $t$ (en minutes) est donnée par la fonction :

$T(t) = \dfrac{40t + 100}{t + 2}$ avec $t \geq 0$

On demande :

1. a) Déterminer la température initiale du composant ($t=0$).

1. b) Déterminer l'asymptote horizontale de la fonction et interpréter sa signification dans le contexte du problème (température à long terme).

Étudier le sens de variation (intervalles de croissance et de décroissance) et déterminer les extremums locaux (maximums et minimums) de la fonction polynôme suivante :

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Soit la fonction $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Déterminer :

1. Les équations de ses asymptotes verticales et horizontales.

2. La position de la courbe par rapport à ces asymptotes grâce à l'étude des limites à gauche et à droite et en l'infini.

Analyser la convexité de la fonction $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Pour cela :

1. Déterminer la dérivée seconde $f''(x)$.

2. Déterminer les intervalles où la fonction est convexe ($\cup$) et concave ($\cap$).

3. Trouver les abscisses des points d'inflexion.

On connaît les informations suivantes sur une fonction $f(x)$ continue sur tout $\mathbb{R}$ :

• Elle coupe l'axe $X$ en $x = -2$ et $x = 2$.

• Elle admet un minimum local en $(0 ; -4)$.

• Elle est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et croissante sur $]0 ; +\infty[$.

• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dessiner l'allure de la courbe vérifiant toutes ces conditions. Pour vous aider, voici les axes avec les points connus ; recopiez les axes sur votre feuille et tracez la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Déterminer la période de la fonction trigonométrique $f(x) = \sin(2x)$. Indiquer ensuite, en justifiant, si la fonction présente une symétrie par rapport à l'origine ou à l'axe des ordonnées.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$. Étudier ses branches infinies :

1. a) Vérifier si elle admet des asymptotes verticales.

1. b) Vérifier si elle admet des asymptotes horizontales.

1. c) S'il n'y a pas d'asymptote horizontale, déterminer si elle admet une asymptote oblique et en donner l'équation.

Lors d'un devoir de terminale, Manon doit étudier la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$ et écrit dans sa copie :

« 1. Les zéros du dénominateur sont $x = 2$ et $x = 3$. Donc la courbe admet deux asymptotes verticales, les droites $x = 2$ et $x = 3$.

1. Comme la fonction contient des termes du second degré ($x^2$) et des termes constants au numérateur comme au dénominateur, la fonction est paire et symétrique par rapport à l'axe $OY$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Manon et expliquer avec rigueur mathématique pourquoi son raisonnement est incorrect dans chaque cas.
2. b) Rédiger la correction : déterminer l'ensemble de définition réel de $f$, factoriser l'expression pour la simplifier, calculer les limites à gauche et à droite pertinentes pour classer le comportement en $x = 2$ et $x = 3$ (en distinguant asymptote verticale et discontinuité removable, c'est-à-dire prolongeable par continuité) et vérifier formellement la symétrie en évaluant $f(-x)$.

Soit la fonction $f(x) = \frac{4x - 1}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

1. a) Estimer en justifiant : avant d'appliquer les techniques de calcul de limites, raisonner sur le comportement de la fonction lorsque la variable $x$ prend des valeurs de valeur absolue extrêmement grandes ($x \to +\infty$ et $x \to -\infty$). À partir de cette intuition qualitative :

• Estimer combien d'asymptotes horizontales on s'attend à trouver et à quelles valeurs approximatives de $y$ elles se situeront.

• Prévoir si la courbe coupe l'axe des abscisses ($OX$) et en quel point elle devrait le faire.

1. b) Vérifier formellement : calculer les limites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, en faisant attention au signe qu'introduit la racine carrée lorsqu'on met en facteur ($√{x^2} = |x|$), et en déduire les équations exactes des asymptotes horizontales. Déterminer le point d'intersection avec l'axe $OX$ et dire si vos estimations initiales étaient correctes ou si vous avez omis un changement de signe.

Réaliser une étude complète de la monotonie et des extremums locaux de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Déterminer précisément les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les coordonnées de ses maximums et minimums éventuels.

Soit la fonction polynôme $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Déterminer les intervalles de concavité et de convexité, ainsi que les coordonnées exactes de ses points d'inflexion. Utiliser le symbole $\cup$ pour désigner les intervalles où la fonction est convexe (courbure vers le haut) et $\cap$ pour les intervalles où elle est concave (courbure vers le bas).

Déterminer toutes les asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de la fonction $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. S'il existe une asymptote oblique, calculer son équation de la forme $y = mx + n$ et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote lorsque $x \to \infty$.

Tracer l'allure de la courbe d'une fonction continue $f(x)$ vérifiant simultanément les conditions suivantes issues de son étude analytique :

• Ensemble de définition : $\mathbb{R} - \{0\}$

• Intersections avec les axes : $(2 ; 0)$ et $(-2 ; 0)$.

• Asymptote verticale en $x = 0$, avec $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asymptotes horizontales : $y = -1$ lorsque $x \to +\infty$ et $y = 1$ lorsque $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ sur tout son ensemble de définition.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une équipe d'ingénieurs surveille le niveau de charge d'une nouvelle batterie au lithium grâce à la fonction $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, où $B$ est le pourcentage de charge et $t$ est le temps en heures ($t \ge 0$).

1. a) À quel instant la batterie atteint-elle son niveau de charge maximal ? Justifier qu'il s'agit bien d'un maximum.

1. b) Vers quelle valeur tend la charge de la batterie si elle reste branchée indéfiniment ? Justifier la réponse par le calcul de limites.

On donne la courbe de la fonction dérivée $f'(x)$ représentée ci-dessous (une droite passant par les points $(-2 ; 0)$ et $(0 ; 4)$). Indiquer en justifiant :

1. a) Les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction initiale $f(x)$.
2. b) L'abscisse des extremums locaux de $f(x)$ et leur nature (maximum ou minimum).
3. c) L'intervalle de concavité ou de convexité de $f(x)$.

On considère la fonction $f(x) = \ln(x^2 + k)$, où $k$ est un paramètre réel.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction admette un point d'inflexion en $x = 1$.
2. b) Pour cette valeur de $k$, étudier l'ensemble de définition de la fonction et vérifier si elle présente une symétrie (paire ou impaire).

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calculer la valeur de $a$ pour que la fonction soit dérivable en $x = 0$.
2. b) Pour la valeur de $a$ obtenue, étudier si la fonction admet une asymptote horizontale lorsque $x \to +\infty$.

Concevoir l'expression analytique d'une fonction rationnelle irréductible $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes à coefficients réels) vérifiant simultanément les cinq conditions suivantes :

1. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($OY$).

2. Son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$, avec des asymptotes verticales en ces deux abscisses.

3. Elle admet une asymptote horizontale d'équation $y = 3$.

4. Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -1)$.

5. Elle ne coupe l'axe des abscisses en aucun point ($OX$).

Justifier pas à pas comment choisir le degré, les racines et les coefficients de $P(x)$ et de $Q(x)$ pour satisfaire chacune des conditions données. Enfin, vérifier formellement que la fonction obtenue présente un extremum local en $(0 ; -1)$ en étudiant le signe de sa dérivée première $f'(x)$.

À partir de données hydrologiques inspirées des rapports du ministère de la Transition écologique, le pourcentage de capacité d'eau retenue $V(t)$ dans un bassin du sud de la France au cours du temps $t$ (en mois, avec $t \ge 0$, où $t = 0$ représente le début d'un plan spécial de gestion après une sécheresse) est modélisé par la fonction :

1. a) Interpréter la signification physique de la valeur initiale $V(0)$ dans le contexte du problème et justifier s'il a un sens de chercher des points d'intersection avec l'axe des abscisses pour $t \ge 0$.
2. b) Étudier l'existence d'asymptotes horizontales lorsque $t \to +\infty$. Interpréter leur signification en termes de gestion environnementale à long terme et expliquer pourquoi, selon ce modèle, le volume d'eau stockée n'atteindra jamais $60\,\%$.
3. c) Analyser la monotonie de $V(t)$ en calculant le signe de sa dérivée première pour $t > 0$. Puis obtenir la dérivée seconde $V''(t)$ et déterminer en quel mois exactement le rythme de remplissage des retenues atteint sa vitesse maximale (point d'inflexion de la courbe).

On considère la fonction $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$, $b$ et $c$ sachant que les conditions suivantes sont vérifiées simultanément :

1. La droite $x = 2$ est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction.

2. La fonction admet un extremum local au point d'abscisse $x = 3$.

3. La tangente à la courbe au point d'intersection avec l'axe $OY$ est parallèle à la droite $y = -2x + 5$.

Une fois les paramètres déterminés, étudier l'existence d'une asymptote oblique et déterminer la position relative de la courbe par rapport à celle-ci.

Le graphique suivant représente la fonction dérivée $f'(x)$ d'une fonction continue $f(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. À partir des informations visuelles fournies :

1. Indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction initiale $f(x)$.

2. Déterminer les abscisses des extremums locaux de $f(x)$ en les classant en maximums ou minimums.

3. Étudier la convexité de $f(x)$ et localiser ses points d'inflexion.

4. Sachant que $f(0) = 1$, tracer l'allure de la courbe de la fonction initiale $f(x)$ en justifiant la forme obtenue.

Soit la fonction $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$. Réaliser une étude complète en vue de sa représentation graphique en analysant :

1. L'ensemble de définition et les points d'intersection avec les axes de coordonnées.

2. Le comportement à l'infini (limites et asymptotes).

3. Les intervalles de monotonie et les extremums locaux (abscisses et ordonnées).

4. Les points d'inflexion et la convexité.

5. Utiliser toutes les informations précédentes pour tracer la courbe de la fonction, en mettant particulièrement en évidence le comportement asymptotique horizontal.

Une équipe d'ingénieurs conçoit le profil d'une rampe de saut pour une compétition de skate. Le profil latéral suit la courbe de la fonction $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.

1. Déterminer le point de la rampe situé à la plus faible hauteur par rapport au sol.

2. Déterminer les points de la rampe où la pente est maximale et minimale. Quelle interprétation physique ces points ont-ils dans le contexte du skate ?

3. Étudier si la fonction admet un point d'inflexion sur cet intervalle et expliquer comment la sensation du skateur change lorsqu'il le franchit.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calculer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit dérivable en $x = 0$, sachant que sur le premier morceau le paramètre $k$ prend la valeur $1$.

2. Pour les valeurs trouvées, étudier si la fonction admet une asymptote oblique lorsque $x \to -\infty$. Si oui, la déterminer.

3. La fonction admet-elle un extremum local sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ ? Justifier la réponse.

On souhaite inscrire un rectangle d'aire maximale dans la région du premier quadrant délimitée par l'axe $OX$, l'axe $OY$ et la courbe représentative de la fonction $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de l'abscisse $x$ de l'un de ses sommets situés sur l'axe $OX$.

2. Calculer les dimensions de ce rectangle pour que son aire soit maximale.

3. Faire un dessin de la situation en utilisant le schéma suivant.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f(x) = x \cdot |x - 2|$. À partir de cette étude :

1. Exprimer la fonction comme une fonction définie par morceaux.

2. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

3. Déterminer les maximums et minimums locaux et globaux sur l'intervalle $[0 ; 4]$.

4. Étudier la convexité et les points d'inflexion. Faire particulièrement attention au point où la définition de la fonction change.

On considère la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analyser ses symétries et son ensemble de définition.

2. Déterminer toutes ses asymptotes et la position de la courbe par rapport à celles-ci.

3. Trouver les points de la courbe où la tangente est horizontale.

4. Démontrer que la fonction est concave sur tout son ensemble de définition sauf sur l'intervalle $]-1 ; 1[$, où elle est convexe.

5. Tracer l'allure de la courbe de la fonction en intégrant tous les éléments précédents.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Pour étudier les asymptotes et la position relative de la courbe par rapport à celles-ci pour la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x + 6}{x^2 - 1}$, deux élèves de terminale proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 (limites usuelles) : Calculer directement les zéros du dénominateur ($x = \pm 1$) pour postuler des asymptotes verticales, déterminer l'asymptote oblique $y = mx + n$ à l'aide des limites $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$, et étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote en évaluant la différence $f(x) - (mx + n)$ pour de grandes valeurs numériques comme $x = 1000$ et $x = -1000$.

• Méthode 2 (simplification préalable et décomposition polynomiale) : Factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier les facteurs communs avant l'étude asymptotique, et effectuer la division euclidienne des polynômes pour exprimer la fonction sous la forme $f(x) = mx + n + \frac{R(x)}{D(x)}$.

1. a) Comparer de façon critique les deux méthodes : quelle hypothèse erronée fait celui qui applique la méthode 1 en $x = 1$ ? Pourquoi évaluer en des valeurs particulières ($x = \pm 1000$) ne constitue-t-il pas une démonstration rigoureuse de la position de la courbe ?
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus sûre, la plus générale et la plus efficace pour ce type de fonctions.
3. c) En suivant la méthode la plus adaptée, déterminer en justifiant l'unique asymptote verticale, l'équation de l'asymptote oblique, la position relative exacte de la courbe en $\pm\infty$ grâce au signe algébrique du reste, et les coordonnées du point où existe une discontinuité removable.

On considère une fonction $f$ continue sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ dont la fonction dérivée est :

1. a) Étudier en détail le signe de $f'(x)$ et en déduire les intervalles de croissance et de décroissance de $f$, ainsi que les abscisses de tous ses extremums locaux. Justifier pourquoi en $x = 1$ la fonction n'admet pas d'extremum local bien que $f'(1) = 0$.
2. b) Sachant que la convexité de $f$ dépend du sens de variation de la fonction dérivée elle-même, calculer la dérivée seconde $f''(x)$ en simplifiant au maximum l'expression. Déterminer les intervalles de concavité ($f'' < 0$) et de convexité ($f'' > 0$) de $f$, déterminer les abscisses de ses points d'inflexion et classer précisément la nature du point singulier situé en $x = 1$.
3. c) Sachant de plus que $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ et que $f(1) = 4$, démontrer rigoureusement que la courbe de $f$ ne peut couper la droite $y = 4$ en aucun point de l'intervalle $]1 ; +\infty[$.